西南大学附属中学 重庆外国语学校 重庆育才中学
高 2024 届拔尖强基联盟高二下半期联合考试
数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A A B A B B AB ACD AB ACD
8. 解析：易证：当 x (0,1)，ln(1 x) x tan x .令 x 0.1有 ln1.1 tan 0.1 tan 0.11 .
故b a . 令 f (x) 2ln(1 x) 1 1 4x (0 x 1) ， f '(x) 2 2 ，
1 x 1 4x
(1 x)2由 ( 1 4x )2 x(x 2) 0, 0 x 1 1 x 1 4x f '(x) 0.
f (x)在 (0,1)单调递增 f (x) f (0) 0, 0 x 1 . f (0.1) 0 ,即a c .
12. x 1 2 f x ex ln x 1解析： f x e ln x ln x 2x 1， 2 .
2 x x
2 x
f '' x x e ln x ,令 t(x) x2e x ln x在 (0, )单调递增，
x2
t 1 e ln 2 0,t (1) e 0 x 1 ，故存在唯一 0 ,1
使得 t x0 0，且
2 4 2
当 x (0, x0 )时， t x 0 f ''(x) 0 f '(x)递减
当 x (x0 , )时， t x 0 f ''(x) 0 f '(x) 递增
f '(x) x ln x 1存在最小值，且 f 'min (x) f '(x0 ) e 0 0 2 ，其中 x 满足x0 x
0
0
ln 1
x20e
x0 ln x0 0即 x0e
x 1 ln 1 10 ln e x0 ， x 10 ,1
.
x 0 x0 x0 2
又 h(x) xe x h(x ) h ln 1 在 0, 单调递增， 0 ，x0 0, ln
1
0 ，
x0 x0
x0 ln
1 x 1
即 e 0 f '(x ) 1 ,故 A正确.
x
0
0 x0
1
由存在唯一 x0 ,1 使得 f '(x)在 (0, x0)单调递减，在 (x0 , )单调递增，
2
1
由导数的几何意义可知 B错误.
当 x 0 1时， f '(x) ， f ' e 2ln 2 4 0,
2
f ' 1 e 3 0,当 x , f '(x) .
f '(x)在 (0, x0)
存在唯一零点 x1，且 x1 0
1
， ，在 (x0， )存在唯一零点
2
x2，且 x2 1, . f (x)在 (0, x1)单调递增，(x1, x2 )单调递减，(x2， )单
调递增，故 C正确.
当 x 0 时， f (x) ，
f 1 1 2 e ln 2 ln 2 2 1.6 0.7 0.25 2 0 ， f 1 e 3 0
2 2
当 x 时， f (x) ，故 D正确.
13. ( ,0),(0,1) 14． 256 15． (2 e, ) 16． 264
16. 解析：第一步：填方框 1，2，3 3，共 A4 24种不同方法.
第二步：填方框 4，5，6.
不妨设方框 1，2，3分别填数字 1，2，3如图，分为三类：
第一类：方框 4填 1，易知有 4种不同填法；
第二类：方框 4填 2，同第一类共 4种不同填法；
第三类：方框 4填 4，易知有 3种不同填法. 共 11种不同填法
故共有 24 11 264种不同填法.
1 5
3 4
2 6
16 题图
2
17. 解（1）设数列 an 的公比为 q，由题:anq2 4(anq an ),an 0 ,
(q 2)2 0 q 2 . an 2
n
.-----------------------------------2 分
b b b b
又 n 1 n n 是首项为b 1的常数列.故 n 1即b n ----------5 分
n 1 n 1 n n n
c 1 2n 1 1（2） n 2 2
n ( 1 1 ) 2n ------7 分
4n 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
Tn c1 c2 cn
1 1 1 1 1 1 1 (21 22 2n )
2 1 3 3 5 2n 1 2n 1
1 1 1 2(1 2
n )
2 2n 1 1 2 -----------------------------------------10 分
n
2n 1 2
2n 1
1
x 1 loga x loga a
18. 解：（1） f x x ln a ，则 f a ln a 0 a e --——---3 分
x2 a2
此时， f x 1 ln x 0 0 x e; f x 0 x e.
