等腰三角形[上学期]
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课件35张PPT。14.3.1等腰三角形(1)生活中的三角形等腰三角形你知道什么是等腰三角形吗?什么叫等腰三角形？有两条边 相等的三角形叫等腰三角形这个等腰三角形ABC的
腰是____________
底边是_________
顶角是___________
底角是___________AB和ACBC∠A∠B和∠C如图：在三角形ABC中，AB=AC ，D在AC上，且BD=BC=AD，请找出图中有哪几个等腰三角形？并指出每个等腰三角形的底和顶角？ACDB概念理解大胆猜测等腰三角形除了两腰相等以外,
你还能发现什么?问题探索1
1、等腰三角形ABC是_____对
称图形，折痕AD所在的直线是它的___________。2、∠B 与 ∠ ___重合，
因此∠B = ∠ ___等腰三角形的两个___ 角相等。 ∵ AB = AC
∴ ∠B = ∠C
(等边对等角）操作：结论：应用：将等腰三角形ABC沿AD对折：轴对称轴CC底ABCD等腰三角形的性质:
性质1 等腰三角形的两个底角相等。
（简写成“ 等边对等角”） AB = AC.? ? B = ?C（全等三角形的对应角相等）。
已知：? A BC中， 求证： ? B =?C证明：?BAD ≌ ?CAD（SAS）， ? 作? BAC 的角平分线AD怎么证呢？证明： 作底边中线AD.
在△BAD和△CAD中，AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 辅助线作法 )，AD=AD (公共边) ,∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.方法2：作底边中线等腰三角形的两个底角相等还有其它方法吗？证明： 作底边高线AD.
在Rt△BAD和△RtCAD中，AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边) ,∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.等腰三角形的两个底角相等方法3：作底边的高线还有其它方法吗？问题探索2操作： 画等腰△ABC顶角的平分线、底边上的高和底边上的中线。ACB结论： 等腰三角形顶角的平分线、底边的高和底边的中线互相_______。重合（简称“三线合一”）
1、∵ AB=AC, AD⊥BC，
∴ ∠ =∠ ， = 。
2、∵ AB=AC, AD是中线
∴ ⊥ ， ∠ = ∠ .
3、∵ AB=AC, AD是角平分线
∴ ⊥ ， = 。BADCADBDCDBADADBCCADADBCBDCD应用：┓顶角的平分线底边的高底边的中线等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合。性质2： 怎么证呢?证明：∵AD是∠BAC角平分线，∴∠1＝∠2
在△ABD和△ACD中
AB=AC （已知）
∠1＝∠2 （已证）
AD=AD （公共边）
∴ △ABD ≌△ACD (SAS)∴BD=CD , ∠ADB= ∠ADC
∵ ∠ADB+ ∠ADC=180° ∴ ∠ADB= ∠ADC=90 °
∴AD 平分 BC，并且 AD ⊥ BC.
性质1：等腰三角形的两个底角相等 。
（简写成 “等边对等角”）等腰三角形的性质（三线合一）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合。归纳：问：“三线合一”对于所有
的三角形都适用吗？等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm？解：∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合）
即（等腰三角形三线
合一）
∵BD=2cm
∴CD=2cm,BC=4cm用一用2.在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知∠ 1=20°,求∠ 2=_____度∠BAC=______度？解：∵AB=AC,AD ⊥BC
∴ ∠ 1= ∠ 2 （等腰三角形的高与顶角的平分线重合）
即（等腰三角形三线
合一）
∵ ∠ 1=20°
∴ ∠ 2=20°
∠BAC=40°等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
用一用3.在三角形ABC中，AB=AC=5cm，AD=4cm,且BD=CD，求点A到线段BC的距离。解：∵AB=AC（已知）
∴△ABC是等腰三角形
∵BD=CD（已知）
∴BD⊥CD（等腰三角形三线合一）
∴线段AD的长度
就是点A到线段BC的
距离即为4 cm等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
用一用4.已知AD⊥ BC,试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量。∠B=∠C
∠1=∠2
∠BDA=∠CDA=90°
BD=CD等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
用一用一休学数学
在三角形ABC中，已知AB=AC，且
要证∠1=∠2，如何去证？
这道题因被墨水遮去了
一个条件，一休无从下手，
现在请同学们帮一休补
上这个条件，使一休
能做出这道题。怎么办？等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
用一用解：可补AD⊥BC于D或BD=CD等思考:等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？（不能，因为等腰三角形两底角相等，若底角是直角或钝角，三角形的内角和大于180°）例1、已知在△ABC中, AB=AC, [变式3] ∠A=200 且AC//BD,求∠CBD的度数[变式1] 有一个内角为800 ，求∠C和∠A的度数. [变式2] 有一个内角是1000 ，求∠C和∠A的度数. 典型例题∠B=800 ，求∠C和∠A的度数.等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角
