北师大版九年级上册 第四章 图形的相似同步练习2022-2023学年北师大版九年级数学上册（含解析）

初中数学试卷 第四章 图形的相似
一、单选题
1．下列多边形一定相似的是（　　）
A．两个平行四边形 B．两个矩形
C．两个菱形 D．两个正方形
2．如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（　　）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ ＝ ；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法正确的是（　　）
A．同时投掷两枚相同的硬币，出现“一正一反”的概率是
B．事件“两个正数相加，和是正数”是必然事件
C．数2和8的比例中项是4
D．同一张底片洗出来的两张照片是位似图形
4．如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，BE，CF为△ABC的两条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则AE的长为（　　）
A． B．4 C． D．
6．如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在 中，高 相交于点 ，图中与 相似的三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图， ， ，若 ，则CE的长是（　　）
A． B．2 C． D．5
9．如图，已知矩形 的顶点 分别落在 轴、 轴 ，则点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，过点E作EG∥AD交BC于点G，则EG∶AF的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为　 　cm.（精确到0.1cm）
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC=　 　．
13．如图，将正方形ABCD的边AB，BC绕着点A逆时针旋转一定角度，得到线段，，连接交CD于点E，连接，，若，则　 　.
14．如图，在□ABCD中，点E在DC上，若EC：AB=2：3，则S△ECF：S△BAF=　 　.
15．已知△ABC的三边分别是4，5，6，则与它相似△A′B′C′的最长边为12，则△A′B′C′的周长是　 　.
三、解答题
16．为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝1.6米，观察者目高CD＝1.5米，求树AB的高度.
17．如图，在 中， 是 上的点，且 ， .求证： .
18．附加题：
如图，在 中， ， ，垂足为 ， 、 分别为 、 的中点， ，垂足为 ，求证： ．
19．在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
发现：如图1，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，易得 的值为 ▲ ．
解决问题：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC=1：2．求 的值：
应用：若CD=2，AC=6，则BP= ▲ ．
20．如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.
四、综合题
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A.两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A不符合题意，
B.两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B不符合题意，
C.两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C不符合题意，
D.两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案．
2．【答案】C
【解析】【解答】有三个①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不符合题意④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项进行判断，即可求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、同时投掷两枚相同的硬币，出现“一正一反”的概率是 ，本选项说法错误，不符合题意；
B、事件“两个正数相加，和是正数”是必然事件，本选项说法正确，符合题意；
C、数2和8的比例中项是±4，本选项说法错误，不符合题意；
D、同一张底片洗出来的两张照片是全等图形，不一定是位似图形，本选项说法错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】同时投掷两枚相同的硬币，可能出现两正、两反、一正一反、一反一正四种情况，根据概率公式可判断A；根据必然事件的概念可判断B；根据比例中项的概念可得数2和8的比例中项是±4，据此判断C；根据全等图形的概念可判断D.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据可得，再将其代入计算即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】∵BE，CF为△ABC的两条高，∴∠AEB=∠AFC=90°.
∵∠A=∠A，∠AFC=∠AEB=90°,∴△AEB∽△AFC，∴ .
∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴ .
∵AB=6，BC=5，EF=3，∴ ，∴AE= .
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定求出△AEB∽△AFC，根据相似三角形的性质得出 ，根据相似三角形的判定得出△AEF∽△ABC，得出比例式，代入求出即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由题意可得△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行解答.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵高BD、CE相交于点F，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BFE=∠CFD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA，
∴△FBE∽△ABD，
同理可得△FCD∽△ACE，
∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．
故答案为：C．
【分析】先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．
8．【答案】D
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴CE=5，
故答案为：D．
【分析】由 ， ，得出，，由，得出，即可得出CE的长。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：过C作CE⊥y轴于E．
∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，
∴△CDE∽△ADO，
∴ ．
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD= ，
∴CE= OD=2，DE= OA=1，
∴OE=7，
∴C（2，7）．
故答案为：A．
【分析】要求点C的坐标，因此添加辅助线过C作CE⊥y轴于E，根据已知条件四边形ABCD是矩形，易证△CDE∽△ADO，得出它们的对应边成比例，求出CE、DE的长，再求出OE的长，就可得出点C的坐标。
10．【答案】C
【解析】【解答】连接DE.
AD、BE是三角形的中线
∴DE∥AB，DE=AB
∴△DEF∽△ABF
∴
∴
∵ED∥AD
∴△EGC∽△ADC
∴
∴
∴EG∶AF=
故答案为：C
【分析】先求出△DEF∽△ABF，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
11．【答案】12.4
【解析】【解答】解： 书的宽与长之比为黄金比，长为 ，
它的宽 .
故答案为：12.4.