x2
f (x)在 0,e 单调递增，在 e, 单调递减
f (x)在 x e处取得极大值，符合题意. a e——----------------6 分
（2）（i）当 t 1 e即0 t e 1时， f (x)在区间 t,t 1 单调递增，
ln(t 1)
则 fmax (x) f (t 1) ；—--------------------------------8 分t 1
1
（ii）当 t e t 1即 e 1 t e时， fmax (x) f (e) ；-----------10 分e
ln t
（iii）当 t e时， f (x)在区间 t,t 1 单调递减， fmax (x) f (t) t
3
ln(t 1)
, 0 t e 1
t 1
综上： fmax (x) g(t)
1
, e 1 t ee -----------------12 分
ln t
, t e t
19. 解：（1）由题： a n 11 a2 a3 ... ( 1) an 1 (n 1）
2 (n 2) ----------------2 分
则 ( 1)nan n
2 (n 1）2 2n 1(n 2) an ( 1)
n (2n 1)(n 2) --4 分
又 a1 1 a1 1满足上式，故 an ( 1)
n (2n 1) -----------------6 分
（2）（i）当 n为偶数时， Sn 1 3 5 7 ... (2n 3) (2n 1) n------9 分
（ii）当 n为奇数时， Sn Sn 1 an 1 (n 1) (2n 1) n-----------11 分
n, n为偶数
S ( 1)n n ---------------------------------12 分n
n, n为奇数
20. 解：（1）由题： f x ax2 x a 1， f 1 2a 2 2，则 a 2. -----------3 分
（2） f x ax2 x a 1(x 2)
（i）当 a 0时， f x 0, x 2 f (x)在[2, )单调递减；-----------5 分
3
（ii）当0 a 时， f x 开口向上， f 2 5a 3 0，5
f x 0 x 1 4a
2 4a 1
则 0 ，2a
且当 x [2, x0 )时， f x 0， f (x)单调递减；
当 x (x0 , )时， f x 0， f (x)单调递增.--------------------------9 分
（iii 3）当 a 时， f x x 1开口向上，对称轴 2， f x 在[2, )单增，
5 2a
当x 2时，f x f (2) 5a 3 0 f (x)在[2, )单调递增.
综上：当 a 0时， f (x)在[2, )单调递减；
2
0 a 3 1 4a 4a 1当 时， f (x)在 单调递减，在
5 [2, )2a
4
2
(1 4a 4a 1 , )单调递增
2a
3
当 a 时， f (x)在[2, )单调递增.-----------------------------12 分
5
21. 解：（1） e c 3 2 2 2， c 3，b a c
a 2
x2
所以椭圆的标准方程为 y2 1．--------------------—----------4 分
4
x2
y2 1
（2）设 AF2 的方程为 x ty 3
， 4 (t 2 4)y2 2 3ty 1 0，
x ty 3
0
设 A(x1, y1),B(x2 , y )
2 3t
2 ，则： y1 y2 2 ， --------——————————-6 分
t 4
y y 1 1 2 t 2 4
QO 1 t
2 1
为 AB的中点， S ABC 2S OAC =2 3 y1 y2 4 3 2 ————-9 分2 t2 4
m t 2 m 1 1令 1 m 1 S ABC 4 3 4 3 4 3 2 m 3 2 m 9 6
m 2 m
9
6
m
当且仅当m 3时， ABC面积的最大值为 2．——————————————-12 分
22. 解：（1） f x e x ax最大值
（i）当 a 0时， f x ex在 R上单调递增，无极值点；
（ii）当a 0时， f '(x) 0 1 x x g(x)a e
g '(x) 1 x x 0 x 1 g(x)在 ( ,1)单调递增， (1, )单调递减；e
gmax (x) g(1)
1
，当 x , g(x) ，当 x ,g (x) 0
e
1 1 1 x
①当 即0 a e时， xx 即 e ax即 f '(x) 0a e a e
f (x)在 R上单调递增，无极值点；
5
0 1 1 1 x②当 即a e时，设 x 的两根为 x1, x2 (x1 xa e a e 2
)
1 x
则当 x ( , x )时， 即 ex1 x ax即 f '(x) 0 f (x)单调递增；a e
同理已知 f (x)在 x1, x2 单调递减，在 x2 , 单调递增, 此时 f (x)恰有两
个极值点；
1
③当 0即a 0 1 x时， x 有唯一实根（设为 x0）易知 f (x)在 , x 单调a a e 0
递减，在 x0 , 单调递增，此时 f (x)恰有一个极值点.
