勾股定理[上学期]
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文档简介
勾 股 定 理
教学内容： 华师大版教科书八年级 §19.2 勾股定理 第一课时
教材分析：勾股定理是平面几何中一个重要定理，它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，是解直角三角形的重要工具。它在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用。由于勾股定理能把形与数密切联系起来，是数与形结合的典范，而学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，从而为后续学习解直角三角形打下基础。
教学目标：
1.能说出勾股定理的内容，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2.在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，发展合情推理能力,并体会数形结合的思想和特殊到一般的思想方法。
3.通过拼图游戏发挥学生的想象力，提高学生的动手操作能力，培养他们自主、合作、探究的能力。
4. 通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重点：探索勾股定理
教学难点：数形结合的方法验证勾股定理
教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分。
学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
教学过程：
一、创设情景，引入课题
创设这样一个情景：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火
引导学生画示意图，将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形两边，如何求第三边？” 的问题。显然利用已有的知识是不能解决的，我们学了今天这节课之后就可以解决了。（板书课题）
（通过利用这样一个具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望。以实际问题为切入点，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。）
二、引导探究，合作交流
师：那么什么是“勾股定理”呢？让我们共同来探索：
多媒体展示：(1)如图在方格纸中画一等腰直角三角形,然后向外作三个外正方形：
观察图形并回答下列问题：
a．各正方形的面积：蓝色正方形 红色正方形 紫红色正方形
b．各正方形面积之间的关系是：
c．由此得到等腰三角形两直角边与斜边之间的关系是：
生：观察并回答提出的问题。
师：（2）刚才我们研究了等腰直角三角形的情况，那么，这个关系对于一般直角三角形也能成立么？
由于有了刚才的经验，在学生动手的同时，教师巡视并作适当引导，选几位学生的图形（不同画法）进行展示，师生共同分析，从而得出一般直角三角形三边之间也具有等腰直角三角形中刚才得出的关系。
（整个“引导探究”环节以学生熟悉的实例出发，从特殊到一般，引导学生观察发现勾股定理。让学生领悟勾股定理的探究思维方法，培养思维能力。）
师：刚才我们利用方格纸得出了直角三角形三边之间的关系，而且边长都是整数，还是比较特殊的。抛开方格纸，且直角三角形的边长为任一个数，那么刚才我们得到的结论是否也成立呢？
生：有的学生可能会喊出“成立”……
师：对这部分学生（预习）给予肯定，接着马上提出：怎样来说明它是成立的呢？
生：有部分同学会说：“利用面积法”，而有的则面露难色……
师：没错，是可以利用面积法来说明。接下来我们就来验证一下：我们先来进行一个拼图游戏。
请同学们拿出你们准备好的（四块一样）直角三角形纸板，四人一组进行拼图，并用词来形容你们小组拼出来的图形。比一比：看哪一小组拼出来的图比较美观和形象？
生：四人小组展开活动，分工合作……
教师多媒体展示学生作品，学生评价。
师：让我们共同来看看刚才同学们拼出来的图形（为清楚可见，将学生的作品选出下列两幅）：
图一 图二
