(共21张PPT)
a
c
b
图19.2.5
勾股定理的证明及应用
19.2.2勾股定理
八年级数学下
19.2-2勾股定理
嘉积中学海桂学校多媒体课件
勾股定理(毕达哥拉斯定理)
（gou－gu theorem）
如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
c
a
b
八年级数学下
19.2-2勾股定理
勾股定理
A
C
B
考考你:
如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从城门内通过 为什么
2m
D
C
A
B
1m
下图有四个全等的直角三角形。
a
b
c
用这四个三角形拼一拼、摆一摆，你能拼成如图所示的图形吗？
a
b
c
a
b
c
a
b
c
八年 级 数 学
19.2-2勾股定理
嘉积中学海桂学校多媒体课件
a
b
a
b
a
b
a
b
c
c
c
c
a
b
a
b
a
b
a
b
c
c
c
c
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
可得: a2 + b2 = c2
探究活动一：勾股定理面积证法
勾股定理的证明
同学们，你们能用不同的方式表示这个大正方形的面积吗？试试看，相信你是最棒的！
大正方形的面积可以表示为 。
又可以表示为 。
(a+b)2
=
C2+4×
a·b
这四个直角三角形还能拼成怎样的正方形？
c
c
c
c
=
c2 = a2+b2－2ab －2ab
a2 + b2 = c2
试一试 ，相信你是最棒的！
勾股定理的证明
a
b
大正方形的面积可以表示为 。
又可以表示为 。
C2
(b-a)2 +4× ab
C2
(b-a)2 +4× ab
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
什么是“勾、股”呢
读一读
读一读
图19.2.7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲,正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽 ．
读一读
试一试 ，相信你是最棒的！
勾股定理的证明
将图19.2.6沿中间的小正方形的对角线剪开，得到如图所示的梯形。利用此图的面积表示式验证勾股定理。
c
b
a
b
a
c
∴
让我来给你讲讲这种证明方法的小故事把。
a + b
数学趣闻—勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
读一读
伽菲尔德
James A. Garfield
1831 1881
学校组织野外考察活动.目的是测量一个小 湖泊的最宽处有多少米
活动要求:
1.团队合作,设计出可行的测量方案。
2.找出需要测量计算所必须的数据。
实地考察
Ｂ
Ａ
勾股定理的应用
如图,为了求出湖两岸的Ａ、Ｂ两点之间的距离，一个观测者在点Ｃ设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形。通过测量，得到AC长160米， BC长128米。问从点Ａ穿过湖到点Ｂ有多远？
160m
128m
Ｃ
解：在直角三角形ABC中，
根据勾股定理可得
答：从点Ａ穿过湖到点Ｂ有96米。
∟
实际问题转化为数学问题:已知两直角边求斜边。
102+242 =26
答：大树在折断之前高为36米。
26+10 = 36（米）
勾股定理的应用
解：利用勾股定理可以求折断倒下部分的长度为:
大树原来有多高？
10米
24米
受大风和雷电影响，一棵树在离地面10米处断裂，树的顶部落在离树跟底部24米处，这棵树折断前有多高？
勾股定理的应用
同学们，你们能够学以致用吗？
1.假期中，王强和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走８千米，又往北走２千米，遇到障碍后又往西走３千米，再折向北走到六千米处往东一拐，仅走１千米就找到宝藏，问登陆点Ａ到宝藏埋藏点Ｂ的直线距离是多少千米？
２
１
８
３
６
Ｂ
Ａ
Ｄ
2.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
B
C
A
同学们，你们能够学以致用吗？
勾股定理的应用
3.如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积和周长。
A
B
C
D
F
E
G
H
同学们，你们能够学以致用吗？
勾股定理的应用
4.如图,两艘军同时从某军港口出发执行任务,甲舰以30海里/时的速度向西北方向航行,乙舰以40海里/时的速度向西南方向航行,1.5小时后两舰相距多远
O
甲(A)
乙(B)
同学们，你们能够学以致用吗？
勾股定理的应用
⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b平方和，等于斜边c平方。
a2+b2 =c2
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。
⒊勾股定理的主要作用是:
在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。
a
c
b
1、 a +b =c ，满足a,b,c互质,则
a,b,c为基本勾股数.如：3、4、5 ;
5、12、13 ; 7、24、25……
2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10 ；9、12、15……
3、一组勾股数中必有一个数是5倍数
勾 股 数
勾股小常识