解: ∵AB=AC∴∠B=∠C①若∠B=∠C=800
在△ABC 中∠A+ ∠B+∠C=1800
即 ∠A= 1800－∠B－∠C=200例题讲解例1：已知：在等腰△ABC中， ，∠B=800,
求∠ C 和 ∠A的度数？
1、 AB=AC表示AB和AC是三角形的___，
底角是∠___和∠___。
2、先应根据__________, 求出∠___。
3、再根据 _____________, 求出∠___。腰等边对等角C三角形的内角和ABC 画图、讨论：解：∵AB=AC
∴ ∠C= ∠B=800 (等边对等角)
∵ ∠A+ ∠B+ ∠C=1800 ( ? )
∴ ∠A=1800- 800- 800=200AB=AC例2：已知：在等腰△ABC中，∠B=800,
求：∠ C 和 ∠A的度数？例题变式（图一）讨论：∠B的位置有几种可能？
（可能是底角或顶角）分析：当∠B为底角时， ∠C为800，
∠A为200；当∠B为顶角时， ∠C为500，
∠A为500。题组训练题组1： ①如果等腰三角形的一个底角为500，
则其余两个角为____和___。②如果等腰三角形的顶角为800，
则它的一个底角为___。500800500题组训练题组2：1、等腰三角形的一个内角为1200，则另两角为_________。2、等腰三角形的一个外角为1300，则三个内角分别为:_______________________________。3、等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则三
个内角分别为:_______________________________。
分析：设小角为α,则大角为2α.当α为底角时， α +α+ 2α=1800
解得 α=450，则2α=900当2α为底角时， α +2α+ 2α=1800
解得α =360，则2α=720∴其内角的度数为450，450，900，或360，720，720.300和300650、650、500或500、500、800450、450、900或360、720、720如图：在三角形ABC中，AB=AC ， D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数？请你解决问题123解：设∠A＝x， ∵BD=AD, ∴ ∠1= ∠A＝x∵ ∠3= ∠1+ ∠A, ∴ ∠3=2 ∠A＝2x∵ BD=BC, ∴ ∠3= ∠C = 2 ∠A＝2x∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A＝2x∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=1800,
∴ x ＋2x＋2x=1800,
∴x＝360
即 ∠A=360, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A=720如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，求∠ MEF的度数。趣味数学分析：应该利用什么思想呢？转化思想2、研究有关等腰三角形的问题，顶角平分线、底边中线，底边的高是常用的辅助线；1、熟练求解等腰三角形的顶
角、底角的度数；
3、掌握等腰三角形三线合一的应用。再见
腰是____________
底边是_________
顶角是___________
底角是___________AB和ACBC∠A∠B和∠C如图：在三角形ABC中，AB=AC ，D在AC上，且BD=BC=AD，请找出图中有哪几个等腰三角形？并指出每个等腰三角形的底和顶角？ACDB概念理解大胆猜测等腰三角形除了两腰相等以外,
你还能发现什么?问题探索1
1、等腰三角形ABC是_____对
称图形，折痕AD所在的直线是它的___________。2、∠B 与 ∠ ___重合，
因此∠B = ∠ ___等腰三角形的两个___ 角相等。 ∵ AB = AC
∴ ∠B = ∠C
(等边对等角）操作：结论：应用：将等腰三角形ABC沿AD对折：轴对称轴CC底ABCD等腰三角形的性质:
性质1 等腰三角形的两个底角相等。
（简写成“ 等边对等角”） AB = AC.? ? B = ?C（全等三角形的对应角相等）。
已知：? A BC中， 求证： ? B =?C证明：?BAD ≌ ?CAD（SAS）， ? 作? BAC 的角平分线AD怎么证呢？证明： 作底边中线AD.
在△BAD和△CAD中，AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 辅助线作法 )，AD=AD (公共边) ,∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.方法2：作底边中线等腰三角形的两个底角相等还有其它方法吗？证明： 作底边高线AD.
在Rt△BAD和△RtCAD中，AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边) ,∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.等腰三角形的两个底角相等方法3：作底边的高线还有其它方法吗？问题探索2操作： 画等腰△ABC顶角的平分线、底边上的高和底边上的中线。ACB结论： 等腰三角形顶角的平分线、底边的高和底边的中线互相_______。重合（简称“三线合一”）
1、∵ AB=AC, AD⊥BC，
∴ ∠ =∠ ， = 。
2、∵ AB=AC, AD是中线
∴ ⊥ ， ∠ = ∠ .
3、∵ AB=AC, AD是角平分线
∴ ⊥ ， = 。BADCADBDCDBADADBCCADADBCBDCD应用：┓顶角的平分线底边的高底边的中线等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合。性质2： 怎么证呢?证明：∵AD是∠BAC角平分线，∴∠1＝∠2
在△ABD和△ACD中
AB=AC （已知）
∠1＝∠2 （已证）
AD=AD （公共边）
∴ △ABD ≌△ACD (SAS)∴BD=CD , ∠ADB= ∠ADC
∵ ∠ADB+ ∠ADC=180° ∴ ∠ADB= ∠ADC=90 °
∴AD 平分 BC，并且 AD ⊥ BC.
