海南省海口市重点中学2022-2023学年高一下学期4月第一次月考数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023 学年度第二学期高一数学第一次月考
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。）
1．已知角 的终边经过点 P 2,1 ，则 sin 的值为（ ）
A 5 B 2 5 C 5 D 2 5． ． ． ．
5 5 5 5
2．已知cos 10 ，且 是第二象限角，则 sin 2 （ ）
10
3 3 4 4
A． B．- C． D．
5 5 5 5
1
3．若 f (x) tan( x)( 0) 1 f 的最小正周期为 ，则 的值为（ ）
3
A 3 3． 3 B． C． D． 3
3 3
4．如图，在平面直角坐标系内，角 的始边与 x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交
P 3 , 4 OP π于点 1 ，若线段 n 1绕点O逆时针旋转 得OPn（n 2， n N），则点 P2023的
5 5 4
纵坐标为（ ）
4 3 3 4
A． B．- C． D．
5 5 5 5
5．已知函数 f x π π 2sin( x ) 的最小正周期为 π，则函数 y f x 在区间 0,6 2 上的最大值和最小值分
别是（ ）
A．2和－2 B．2和 0 C．2和－1 D 3 3． 和
2 2
6．函数 f x log3 x x 5的零点所在的区间为（ ）
A． 2,3 B． 3, 4 C． 4,5 D． 5,6
π 3 π 5 π
7．若0 ，0 ，cos( ) ， sin ，则 cos （ ）2 2 5 4 13 4
2 3 56 36A． B． C． D．
2 2 65 65
8．设函数 f (x) 2sin( x )( 0,0 ) 若 f (x)
2
f ( x) f ( x) ，且 f (x)的最小正周期大于 ，
3 2
则下列结论正确的是（ ）
A． f (x)
3
是奇函数 B． f (x)的最小正周期为
4

C ． f (x)在 (0, )上单调递增 D． f (x)的图像向左平移 个单位长度后得到函数 g(x) 2sin 3x的图像
3 6
试卷 第 1页，共 4页
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的 4 个选项中，有多个符合选
项要求，全部选对得满分，部分选对得 2 分，错选得 0 分。）
π
9 ．要得到函数 y sin 2x 的图象，只要将函数 y sin x图象上所有的点（ ）
3
1 πA．横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位3
B 1
π
．横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位6
π
C 1．向左平移 个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变）3
π
D 1．向左平移 个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变）6
10．下列各式中正确的是（ ）
tan 3π tan π
17π 23π π πA． B． tan2 tan3 C． cos cos D． sin sin 5 5 4 5 18 10
11．关于函数 f (x) cos 2x

cos 2x ，其中正确命题是（ ）
3 6
A． y f (x)的最大值为 2
B． y f (x)是以 为最小正周期的周期函数

C．将函数 y 2 cos 2x的图像向左平 个单位后，将与已知函数的图像重合
24
13
D ． y f (x)在区间 , 上单调递减
24 24
12．如图，正方形 ABCD的长为 2，O为边 AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向
从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记 AOP为 x，射线OP扫过的正方形
ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为 f x ，则下列说法正确的是（ ）
f 1 πA． B． f x

在 ,π

上为减函数
4 2 2
C． f x f x 4 D． f x 图象的对称轴是 x
2
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．若角 的终边在第四象限，且 cos
4
，则 tan π a ________．
5
2
14．计算： lg4 2lg5 log 8 83 ______．2
15．若 y sin( x ) 的图象如图 0,| |
π

2 ，则 __________，
__________．

试卷 第 2页，共 4页
log16 f x 2
x, x 0
．已知函数 g x x, x 0 ，函数 满足以下三点条件：①定义域为 R；②对任意 x R，有
g x 2g x ；③当 x 0, 时， g x sinx.则函数 y f x g x 在区间 4 , 4 上零点的个数为
__________个.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.（本题满分 10 分）设 f x ln x 1 ．
(1)求函数 f x 的定义域； (2)若函数 f x 0，求 x的取值范围．
.
π
18.（本题满分 12 分）已知函数 f x 2 sin 2x 1， x R ．
4
(1)求 f x 的最小正周期、最大值及取得最大值的自变量 x的集合；
π π
(2) 讨论 f x 在区间 , 上的单调性． 2 2
sin(π ) cos π
2
19.（本题满分 12 分）已知 f ( ) .
cos 3π 2
tan( π)

(1)化简 f ( )；
π 1 π
(2)已知 f 6
，求 cos 2
2 3
的值.

