第七章.平行四边形
模型（三十一）——梯子模型
【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动
【结论】线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ，QC，当O，Q，C三点共线时，OC取得最大值
【证明】如图在 Rt△AOB 中，点Q是中点，∴OQ=AB.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 CQ= ＝.
若OC要取得最大值，则 O，Q，C三点共线，即 OC=OQ+QC，即 OC=AB+。
典例1 ☆☆☆☆☆
求最值：AB＝2，BC=1，∠ABC＝90°，点A、B在y轴、x轴正半轴滑动，求OC最大值
【解析】梯子模型关键在A、B两点运动，但动中有静
取AB中点P，PO=1（ 直角三角形斜边中线），
PC= ＝
当0、P、C 三点不共线，OC＜0P＋PC ,OC＜1＋
当0、P、C 三点共线，OC＝0P＋PC ,OC＝1＋
∴＝1＋
典例2 ☆☆☆☆☆
最值出角度：AB＝2，BC=1，∠ABC＝90°，点A、B在y轴、x轴正半轴滑动，求何时O、P、C三点共线？
【解析】在△BCP中，BC=BP=1，∴∠1＝∠PCB＝45 ，∴∠2＝∠1＝45 ，
∵OP=PB，∴∠PBO＝∠POB＝22.5 ，
∴当∠PBO＝22.5 时，O、P、C三点共线
典例3 ☆☆☆☆☆
如图所示，一根长 2.5米的木棍 AB斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P，若木棍 A 端沿墙下滑，则 B端沿地面向右滑行.
（1）木棍在滑动过程中，线段 OP的长度发生改变了吗 请说明理由;若不变，求 OP 的长.
（2）如果木棍的底端 B向外滑出 0.9米，那么木棍的顶端 A沿墙下滑多少米
【解析】（1）OP的长不变.连接 OP，如图.
∵P是AB 的中点， ∴AP=BP.
∵∠AOB=90°,∴OP＝AB＝×2.5＝1.25（米）.
（2）如图，由题意得 BB =0.9米，∠MON= 90°,
∴OA= =2（米），又 OB =1.5＋0.9=2.4（米），
OA = =0.7（米），∴AA ＝2-0.7＝1.3（米），
∴木棍的顶端 A 沿墙下滑 1.3米.
典例4 ☆☆☆☆☆
如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A，B分别在边 OM，ON上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM 上运动，矩形ABCD形状保持不变，其中AB=2，BC=1，则在运动过程中，点 D到点O 的最大距离为____________。
【答案】 ＋1
【解析】如图，取 AB 的中点E，连接 OE，DE，OD.
根据梯子模型可知，当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大.
∵AB=2,BC=1, ∴OE=AE=AB=1，DE== = ，
∴OD 的最大值为 ＋1.
【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁
1.（★★★☆☆）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 在∠MON的内部，顶点 A，B分别在射线 OM，ON 上，AB=4，BC=2，则点 D到点 O 的最大距离是（ ）
A.2-2 B.2＋2 C.2－2 D.＋2
2.（★★★☆☆）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1， AC=4，点 A在y轴上，点C在x 轴上，则点 A在移动过程中， BO的最大值是_______。
如图，平面直角坐标系中，含 30°角的三角尺的直角顶点 C落在第二象限， 其斜边两端点 A，B 分别落在x轴、y轴上，且AB=12 cm.
（1）若 OB=6 cm.①求点 C的坐标;②若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离.
（2）点 C与点 O 的距离的最大值为_______cm.
梯子问题是非常重要的一类最值问题，关键点在于取梯子的中点、运用斜边中线和勾股定理来解决 ，得到两条线段的和是所求的最大值
第七章.平行四边形
模型（三十一）——梯子模型
答案：
小试牛刀
答案 B
解析 如图，取 AB 的中点E，连接 OE，DE,OD.
根据梯子模型可知，当O，D，E三点共线时，点 D到点 O的距离最大.
∵∠MON=90°,∴OE＝AE＝AB＝2.
在 Rt△DAE 中，利用勾股定理可得DE=2
∴OD的最大值为OE＋DE=2＋2 .
故选 B.
答案 2＋
解析 如图，取 AC的中点M，连接OM，BM,OB.
根据梯子模型可知，当O，B，M三点共线时， BO的值最大.