性质1：等腰三角形的两个底角相等 。
（简写成 “等边对等角”）等腰三角形的性质（三线合一）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合。归纳：问：“三线合一”对于所有
的三角形都适用吗？等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm？解：∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合）
即（等腰三角形三线
合一）
∵BD=2cm
∴CD=2cm,BC=4cm用一用2.在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知∠ 1=20°,求∠ 2=_____度∠BAC=______度？解：∵AB=AC,AD ⊥BC
∴ ∠ 1= ∠ 2 （等腰三角形的高与顶角的平分线重合）
即（等腰三角形三线
合一）
∵ ∠ 1=20°
∴ ∠ 2=20°
∠BAC=40°等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
用一用3.在三角形ABC中，AB=AC=5cm，AD=4cm,且BD=CD，求点A到线段BC的距离。解：∵AB=AC（已知）
∴△ABC是等腰三角形
∵BD=CD（已知）
∴BD⊥CD（等腰三角形三线合一）
∴线段AD的长度
就是点A到线段BC的
距离即为4 cm等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
用一用4.已知AD⊥ BC,试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量。∠B=∠C
∠1=∠2
∠BDA=∠CDA=90°
BD=CD等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
用一用一休学数学
在三角形ABC中，已知AB=AC，且
要证∠1=∠2，如何去证？
这道题因被墨水遮去了
一个条件，一休无从下手，
现在请同学们帮一休补
上这个条件，使一休
能做出这道题。怎么办？等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
用一用解：可补AD⊥BC于D或BD=CD等思考:等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？（不能，因为等腰三角形两底角相等，若底角是直角或钝角，三角形的内角和大于180°）例1、已知在△ABC中, AB=AC, [变式3] ∠A=200 且AC//BD,求∠CBD的度数[变式1] 有一个内角为800 ，求∠C和∠A的度数. [变式2] 有一个内角是1000 ，求∠C和∠A的度数. 典型例题∠B=800 ，求∠C和∠A的度数.等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角
解: ∵AB=AC∴∠B=∠C①若∠B=∠C=800
在△ABC 中∠A+ ∠B+∠C=1800
即 ∠A= 1800－∠B－∠C=200例题讲解例1：已知：在等腰△ABC中， ，∠B=800,
求∠ C 和 ∠A的度数？
1、 AB=AC表示AB和AC是三角形的___，
底角是∠___和∠___。
2、先应根据__________, 求出∠___。
3、再根据 _____________, 求出∠___。腰等边对等角C三角形的内角和ABC 画图、讨论：解：∵AB=AC
∴ ∠C= ∠B=800 (等边对等角)
∵ ∠A+ ∠B+ ∠C=1800 ( ? )
∴ ∠A=1800- 800- 800=200AB=AC例2：已知：在等腰△ABC中，∠B=800,
求：∠ C 和 ∠A的度数？例题变式（图一）讨论：∠B的位置有几种可能？
（可能是底角或顶角）分析：当∠B为底角时， ∠C为800，
∠A为200；当∠B为顶角时， ∠C为500，
∠A为500。题组训练题组1： ①如果等腰三角形的一个底角为500，
则其余两个角为____和___。②如果等腰三角形的顶角为800，
则它的一个底角为___。500800500题组训练题组2：1、等腰三角形的一个内角为1200，则另两角为_________。2、等腰三角形的一个外角为1300，则三个内角分别为:_______________________________。3、等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则三
个内角分别为:_______________________________。
分析：设小角为α,则大角为2α.当α为底角时， α +α+ 2α=1800
解得 α=450，则2α=900当2α为底角时， α +2α+ 2α=1800
解得α =360，则2α=720∴其内角的度数为450，450，900，或360，720，720.300和300650、650、500或500、500、800450、450、900或360、720、720如图：在三角形ABC中，AB=AC ， D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数？请你解决问题123解：设∠A＝x， ∵BD=AD, ∴ ∠1= ∠A＝x∵ ∠3= ∠1+ ∠A, ∴ ∠3=2 ∠A＝2x∵ BD=BC, ∴ ∠3= ∠C = 2 ∠A＝2x∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A＝2x∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=1800,
∴ x ＋2x＋2x=1800,
∴x＝360
即 ∠A=360, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A=720如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，求∠ MEF的度数。趣味数学分析：应该利用什么思想呢？转化思想2、研究有关等腰三角形的问题，顶角平分线、底边中线，底边的高是常用的辅助线；1、熟练求解等腰三角形的顶
角、底角的度数；
3、掌握等腰三角形三线合一的应用。再见