试卷 第 3页，共 4页
20（本题满分 12 分）已知函数 f x sin x 0, 0 的图象中相邻两条对称轴之间的距离

为 ，且直线 x

是其图象的一条对称轴．
2 8
（1）求 ， 的值；
（2）用“五点法”列表，并在图中画出函数 y f x 在区
间 0, 上的图象；
21.（本题满分 12 分）已知函数 f x 2sin x( 3 cos x sin x) 1 .
(1)求函数 f x 的最小正周期及 f x 的单调区间﹔
π
(2)将 f x 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移 1个单位得到函数 g x ，当 x [0, ]时，求 g x
4 2
的值域；
8 π
(3)若 f ( ) ， (0, )，求 cos2 的值；
5 3
22.（本题满分 12 分）如图，直线 l1∥l2，点A是 l1， l2之间的一个定点，过点A的直线 EF 垂直于直线 l1，
AE π m，AF n（m，n为常数），点 B，C分别为 l1，l2上的动点，已知 BAC .设 ACF （0 ），3 3
ABC的面积为 S .
π
(1)若 ，求梯形 EFCB的面积；
4
(2)写出 S 的解析式；
(3)求 S 的最小值.
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2022~2023 学年度第二学期高一数学第一次月考参考答案
1 5
1．A【解】因为角 的终边经过点 P 2,1 ，所以 sin
2 2
.
12 5
3
2．B【解】由题意得 sin 3 10 ，则 sin 2 2sin cos ．
10 5
1 π
3．D【解】 f (x) tan( x)( 0)
π
的周期为 1， π，即 f (x) tan πx f ，则 tan 3 ，
3 3
4．B【解】因为角
3 4
的终边与单位圆交于点 P1 , ，所以 sin
4
= ，cos
3
，设点 P2023为角 的终边
5 5 5 5
与单位圆的交点，则 2022
π
，所以 sin sin

2022
π
sin
1011π 3
cos ，4 4 2 5
3
所以点 P2023的纵坐标为- .5
π
5 C 2π． 【解】由题知T π，得 2，即函数 y f (x) 2sin 2x ,
6
x 0, π 2x π π 5π , , sin 2x
π

1
又∵ ，∴ 即 ,1

， 2sin 2x
π
[ 1,2]， 2 6 6 6 6 2 6
故函数 f (x)的最大值为 2，最小值为－1.
6．B【解】 f x 在 0, 上单调递增， f 3 1 0, f 4 log3 4 1 0，
所以 f x 的零点在区间 3, 4 .
7．C【解】因为0
π 4
，0 ，所以0 π，所以， sin( ) 1 cos2 ( ) .
2 2 5
π π π又
π π 12
，所以 cos
2
1 sin

.所以，4 4 4 4 4 13
cos π cos




π π π
cos cos
sin sin 3 12 4 5 56 .
4 4 4 4 5 13 5 13 65
8．D【解】函数 f (x) 2sin( x )( 0,0 ) 若 f (x)
2
f ( x) f ( x)，
3

f (x) 2 所以 的图像关于 x 对称，且关于
3
,0
2
对称.因为 f (x)的最小正周期大于 ，所以0 4.
2
1 2
由 ，解得： 3 .所以 f (x) 2sin(3x

) .因为关于 ,0 对称，所以3 k , k Z ，4 2 3 2 2

可得： ，故 f (x) 2sin(3x ) 2cos3x.对于 A: f (x) 2cos3x为偶函数.故 A错误；对于 B： f (x)的
2 2
2 2
最小正周期为 .故 B错误；对于 C：当 x (0, )时，3x (0, )， f (x) 2cos3x单调递减.故 C错误；
3 3

对于 D： f (x)的图像向左平移 个单位长度后得到函数 y 2cos3 x 2sin 3x .故 D正确.6 6
答案 第 1页，共 6页
9 ．BC【解】要得到函数 y sin 2x
π
的图象，只要将函数 y sin x图象上所有的点横坐标缩短到原来的
3
1 π π
2 （纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位；或者向左平移 个单位，再将所得图象每一点的横6 3
1
坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变）.
10．BC 【解】对于 A， tan
3π
tan(π 2π) 2π tan 0 tan π π，A错误;对于 B， 2 3 π，由于函数
5 5 5 5 2
y tan x π在 ( , π)上单调递增，故 tan2 tan3，B正确；对于 C，
2
cos( 17π) cos 17π π π 2 cos(4 π ) cos ，
4 4 4 4 2
23π 17π 23πcos( ) cos(4π+ 3π ) cos3π 0，故 cos