综上：当 a 0时， f (x)恰有一个极值点；
当0 a e时， f (x)无极值点；
当 a e时， f (x)恰有两个极值点.---------------------—----6 分
1 x
（2）解法一：由题及（1）知， a e且 x1, x2 (x1 x2 )为 x g(x)的两根，且a e
1
0 x1 1
1
x2 . 要证 x1x2 1即证 x1 .又0 x1 1,0 1, g(x)在 ( ,1)单调递x2 x2
g(x ) g 1
1
增，故只需证 1 . 又 g(x1) g(x2 ) ，故只要证 g(x2) g , x 1. --8 分 x2 x
2
2
1
x
1 1 1 (x 1)(x3exh '(x) g ' g '(x) 1)令 h(x) g g(x)(x 1)， 2 1 (x 1)， x x x x3ex
1 x 13 x 2
令 t(x) x ex 1(x 1),t '(x) xex (x 3x 1)
t(x) 1, 3 5
3 5
在 单调递增，在2
,
2
单调递减，
且 t(1) 0,当x ，t(x) 1 存在唯一 x0 1使得 t(x0) 0.
当 x (1, x0)时， t(x) 0 h '(x) 0 h(x)单调递增；
当 x (x0， )时， t(x) 0 h '(x) 0 h(x)单调递减；
又 h(1) 0 x ，h(x) 0 ，当 h(x) 0, x 1.命题得证.----------------12 分
6
ex1 ax
解法二：由题： 1 其中0 x 1 x ex x
x
2 1 2
x 1 2 t 1 x2 tx1, x2 x1 ln t
e 2 ax2 x1
ln t
即 tx1 x1 ln t x1 .t 1
2
x1x2 1 tx
2 1 t ln t 1 1(t
ln t 1
1) t 1(t 1) t ln t 0(t 1)
t 1 t 1 t
---------------------------------------------------------------------------9 分
2
令 F (t) t 1 ln t(t 1),F '(t) ( t 1) 0 F (t)在 (1, )单调递增.
t 2 t3
F (t) F (1) 0, t 1.命题得证.-------------------------------------------12 分
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高 2024 届拔尖强基联盟高二下半期联合考试
数 学 试 题
（满分：150 分；考试时间：120 分钟）
2023 年 4 月
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；必须
在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
2 f (3) f (3 2Δx)
1. 已知函数 f (x) = x 2 ，则 lim =
Δx→0 Δx
A. 12 B. 9 C. 9 D. 12
2. 某校开设 A 类选修课 4 门，B类选修课 2 门，每位同学从中选 3 门．若要求两类课程中都至少
选一门，则不同的选法共有
A. 14 种 B. 16 种 C. 20 种 D. 28 种
3. 4 位同学参加 3 个外语节目选拔，每个同学恰选择一个节目参加，则不同的参加方式有
34 种 43A. B. 种 C. A
3
4 种
3
D. 3A3 种
4. 意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，
3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕
草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应
用．已知斐波那契数列 a 满足：a =1,a =1,a = a + a ，若n 1 2 n+2 n+1 n a4 + a6 + a8 + a10 + a12 = am 2，
则m =
A. 13 B. 14 C. 144 D. 233
5. 若函数 f (x)=x2 a ln x x 2023(a R) 在区间[1,+ ) 上单调递增，则a 的取值范围是
1 1
A. ( ,1) B. ( ,1] C. ( , ) D. ( , ]
8 8
高二下半期联合考试 数学 第1页，共 4 页
6. 已知函数 f (x) = x3 3a2x+1(a 0)恰有两个零点，则a =
1 1 2 2
A. 2 3 B. 23 C. 2 3 D. 23
7. 2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，
深受各国人民的喜爱．某商店有 4 个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和 3 个不同造型的“雪容融”吉
祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列
方法总数为
A. 480 B. 960 C. 1080 D. 1440
8. 若a = 2ln1.1+1，b = 2tan0.11+1，c = 1.4 ,则
A. c a b B. b a c C. c b a D. a b c
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9. 已知数列 an 的前n 项和为 Sn ，若a1 = 5，an+1 = an +3则下列说法正确的是
S
A. a 是递增数列 B. 数列 n 是递增数列 n