图二恰好是某次在我国首都北京召开的世界数学家大会会标的主体图案，我想大会如果征收会标的话，这小组的设计一定能被采纳。同时还注意到图二，它比较规则而且还有一定的对称美。
（利用拼图游戏来活跃课堂气氛，提高数学学习兴趣。学生对自己作品进行评价，不仅可使学生在欣赏自己作品的同时感到一种成功的喜悦，而且还可充分发挥他们的想象力，提高他们的语言表达能力，使他们觉得数学并不枯燥无味，甚至有时还蕴含着审美学的知识。使他们亲身感受学科间并不是完全分割的。并对学生突出的成绩给予及时的肯定和表扬，一方面可激发他们的学习兴趣，另一方面也体现了新课程标准对学生情感与态度的要求——能积极参与数学学习活动，在数学学习活动中获得成功体验，建立自信心。）
提出问题：若直角三角形纸板：斜边用c表示，短直角边用a表示，长的直角边用b表示。
图一、二中大正方形的面积怎么求呢？你能用几种方法求呢？
教师引导学生回答，教师板书（针对图一，图二由学生自主完成）：
方法一：S1 =（a+b）2 方法二： S2= c2 + 4×ab/2
因为 S1 = S2 （a+b）2= a2 + b2 +4×ab/2
所以 a2 + b2 +4×ab/2= c2 + 4×ab/2
故 c2 = a2 + b2
师：这样我们得到一个关系式，你能用语言描述一下吗？
生：试着用语言描述……
（这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习有帮助）
师：非常不错，我们刚刚得到的这个关系就称为“勾股定理”。
多媒体展示：勾股定理史话。
生：欣赏，了解勾股定理的历史以及我国古代的数学成就。
（通过直观演示，展示我国古代数学家对勾股定理的研究成果及勾股定理不同的证明方法，对学生进行爱国主义教育；并在欣赏中体验自己得出结论的喜悦。）
师：大家由拼图抽象出了几何图形，经过计算得到了勾股定理。实际上，科学家或者说数学家们的许多重大发现也都和大家刚才的这一过程相同。它给了我们一个提示：只要我们平常多关注生活中的一些数学现象，并将之抽象成数学问题，那么经过合理的推理过程，就能发现有价值的东西。
（同时，教师板书：拼图→观察→抽象→概括）。可见生活中随处是数学，只要你善于观察。
三：尝试运用，巩固新知
多媒体依次展示四个问题：
问题一、比一比，谁能更快？
（1）若直角三角形中两直角边分别为6和7，则斜边长=
（2）若直角三角形中一条直角边长为3，斜边长为4，则另一条直角边长=
（3）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，另一边长=
学生口答。（练习目的一方面是为了熟悉勾股定理，注意勾股定理成立的条件并由此明白“已知直角三角形任意两边可求第三边”，另一方面不能形成思维定势）
问题二、本节课开头的实际问题。
让学生解决，前后呼应，学生从中能体会到成功的喜悦，进一步体会勾股定理在实际生活中的应用，数学是与实际生活紧密相连的。
问题三、已知 一个正三角形的边长为6cm，试求此三角形的面积。
在学生思考的基础上，教师引导学生通过讨论分析得出此题的解题思路：要求三角形面积必须知道三角形的高，从而将问题转化为已知直角三角形的两边长求另一边长（利用勾股定理即可求），板书过程。
（设计此题的目的是为了引导学生学会能将相关的问题转化为“已知直角三角形两边求另一边的”数学模型，从而可以利用勾股定理来解决）
问题四、如图，已知每个小正方形的边长都有为1，试在图中画一个三角形，使得此三角形与图中三角形有相似比为 √2：1 A
B C
（通过此题的“迁移练习”巩固学生所学知识，进一步培养其分析问题、解决问题的能力。）
五、课堂小结：
1． 先由学生作小结：本节课我们学了……学会了……你最大的收获是……
2． 教师作补充归纳：多媒体展示如下几点：
A、学习了一个内容：勾股定理的语言描述是： 。
B、学会了一种方法：研究问题我们可以采取从特殊到一般的思考方法。
C、特别要注意的是：利用勾股定理时注意区分条件。要善于利用图形来解决问题，将数和形结合起来。
D、本节课我们利用拼图，采用面积法说明了勾股定理，只要我们多动手、动脑，很多知识就是 在做的过程中发现的，希望同学们都做一个有心人。
六、布置作业：
1． 见作业本。
2． 补充题：（1）将如图所示的图形剪两刀，拼成一个正方形。
（2）△ABC中，∠ABC=90°，AC=2.8cm，BC=2.1cm。