cos
π π ，C正确；对于 D,函数 y sin x在[ , ]5 5 5 4 5 2 2
π π π π
上是增函数，而 ，所以 sin
10 18 18
sin ，D不正确；
10
11．ABD【解】
f (x) cos 2x

cos

2x

cos

2x cos
2x sin 2x

cos

2x


3 6 6 2 6 6 6
2 sin 2x

2 sin 5
6 4
2x
12
A B C : 显然 、 选项正确 选项 将函数 y 2 cos 2x的图像向左平 个单位得到 y 2 cos 2x ，图像24 12
x ,13 5 3 13 不会与原图像重合，故 C错误；D选项:当 24 24 ，则
2x
12
, ，∴ y f (x)在区间 , 2 2 24 24
上单调递减成立．
12．AC【解】对于 A选项，当0 tan x 2时，设OP交 AB于点 E，
AE
tan x tan AOE AE，所以， f x 1 1 OA AE tanxOA ，2 2
1 1
0 tan 2 f ， tan ，A选项正确；4 4 2 4 2
B x

对于 选项，当 ,

2
时，射线OP扫过的正方形 ABCD内部的区域（阴影部分）

π
的面积显然逐渐增加，即函数 f x 在 ,π 上单调递增，B选项错误；对于 C选项，取
2
BC的中点G，连接OG，
设射线OP与正方形的边的交点为 E，作点 E关于直线OG的对称点 F ，
则 FOD x，所以， AOF x，
将射线OF 绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形 ABCD的面积为S，由对称性可知 S f x ，
因为 S f x 4，即 f x f x 4，C选项正确；
3
对于 D选项，由 C选项可知， f x f x 4，则 f f 4，
4 4
答案 第 2页，共 6页
3 7
所以， f 4 f f

，所以，函数 f x 的图象不关于直线 x 对称，D选项错误.
4 4 2 4 2
3 4 3 3
13．答案： ##0.75【解】因为角 的终边在第四象限，且 cos ，所以 sin ， tan ，
4 5 5 4
所以 tan π tan 3 ．
4
2 2
14．答案：9【解】lg 4 2lg5 log 8 83 lg 4 lg52 log 23 (23 )32 2 lg(4 5
2 ) 3 22 lg102 7 2 7 9
1 π15．答案： 2 6
T 2π π 2π 1 1
【解】由图象可知 π，所以T 4π，故 ， f (x) sin
x ，
4 3 3 2 2
f 2π π π π π π π因为 3
sin 1，所以 2kπ， k Z ，即 2kπ， k Z ，又 | | ，故 ，
3 3 2 6 2 6
1
故 2 ， .6
16 n．答案：6【解】由题设，易知 x n , (n 1) ,n Z时，有 g x ( 2) sin x，
y f x g x x g x 1 sin x 0，故 y f x g x 在 2 , 无零点，同理 y f x g x 在
4
4 , 2 也无零点.∵ g x 2g x ，故将 y g x , x 0, 的图象
向右平移 个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍，∴在平面直角坐标系，
f x 、 g x 在 , 4 上如图所示：
log 3 2, log 5 7 又 2 2 4, log2 8，故 f x 、 g x 在 0,4 上的图象2 2 2
共有 5个不同交点，下证：当 x ,0 ， y f x g x 有且只有一个零点.
y x 1 1此时 sin x，而 y 1 cos x 0，故 y f x g x 在 ,0 上为减函数，故当 x ,0 ，有
2 2
f x g x f 0 g 0 0，当且仅当 x 0时等号成立.
综上， f x 、 g x 在 , 4 上的图象共有 6个不同交点，即 y f x g x 在 4 , 4 有 6个不同的
零点，
17．【解】（1）由 x+1＞0，解得 x＞﹣1，定义域为： 1, ；
（2） f x ln x 1 在定义域上是增函数， ln x 1 0 ln 0 1 , x 0 ，
综上， f x 的定义域为 1, ， ln x 1 0 时 x的取值范围是 0, .
18 2π．【解】（1）最小正周期T π2 ．
当 2x
π
2kπ π x kπ 3π，即 k Z 时， f x 取最大值
4 2 8 2 1
．
答案 第 3页，共 6页
3π
所以 f x 的最大值是 2 1，此时自变量 x的集合为 x x kπ ,k Z .
8
π x π 5π π 3π（2）∵ ，∴ 2x ．
2 2 4 4 4
π
所以当 2x
π π π x 3π ，即 时， f x 单调递增；
2 4 2 8 8
5π π π π π 3π
当 2x 或 2x ，
4 4 2 2 4 4
π x π 3π π即 或 x 时， f x 单调递减．
2 8 8 2
π 3π π π 3π π
综上可知 f x 在区间 , 上单调递增，在区间 , 和 , 上单调递减. 8 8 2 8 8 2
sin(π ) cos π sin sin sin sin
19．【解】（1） f ( )
2 sin cos ；
cos 3π
tan( π) sin tan sin
2 cos
f （2）由（1）得
π