∵∠AOC=90°,AM＝CM,AC＝4,
∴OM＝AM＝AC＝×4=2.
在 Rt△ABM中，∠BAM=90°，AB=1，∴BM＝＝,
∴BO的最大值为OM＋BM=2+.
直击中考
解析
（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为 D，如图.
在 Rt△AOB中，AB＝12，OB＝6，∠BAC＝30°,
∴BC=6,∠BAO＝30°, ∴∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°,
∴∠BCD=30°, ∴BD＝3,CD＝3,
点C的坐标为（-3，9），
②设点 A向右滑动的距离为x cm，根据题意得点 B向上滑动的距离也为x cm，
如图，∵∠BAO＝30°，AB＝12，∴AO= 6 , ∴A O=6-x,
易知 B O=6＋x，A B =AB=12.
在△A OB 中，由勾股定理得（ 6-x） ＋(6+x)2=122.
解得 x= 6－6 或x=0（舍去）,∴滑动的距离为（6－6）cm.
（2）取 AB的中点D，连接 CD，OD，OC，根据梯子模型可知，当O，D，C三点共线时，点C与点O的距离最大，∴CO的最大值为CD＋OD＝6＋6＝12(cm).
典例秒杀
小试牛刀
直击中考第七章.平行四边形
模型（三十）——十字架模型
【结论】正方形内部，AE⊥BF，则 AE=BF
【类图】
典例1 ☆☆☆☆☆
如图，正方形 ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边 AB，CD，AD，BC上.小明认为∶若 MN=EF，则 MN⊥EF；小亮认为∶若 MN⊥EF，则MN=EF.你认为（ ）
A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对
【答案】B
【解析】①若 MN=EF，则必有 MN⊥EF，这句话是错误的，如图.
作 EG⊥BC，MH⊥CD，记 MH交EF 于点L，
∵EF＝MN,MH＝EG, ∴Rt△MHN≌Rt△EGF(HL), ∴∠EFG=∠MNH，
又∵∠EFG=ZELM， ∴∠MNH=∠ELM,
∴∠NMH＋∠MNH＝∠NMH＋∠ELM＝90°， ∴∠MOL＝90°,即 MN⊥EF，
但EF不仅仅是这一种情况，如将图中的线段 EF沿直线 EG折叠过去，得到的 EF 就是反例，此时有 MN=EF ，但是 MN 与EF 垂直，因此小明的观点是错误的。
②若 MN⊥EF，则 MN=EF，这句话根据十字架模型的结论可直接判断是正确的.
故选B.
1.（★★★☆☆）如图，在正方形 ABCD中，点E是 BC 上一点， BF⊥AE于点H，交 DC于点F，若 AB=5，BE=2，则 AF=_______。
如图，正方形 ABCD 中，E，F分别为BC，CD 上的点，且 AE⊥BF，垂足为G.
（1）求证∶AE= BF.（2）若 BE=，AG=2，求正方形的边长.
正方形的变化多样 ，往往涉及全等、边长问题，
中考常考正方形模型 .
第七章.平行四边形
模型（三十）——十字架模型
答案：
小试牛刀
答案
解析 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°，
在正方形 ABCD中，BF⊥AE，
∴根据十字架模型的结论可知AE=BF.在 Rt△ABE和 Rt△BCF中，
AE= BF,AB= BC,∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）， ∴CF=BE=2,
∴DF=CD-CF=5-2=3.∵四边形 ABCD是正方形，
∴AD=AB=5,∠ADF=90°,
由勾股定理得 AF = = ＝
直击中考
解析（1）∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°.
∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CBF.
在△ABE与△BCF中，∠BAE＝∠CBF， AB= BC,∠ABE＝∠C＝90°，
∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴AE=BF.
∵AE⊥BF,∴∠BGE＝∠ABE＝90°，
∵∠BEG=∠AEB, ∴△BGE≌△ABE, ∴BE：AE＝EG：BE，即 BE2=EG·AE.
设 EG=x，则AE＝AG＋EG＝2+x，
∴ ＝x·(2+x).
解得x1=1，x2=－3（不合题意，舍去）.
∴EG=1,AE=3.
∴AB＝ ＝＝
模型讲解
口诀
典例秒杀
小试牛刀
直击中考