试求△ABC的面积、斜边AB的长、斜边AB边上的高。
教学内容： 华师大版教科书八年级 §19.2 勾股定理 第一课时
教材分析：勾股定理是平面几何中一个重要定理，它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，是解直角三角形的重要工具。它在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用。由于勾股定理能把形与数密切联系起来，是数与形结合的典范，而学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，从而为后续学习解直角三角形打下基础。
教学目标：
1.能说出勾股定理的内容，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2.在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，发展合情推理能力,并体会数形结合的思想和特殊到一般的思想方法。
3.通过拼图游戏发挥学生的想象力，提高学生的动手操作能力，培养他们自主、合作、探究的能力。
4. 通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重点：探索勾股定理
教学难点：数形结合的方法验证勾股定理
教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分。
学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
教学过程：
一、创设情景，引入课题
创设这样一个情景：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火
引导学生画示意图，将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形两边，如何求第三边？” 的问题。显然利用已有的知识是不能解决的，我们学了今天这节课之后就可以解决了。（板书课题）
（通过利用这样一个具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望。以实际问题为切入点，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。）
二、引导探究，合作交流
师：那么什么是“勾股定理”呢？让我们共同来探索：
多媒体展示：(1)如图在方格纸中画一等腰直角三角形,然后向外作三个外正方形：
观察图形并回答下列问题：
a．各正方形的面积：蓝色正方形 红色正方形 紫红色正方形
b．各正方形面积之间的关系是：
c．由此得到等腰三角形两直角边与斜边之间的关系是：
生：观察并回答提出的问题。
师：（2）刚才我们研究了等腰直角三角形的情况，那么，这个关系对于一般直角三角形也能成立么？
由于有了刚才的经验，在学生动手的同时，教师巡视并作适当引导，选几位学生的图形（不同画法）进行展示，师生共同分析，从而得出一般直角三角形三边之间也具有等腰直角三角形中刚才得出的关系。
（整个“引导探究”环节以学生熟悉的实例出发，从特殊到一般，引导学生观察发现勾股定理。让学生领悟勾股定理的探究思维方法，培养思维能力。）
师：刚才我们利用方格纸得出了直角三角形三边之间的关系，而且边长都是整数，还是比较特殊的。抛开方格纸，且直角三角形的边长为任一个数，那么刚才我们得到的结论是否也成立呢？
生：有的学生可能会喊出“成立”……
师：对这部分学生（预习）给予肯定，接着马上提出：怎样来说明它是成立的呢？
生：有部分同学会说：“利用面积法”，而有的则面露难色……
师：没错，是可以利用面积法来说明。接下来我们就来验证一下：我们先来进行一个拼图游戏。
请同学们拿出你们准备好的（四块一样）直角三角形纸板，四人一组进行拼图，并用词来形容你们小组拼出来的图形。比一比：看哪一小组拼出来的图比较美观和形象？
生：四人小组展开活动，分工合作……
教师多媒体展示学生作品，学生评价。
师：让我们共同来看看刚才同学们拼出来的图形（为清楚可见，将学生的作品选出下列两幅）：
图一 图二
