勾股定理[上学期]
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课件38张PPT。14.1勾股定理石门实验中学初二数学备课组如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？挑战难关（图中每一格代表一平方厘米）观察左图：
（1）正方形P的面积是 平方厘米。（2）正方形Q的面积是 平方厘米。（3）正方形R的面积是 平方厘米。121SP+SQ=SRRQPAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ 活动一 ? Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?想一想探究活动916259413SP+SQ=SRBC2+AC2=AB2(每一小方格表示1平方厘米)把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
S正方形Rcababc证明：s总=4s1+s2①②又s总=c2赵爽弦图美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 有趣的总统证法伽菲尔德证法
剪四个完全一样的直角三角形，将他们拼成下图所示的正方形，用不同的方法表示大正方形的面积,也可以说明勾股定理的正确性 勾股定理（gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．c2=a2 + b2a2=c2 － b2b2 =c2 －a2结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； 勾股定理史话 勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者陈子（公元前六七世纪）与荣方的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即
邪至日2=勾2+股2
陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。
人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最先发明的.
勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多，1940年卢米斯收集了这个定理的370种证明，期中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德的证法。到目前为止,已有四百多种证法.
毕达哥拉斯定理Pythagoras’ theorem毕达哥拉斯在国外，相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。 1这节课你学到了什么知识？
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)
2 你是通过什么方法得出这一结论的?小 结：3 这节课体现了哪些数学思想方法?通过数格子和割补法求面积数形相结合,从特殊到一般.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？排除万难ABC课堂 练 习求出下列直角三角形中未知边的长度。6x2524x101、求下列2个三角形中的第三条边的长。试一试:例1、已知△ABC中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
已知: a=1, b=2, 求 c;
已知: a =15 , c =17, 求 b;
已知: a = ,b= , 求 c;
(4)已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求 a ,b.
你能用刻度尺和圆规作一条线段,使它的长度为√5cm?比一比，看谁做的快 如图，在Rt△ABC中,
∠c = 90°325114动手操作 在右图(书本50页做一做)的方格图中，用三角尺化出两条直角边分别为５cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边，并验证刚才得到的直角三角形三边的关系是否成立。(每一小格代表１平方厘米)５1252+122=132132．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49C例2、 如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米) 以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关系？? 议一议 例题 ? 例2：如图，引葭赴岸：“今有池方一丈，葭生其中央
分水一尺，引葭赴岸适与岸齐，问水深，葭长各几何。” 意思：有一个水池一丈见
方，池中间生有一棵芦苇，露
出水面一尺，如把它引向岸边，
正好与岸边齐，问水有多深，
芦苇有多长？证明：画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=bC’A’B’ab证明:例４ 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好从某人头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这人头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图形，其中A点表示头顶的位置，C，B点表示两个时刻飞机的位置，∠C是直角，那么可以用勾股定理来解决问题了。解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是52=BC2+42，
所以BC=3米。即飞机的速度为540千米/时。例５．折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 及EC.ABCDEF810106X8-X48-XABCDEF81010X8-X8-X64解：由题意得AD= BC=10CM∴BF2=AF2-AB2=102-82在直角三角形EFC中FC2+EC2=EF2解，得 X=3∴BF=6 FC=4∵AB⊥BC设EC=X，则EF=8－X。即42+X2=（8-X）2∴EC=3
?
?
例７.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( )
A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 BB8OA2蛋糕ACB 例８ 如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？10201020FEAECB2015105例６、某市要建造一图书馆，位置在如图所示的直线AB上选取，该市有两所学校在点C和点D的位置，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25千米，CA=15千米，DB=10千米，试问：图书馆E应该建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？ACEBD解：设AE=x，则BE=25-x，x由勾股定理得：
CE2=AE2+AC2=x2+152
DE2=BE2+DB2=（25-x）2+102∴ x2+152 =（25-x）2+102
解得 x=10（千米）151025-x 3、如图：一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端也外移0.5米吗？说明理由。ADCBO分析：要求BD,可以先求出BO和OD即可梯子的长度前后会发生变化吗？定理应用ACOBD梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.解:在Rt△AOB中，在Rt△COD中，OD－OB = 2.236 －1.658 ≈0.580.58 m费马大定理：
方程：Xn＋Yn=Zn,当n大于2时，这个方程没有任何整数解 。
（1）正方形P的面积是 平方厘米。（2）正方形Q的面积是 平方厘米。（3）正方形R的面积是 平方厘米。121SP+SQ=SRRQPAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ 活动一 ? Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?想一想探究活动916259413SP+SQ=SRBC2+AC2=AB2(每一小方格表示1平方厘米)把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
S正方形Rcababc证明：s总=4s1+s2①②又s总=c2赵爽弦图美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 有趣的总统证法伽菲尔德证法
剪四个完全一样的直角三角形，将他们拼成下图所示的正方形，用不同的方法表示大正方形的面积,也可以说明勾股定理的正确性 勾股定理（gou-gu theorem) 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．c2=a2 + b2a2=c2 － b2b2 =c2 －a2结论变形直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； 勾股定理史话 勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者陈子（公元前六七世纪）与荣方的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即
邪至日2=勾2+股2
陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。
人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最先发明的.
勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多，1940年卢米斯收集了这个定理的370种证明，期中包括大画家达·芬奇和美国总统詹姆士·阿·加菲尔德的证法。到目前为止,已有四百多种证法.
毕达哥拉斯定理Pythagoras’ theorem毕达哥拉斯在国外，相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。 1这节课你学到了什么知识？
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)
2 你是通过什么方法得出这一结论的?小 结：3 这节课体现了哪些数学思想方法?通过数格子和割补法求面积数形相结合,从特殊到一般.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？排除万难ABC课堂 练 习求出下列直角三角形中未知边的长度。6x2524x101、求下列2个三角形中的第三条边的长。试一试:例1、已知△ABC中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
已知: a=1, b=2, 求 c;
已知: a =15 , c =17, 求 b;
已知: a = ,b= , 求 c;
(4)已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求 a ,b.
你能用刻度尺和圆规作一条线段,使它的长度为√5cm?比一比，看谁做的快 如图，在Rt△ABC中,
∠c = 90°325114动手操作 在右图(书本50页做一做)的方格图中，用三角尺化出两条直角边分别为５cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边，并验证刚才得到的直角三角形三边的关系是否成立。(每一小格代表１平方厘米)５1252+122=132132．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49C例2、 如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米) 以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关系？? 议一议 例题 ? 例2：如图，引葭赴岸：“今有池方一丈，葭生其中央
分水一尺，引葭赴岸适与岸齐，问水深，葭长各几何。” 意思：有一个水池一丈见
方，池中间生有一棵芦苇，露
出水面一尺，如把它引向岸边，
正好与岸边齐，问水有多深，
芦苇有多长？证明：画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=bC’A’B’ab证明:例４ 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好从某人头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这人头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图形，其中A点表示头顶的位置，C，B点表示两个时刻飞机的位置，∠C是直角，那么可以用勾股定理来解决问题了。解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是52=BC2+42，
所以BC=3米。即飞机的速度为540千米/时。例５．折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 及EC.ABCDEF810106X8-X48-XABCDEF81010X8-X8-X64解：由题意得AD= BC=10CM∴BF2=AF2-AB2=102-82在直角三角形EFC中FC2+EC2=EF2解，得 X=3∴BF=6 FC=4∵AB⊥BC设EC=X，则EF=8－X。即42+X2=（8-X）2∴EC=3
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例７.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( )
A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 BB8OA2蛋糕ACB 例８ 如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？10201020FEAECB2015105例６、某市要建造一图书馆，位置在如图所示的直线AB上选取，该市有两所学校在点C和点D的位置，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25千米，CA=15千米，DB=10千米，试问：图书馆E应该建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？ACEBD解：设AE=x，则BE=25-x，x由勾股定理得：
CE2=AE2+AC2=x2+152
DE2=BE2+DB2=（25-x）2+102∴ x2+152 =（25-x）2+102
解得 x=10（千米）151025-x 3、如图：一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端也外移0.5米吗？说明理由。ADCBO分析：要求BD,可以先求出BO和OD即可梯子的长度前后会发生变化吗？定理应用ACOBD梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.解:在Rt△AOB中，在Rt△COD中，OD－OB = 2.236 －1.658 ≈0.580.58 m费马大定理：
方程：Xn＋Yn=Zn,当n大于2时，这个方程没有任何整数解 。