梅州市四校2022-2023学年高一下学期4月联考
（数学）试题
满分150分，考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．2
2．在中，角所对的边分别为若，则角（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量的夹角为，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．在中，若三边之比，则等于（ ）
A． B．﹣2 C．2 D．
5．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ）
B．
C． D．
6．在中，角所对的边分别为且，若，则的形状是（ ）
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，在中，，，则＝（ ）
A．9 B．18
C．6 D．12
8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，若在上的最大值为，则的取值个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知，，若，与共线，则
B．若∥，∥，则∥
C．若，则一定不与共线
D．若，＝（），为锐角，则实数的范围是
10．设函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
11．在中，已知，给出下列结论中正确结论是（ ）
A．这个三角形被唯一确定 B．一定是钝角三角形
C． D．若，则的面积是
12．如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知为锐角，且，则的值为____________.
14．在一座20高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为 ．
15.已知向量，则的最大值为 .
16.函数（，）的部分图象如图所示，直线（）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）已知向量，．
（1）求与坐标
（2）求与之间的夹角；
18．（本小题12分）在锐角中，的对边分别为且．
（1）确定角的大小；
（2）若，且，求边的值．
19．（本小题满分12分）已知函数的图象相邻对称中心之间的距离为．
（1）求的最小值，并求取得最小值时自变量的集合；
（2）求函数在区间上的取值范围．
20．（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求点的坐标；
（2）判断四边形的形状，并求出其周长．
21．（本小题满分12分）某海轮以30海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏
东60°，向北航行40分钟后到达点，测得油井在南偏东30°，海轮改为北偏东 60°的
航向再行驶40分钟到达点．
（1）求、间的距离；
（2）求在点测得油井的位置？
22．（本小题满分12分）在锐角三角形中，角的对边分别为，为在
方向上的投影向量，且满足．
（1）求的值；
（2）若，，求的周长．参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B A A D C C B B
二、多选题
9 10 11 12
A D A B D B C A C
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）因为，，所以，1分
，，3分
所以4分
（2）因为，，所以，5分
设与之间的夹角为，
则，8分
因为9分
所以与之间的夹角为.10分
18.解：（1）由得,3分
因为，所以4分
又为锐角三角形，所以6分
（2）由余弦定理得，8分，
化简得9分
又，所以10分，
由，得或12分.
19.解：（1）因为2分
由题意得，的最小正周期为3分
所以，得
所以4分
当时，
即时，取最小值5分
故取得最小值时自变量的集合为；6分
（2）由，得，7分
结合函数的图像，得，11分
所以函数在区间上的取值范围为.12分
20.解：（1）在平面直角坐标系中，由，知，1分
又，，设，
则，2分
，3分
点．4分
又，5分
点．6分
（2）由（1）可得，，，7分．8分
，．10分
又，，
四边形为等腰梯形11分
，，，，
四边形的周长为8．12分
21.解：（1）如图，在中,,,2分
由正弦定理得：,故3分
在中,,结合图形,易求,4分
所以5分
答：间的距离为40海里.6分
（2）在中，,,
所以,即9分
所以,
所以11分
即在点测得油井的在正南40海里处.12分
22.解：（1）因为为在方向上的投影向量，所以1分
又，所以2分
由正弦定理得，3分
所以，两边平方，
结合，化简得，4分
又为锐角三角形，故，所以6分
（2）由，由正弦定理得，，
在中，，则，
即，
故，7分
由（1）知，，故，
从而，8分
两边平方，结合，化简得，，
又为锐角三角形，故，所以9分
从而
由正弦定理，得，10分
所以11分
故的周长为.12分