n
*
C. 数列 Sn 中的最小项为 S3 D. Sm S2m S3m (m N )成等差数列
10. 某校计划安排五位老师（包含甲、乙）担任周一至周四的值班工作，每天都有老师值班，且每
人最多值班一天，则下列说法正确的是
A. 若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有 60 种
B. 若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有 48 种
C. 若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有 240 种
D. 若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之前值班的不同的
安排方法共有 84 种
11. 已知直线 y = kx +b是曲线 y = ln(2+ x)与 y = 2+ ln x 的公切线，则下列说法正确的是
A. k =1 B. k +b = 2 C. k = 2 D. k +b = 4
12. 小明热爱数学，《九章算术》、《几何原本》、《数学家的眼光》、《奥赛经典》、《高等数学》都是他
的案头读物. 一日， 正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数 f (x)在区
x + x f (x )+ f (x )
间 I 有定义，且对 x1, x I , x x ，若恒有
1 2
f 1 2 ,则称函数 f (x)在区间 I2 1 2
2 2
高二下半期联合考试 数学 第2页，共 4 页
x + x f (x1 )+ f (x )上“严格下凸”；若恒有 f 1 2 2 ，则称函数 f (x)在区间 I 上“严格上凸”. 现已
2 2
知函数 f (x) = ex
1
ln2 x ln x 2x 1， f (x)为 f (x)的导函数，下列说法正确的是
2
A. f (x)有最小值，且最小值为整数
1
B. 存在常数 x0 ,1 ，使得 f (x)在 (0, x0) “严格下凸”，在 (x ,+ ) “严格上凸” 0
2
C. f (x)恰有两个极值点
D. f (x)恰有三个零点
注：e为自然对数的底数，e 2.718，ln2 0.693.
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
ex
13. 函数 f (x) = 的单调递减区间是________.
x
14. 已知等差数列 a 的前 n项和为 S ,a + a = 8,S = 27, 则nS 的最大值为________. n n 2 7 9 n
当 x (0,+ )时，函数 y = ex15. 的图象恒在抛物线 y = x2 ax+1的上方，则实数a 的取值范围是
________.
16. 如图，将 1，2，3，4 四个数字填在 6 个“ ”中，每个“ ”中填一个数字，有线段连接的
两个“ ”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同填数方法有________种.
16 题图
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．其中，17 题 10 分，18，19，20，21，22 各 12 分.解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
n+1
17. 已知等比数列 an 满足a1 = 2 , a n+2 = 4(an+1 an ) ，数列 bn 满足b1 =1, b = b . n+1 n
n
1
(1) 求数列 an ， bn 的通项公式； （2）令cn = + an ，求 cn 的前n 项和Tn .
4b2n 1
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log x
18. 已知函数 f (x) = a (a 0且a 1)在 x = a处取得极值.
x
(1) 求实数 a 的值；
(2) 求 f (x) 在区间 t, t +1 (t 0)上的最大值 g(t) .
19. 已知数列{ }满足 a + a a + ...+ ( 1)
na = n2 * . 1 2 3 n (n N )
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 求数列 an 的前n 项和 Sn .
1 3 1 2
20. 已知函数 f (x) = ax x + (a 1)x +1(a R).
3 2
(1) 若 f (x) 的图象在 (1, f (1))处的切线与直线 x + 2y +1= 0垂直，求实数a 的值；
(2) 讨论 f (x) 在[2,+ )上的单调性.
x2 y2 3
21. 已知椭圆E : + =1（a b 0）的离心率e = ，右焦点F2 ( 3,0).
a2 b2 2
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 设点 A为椭圆E上一点，O为坐标原点，直线 AO, AF2 交椭圆于 B,C 两点，试问： ABC 面
积是否存在最大值？如果存在，请求出最大值；如果不存在，请说明理由.
x 1 2
22. 已知函数 f (x) = e ax (a R).
2
(1) 讨论 f (x) 的极值点个数；
(2) 若 x1, x2 为 f (x) 的两个极值点，证明： x1x2 1.
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