2023年中考数学复习讲义：第一章 几何图形初步 模型（一）——线段双中点

几何图形初步
模型（一）——线段双中点
【结论1】已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC，BC的中点，则MN=AB.
【证明】∵点M、N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
【消消乐：等号左边CM，CN消掉共同字母C,得MN。
等号右边AC，BC消掉共同字母C，得AB】
∴MN = CM+CN = AC+BC = （AC+BC）=AB
【结论2】已知点C在线段AB延长线上，点M、N分别是AC，BC的中点，则MN=AB.
【证明】∵点M、N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
【消消乐：等号左边MC，NC消掉共同字母C,得MN。
等号右边AC，BC消掉共同字母C，得AB】
∴MN = MC - NC =AC-BC = （AC - BC）=AB
已知点C是线段BA 延长线上一点，点 M，N分别是 AC，BC的中点，则MN=AB
无论线段之间的和差关系怎样变 ，MN的长度只与AB有关.
即MN=AB .
典例1 ☆☆☆☆☆
如图，点C是线段 AB上一点，AC【答案】4
【解析】∵M，N 分别是 AB 和 CB 的中点，
∴根据线段（双中点）的结论，有 MN= AC，
则MN=4.
典例2 ☆☆☆☆☆
如图，已知点A，B，C在同一直线上，M，N分别是AC，BC的中点.
若 AB=20，BC=8，求 MN 的长;
若 AB=a，BC=8，求 MN 的长;
若 AB=a，BC=b，求 MN 的长;
从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论
【解析】（1） ∵AB=20，BC=8，
∴AC=AB＋BC=28.
∵点 A，B，C在同一直线上，M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC
∴MN=MC - NC= （AC - BC）= AB=10.
（2）根据（1）得 MN = （AC - BC）= AB= a
（3）根据（1）得 MN =（AC - BC）= AB= a
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到∶线段 MN 始终等于线段 AB的一半，与C点的位置无关.
1.（★★☆☆☆）已知线段 AB=10 cm，点C是直线AB上一点， BC=4 cm，若 M是AC的中点，N是 BC 的中点，则线段 MN的长度是（ )
A.7 cm B. 3 cm C.5 cm D.7 cm 或 3 cm
（★★☆☆☆）如图，已知 A，B，C三点在同一直线上，AB=24，BC=AB，
E是AC 的中点，D是 AB 的中点，则 DE的长度是______。
C为线段 AB 上任意一点，D，E分别是AC，CB 的中点，若 AB=10 cm，则 DE 的长是（ ）
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
（1）已知点 C为线段AB 上任一点， AC=8 cm，CB=6 cm，M，N分别是 AC，BC的中点，求线段 MN 的长.
（2）点 C为线段AB 上任一点，满足 AC+CB=a cm，点 M，N分别是 AC，BC 的中点，你能猜想 MN 的长度吗 并说明理由.
（3）点C在线段 AB 的延长线上，满足 AC -BC =b cm，M，N分别是 AC，BC 的中点，你能猜想 MN 的长度吗 请画出图形，写出你的结论，并说明理由.
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗
几何图形初步
模型（一）——线段双中点
答案：
小试牛刀
答案 C
解析 ：⑴当点 C在线段 AB上时，如图.
∵ M，N 分别是AC，BC 的中点，
∴根据线段（双中点）的结论，可知 MN= AB=5 cm.
⑵当点 C在线段 AB 的延长线上时，如图.
∵M，N分别是 AC，BC的中点，
∴根据线段双中点的结论，可知 MN= AB=5 cm.
综上所述，MN 的长为 5 cm.故选 C.
答案
解析： ∵AB=24,BC= AB,
∴BC=9
∵E是AC 的中点，D是AB 的中点，
∴根据线段双中点的结论，可知 DE= BC=
直击中考
1. 答案 D
解析
∵D，E 分别是 AC，CB 的中点，AB=10 cm;
∴根据线段双中点的结论，可知 DE= AB=5 cm
故选 D.
2.解析：（1）∵M，N 分别是 AC，BC 的中点，
∴MC= AC，CN= BC.
∴MN=MC+CN, AB=AC+BC,
∴MN= AB=7 cm
（2）MN= cm.理由如下：
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC= AC，CN= BC.又∵MN=MC+CN， AB=AC+BC,
∴MN= （AC+BC）= cm
（3）如图 MN= cm. 理由如下∶
∵M，N分别是AC，BC的中点， .MC=AC,NC= BC
又∵AB= AC - BC， NM= MC - NC,
∴MN= （AC-BC）=cm
（4）只要满足点C在线段AB 所在直线上， M，N分别是AC，BC的中点，那么 MN就等于AB 的一半。
模型讲解
一半一半又一半
口诀
拓展
小试牛刀
直击中考