π 1 π 1
cos

6

6
， cos ，
2 6 2
2
cos 2
π 2cos 2 π 1 1 1 2

1 .
3 6 2 2

20．【解】（1）∵ f x 相邻两条对称轴之间的距离为 ，∴ f x 的最小正周期T ．
2
2
,∴ 2 .∵直线 x 是函数 y f x 的图象的一条对称轴，
8
sin 2 1 k ∴ ．∴ ， k Z．∵ 0
3
，∴ ．
8 4 2 4
y sin 2x 3 2 （ ）由 4
知

x 3 5 7 0
8 8 8 8
y 2 2 -1 0 1 0
2 2
故函数 y f x 在区间 0, 上的图象如图．
答案 第 4页，共 6页
（3）由 y sin 2x
3
1
3
的图象上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到 y sin 4x ，
4 2 4
3
图象向左平移 个单位后得到 y sin 4
x sin

4x

16 16 4 2
cos 4x，

g x cos4x，令 2k 4x 2 2k ， k Z，
y g x k , k ∴函数 的单调减区间为 ， k Z． 2 4 2 2
π
21．【解】（1）f x 2sin x( 3 cos x sin x) 1 2 3 sin xcos x 2sin 2 x 1 3 sin 2x cos 2x 2sin 2x .
6
f x T 2π所以 的最小正周期 π .
2
由 2kπ
π π π π π
2x 2kπ 解得 kπ x kπ ，
2 6 2 6 3
π π
所以 f x 的递增区间是 kπ ,kπ ,k Z， 6 3
2kπ π 2x π 2kπ 3π π 5π由 解得 kπ x kπ ，
2 6 2 3 6
π 5π
所以 f x 的递减区间是 kπ ,kπ
,k Z .
3 6
π
（2）将 f x 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移 1个单位得到函数
4
g x 2sin 2
x π π 1 2sin
π
2x 1，
4 6 3
π π π 4π π 3 x 0, , 2x , ，所以 sin 2x ,1 , 2sin

2x
π
1 3 1,1 . 2 3 3 3 3 2 3
f π3 2sin 2 8 ,sin （ ） 2
π 4
，
6 5 6 5
0 π
2
由于 ,
π 2 π π ，所以 cos π 4 3
3 6 6 2
2 1 ，
6 5 5
π π π
所以 cos 2 cos 2 cos 2 cos
π sin 2 π π
sin 3 3 4 1 3 3 4
6 6
.
6 6 6 6 5 2 5 2 10
22．【解】（1）因为
π
，在△AFC中， AFC

，所以 FCA FAC ，所以 FC AF n，
4 2 4
BAC
5
又因为 ，在△AEB中， 因为∠AEB ，所以 EAB ，所以 BE m tan
5
，
3 2 12 12
S 1所以 EFCB BE FC EF
1
m tan
5
n
梯形 m n
1

2 2 12 2 2 3 m n m n ，
1
即梯形 EFCB的面积为 S EFCB 2 3 m n m n梯形 .2
（2）在△AFC中， AFC
n
，所以 FC ， FAC ，
2 tan 2
答案 第 5页，共 6页
BAC 又因为 ，所以 EAB

BAC CAF ，
3 6

在△AEB中，∠AEB ，所以 EB m tan ，
2 6
1 1 n
所以 S EFCB BE FC EF m tan 梯形 2 2 m n ， 6 tan
1 1 n2 1 1 2
又因为 S S AE EB m tan AFC AF FC ， AEB ，2 2 tan 2 2 6
S 1 1 S S S mn tan 所以 EFCB AFC AEB

梯形 2 tan 6
，

S 1mn 1 tan 即
2
.
tan

6
S 1 1 （3）由（2）得 mn
2
tan ，因为
tan 6
sin sin
sin cos cos

1 cos
tan 6 6 6
tan 6 sin cos cos
sin
6 6
cos
，
6 3 3
3 1 3 1 1 sin 2 1sin cos sin sin 2 cos 2
2 2 2 2 2 6 2
0 2 5 因为 ，所以 ，
3 6 6 6
2
1
所以当 即 时， tan



有最小值 ，
6 2 6 tan 6
2 3

S 1 mn 1 tan 又因为
2 tan
，
6
所以 S 的最小值为 3mn
答案 第 6页，共 6页