【分析】所谓黄金分割，就是将整体一分为二，其中较小部分∶较大部分=较大部分∶整体=黄金比=，据此即可解决问题.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵∠ADE=∠B，
∵∠EAD=∠DAB，
∴△AED∽△ABD，
∴ ，
即 ，
∴AB= ，
∵AB=AC，
∴AC= ，
故答案为： ，
【分析】很容易判断出△AED∽△ABD，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式即可求出AB的长，进而根据AB=AC即可得出答案。
13．【答案】75°
【解析】【解答】连接AC，
根据旋转的性质得，，
∴，.
∵，
∴.
设，
∴，，
∴.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
即，
解得，
∴.
故答案为：75°.
【分析】连接AC，由旋转的性质可得AB=AB ，AC=AC ，∠ABB =∠AB B，∠AC C=∠ACC ，由相似三角形的对应角相等可得∠ABB =∠CEC ，设∠ABB =x，由正方形的性质可得∠CAD=45°，由图中角的构成∠CAD=∠CAC +∠EAD=45°可得关于x的方程，解方程可求解.
14．【答案】4：9
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴△BAF∽△ECF.
又∵EC：AB＝2：3，
∴S△ECF：S△BAF＝4：9.
故答案为：4：9.
【分析】由平行四边形的对边平行可得，AB∥CD，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△BAF∽△ECF，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解.
15．【答案】30
【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC中边长为6的边，
∴△A′B′C′的另两边的长为8，10，
故△A′B′C′的周长为8+10+12=30.
故答案为：30.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可知最长边12对应的边为6，于是可得相似比为6∶12=1∶2，根据相似比可求得另两边的长，根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解.
16．【答案】解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则 ，即 ，
解得：AB＝7.5（m），
答：树AB的高度为7.5m.
【解析】【分析】利用已知条件可证得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，利用有两组角相等的三角形相似，可得△ABE∽△CDE，再利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长.
17．【答案】证明： ， ，
又
【解析】【分析】 是公共角，由AB=AC可得 ，再证 即可.
18．【答案】证明：连接 、 ，
∵AD⊥BC，DF⊥BE
∴∠BFD=∠DFE=∠BDE=90°，
∴∠BDF+∠FDE=∠FBD+∠BDF =90°，
∴∠FDE=∠FBD
∴ ，
∴∠BDF=∠DEF， ，
∴180°-∠BDF=180°-∠DEF
即∠FDC=∠FEA
∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD
∴
∴
∴
∴∠AFE=∠CFD
∴∠AFE+∠EFC=∠CFD+∠EFC
即∠AFC=∠EFD=90°，
又∵G是AC的中点，
∴在Rt△AFC中，
在Rt△ADC中，
∴ ．
【解析】【分析】先证明 ，再求出 ∠AFE=∠CFD ，最后计算求解即可。
19．【答案】解：发现：如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到 = = ．解决问题：如图2中，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中， ，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴ = = = = ．应用：当CD=2时，BC=4，AC=6，∴EC= AC=3，EB= =5，∴EF=BE=5，BF=10．∵ = （已证），∴ = ，∴BP= BF= ×10=6．
【解析】【分析】发现：根据AAS可得△AEF≌△CEB，进而得出AF=BC。由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可以求出.
解决问题：根据ASA可得△AEF≌△CEB，则有EF=BE、AF=BC=2k，再证明△AFP∽△DBP，由相似三角形的性质求出.
应用：当CD=2时，可以求出EB、EF、BF的值，根据求出，即可得BP的值.
20．【答案】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB，
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°，
∴∠MFB＝30°，
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝ 米.
∵BE⊥CB，MF⊥BE，
∴BH∥MF，
∴△EBH∽△EMF，
∴ ＝ .
又∵EB＝1.8米，
∴ ＝ ，
∴BH＝ .
∵BE∥CD，
∴△HBE∽△HCD，
∴ ＝ .
∵CB＝5 ，
∴ ＝ ，
∴CD＝15.8米.
∴大树CD的高度为15.8米.
【解析】【分析】 延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，首先判断出 △EBH∽△EMF， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式算出BH的长，再判断出 △HBE∽△HCD ，根据相似三角形的对应边成比例得出 ＝ ，由比例式即可算出CD的长.
21．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF
（2）解：∵△BDE∽△CEF，
∴ ，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴ ，
∵∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△CEF，
∴∠DFE=∠CFE，
∴FE平分∠DFC．
【解析】【分析】（1）根据等边对等角，可证得∠B=∠C，再证明∠BDE=∠CEF，然后根据有两组角对应相等的两三角形相似，即可证得结论。
（2）由（1）中的两三角形相似，可证得，再由点E是BC的中点，就可证得BE=CE，就可证得，然后根据相似三角形的判定定理，可证得△DEF∽△CEF，利用相似三角形的性质，可证得∠DFE=∠CFE，即可证得结论。