图二恰好是某次在我国首都北京召开的世界数学家大会会标的主体图案，我想大会如果征收会标的话，这小组的设计一定能被采纳。同时还注意到图二，它比较规则而且还有一定的对称美。
（利用拼图游戏来活跃课堂气氛，提高数学学习兴趣。学生对自己作品进行评价，不仅可使学生在欣赏自己作品的同时感到一种成功的喜悦，而且还可充分发挥他们的想象力，提高他们的语言表达能力，使他们觉得数学并不枯燥无味，甚至有时还蕴含着审美学的知识。使他们亲身感受学科间并不是完全分割的。并对学生突出的成绩给予及时的肯定和表扬，一方面可激发他们的学习兴趣，另一方面也体现了新课程标准对学生情感与态度的要求——能积极参与数学学习活动，在数学学习活动中获得成功体验，建立自信心。）
提出问题：若直角三角形纸板：斜边用c表示，短直角边用a表示，长的直角边用b表示。
图一、二中大正方形的面积怎么求呢？你能用几种方法求呢？
教师引导学生回答，教师板书（针对图一，图二由学生自主完成）：
方法一：S1 =（a+b）2 方法二： S2= c2 + 4×ab/2
因为 S1 = S2 （a+b）2= a2 + b2 +4×ab/2
所以 a2 + b2 +4×ab/2= c2 + 4×ab/2
故 c2 = a2 + b2
师：这样我们得到一个关系式，你能用语言描述一下吗？
生：试着用语言描述……
（这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习有帮助）
师：非常不错，我们刚刚得到的这个关系就称为“勾股定理”。
多媒体展示：勾股定理史话。
生：欣赏，了解勾股定理的历史以及我国古代的数学成就。
（通过直观演示，展示我国古代数学家对勾股定理的研究成果及勾股定理不同的证明方法，对学生进行爱国主义教育；并在欣赏中体验自己得出结论的喜悦。）
师：大家由拼图抽象出了几何图形，经过计算得到了勾股定理。实际上，科学家或者说数学家们的许多重大发现也都和大家刚才的这一过程相同。它给了我们一个提示：只要我们平常多关注生活中的一些数学现象，并将之抽象成数学问题，那么经过合理的推理过程，就能发现有价值的东西。
（同时，教师板书：拼图→观察→抽象→概括）。可见生活中随处是数学，只要你善于观察。
三：尝试运用，巩固新知
多媒体依次展示四个问题：
问题一、比一比，谁能更快？
（1）若直角三角形中两直角边分别为6和7，则斜边长=
（2）若直角三角形中一条直角边长为3，斜边长为4，则另一条直角边长=
（3）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，另一边长=
学生口答。（练习目的一方面是为了熟悉勾股定理，注意勾股定理成立的条件并由此明白“已知直角三角形任意两边可求第三边”，另一方面不能形成思维定势）
问题二、本节课开头的实际问题。
让学生解决，前后呼应，学生从中能体会到成功的喜悦，进一步体会勾股定理在实际生活中的应用，数学是与实际生活紧密相连的。
问题三、已知 一个正三角形的边长为6cm，试求此三角形的面积。
在学生思考的基础上，教师引导学生通过讨论分析得出此题的解题思路：要求三角形面积必须知道三角形的高，从而将问题转化为已知直角三角形的两边长求另一边长（利用勾股定理即可求），板书过程。
（设计此题的目的是为了引导学生学会能将相关的问题转化为“已知直角三角形两边求另一边的”数学模型，从而可以利用勾股定理来解决）
问题四、如图，已知每个小正方形的边长都有为1，试在图中画一个三角形，使得此三角形与图中三角形有相似比为 √2：1 A
B C
（通过此题的“迁移练习”巩固学生所学知识，进一步培养其分析问题、解决问题的能力。）
五、课堂小结：
1． 先由学生作小结：本节课我们学了……学会了……你最大的收获是……
2． 教师作补充归纳：多媒体展示如下几点：
A、学习了一个内容：勾股定理的语言描述是： 。
B、学会了一种方法：研究问题我们可以采取从特殊到一般的思考方法。
C、特别要注意的是：利用勾股定理时注意区分条件。要善于利用图形来解决问题，将数和形结合起来。
D、本节课我们利用拼图，采用面积法说明了勾股定理，只要我们多动手、动脑，很多知识就是 在做的过程中发现的，希望同学们都做一个有心人。
六、布置作业：
1． 见作业本。
2． 补充题：（1）将如图所示的图形剪两刀，拼成一个正方形。
（2）△ABC中，∠ABC=90°，AC=2.8cm，BC=2.1cm。
试求△ABC的面积、斜边AB的长、斜边AB边上的高。