广西南宁市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（PDF版含解析）

南宁名校 2022～2023学年度下学期高二期中考试
数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.
一、单选题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1 2．已知集合 A x x 9 ， B x | 1 x 5, x N ，则 A B （ ）
A． 1,3 B． 0,5 C． 1,2 D． 0,1,2
2．若复数 z满足 i z 3 4i，则 z （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．设 a R，则“ a 1”是“直线 l1： ax 2y 4 0与直线 l2： x a 1 y 2 0平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．记等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S11 44，则 a4 a6 a8 （ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
1
5. 函数 f (x) x3 4x2 9x 6在区间[-1，2]上的最小值为（ ）
3
56 20 4
A． B． C． D． 3
3 3 3
6. 已知圆的方程为 x2 y2 6x 8y 0，设该圆过点 3,5 的最长弦和最短弦分别为 AC和 BD，
则四边形 ABCD的面积为（ ）
A．10 6 B． 20 6 C．30 6 D． 40 6
x27 y
2
．已知 F为双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左焦点，直线 l经过点 F，若点 A(a，0)，B(0，b)a b
关于直线 l对称，则双曲线 C的离心率为（ ）
A 3 1 B 2 1． ． C． 3＋1 D． 2＋1
2 2
ln3
8 a 10．已知 ln10，b 2 2 ， c ，则（ ）
20 e3 3
A． a c b B． c b a C．b a c D．b高二期中考试 数学试卷 第 1页 共 4页
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、
“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选 2门课程学习，共有 15种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有 240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有 144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有 480种排法
10．已知等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，若a1 128，且T7 T8 ，则下列命题正确的是（ ）
A． a8 1 B．当且仅当 n 8时，Tn 取得最大值
1
C q D. a a a *．
2 1 2 n
a1 a2 a15 n n N ,n 15
11 2．已知抛物线C : x 2py p 0 的焦点为 F，点 A 2,1 在 C上，P为 C上的一个动点，则（ ）
A．C的准线方程为 x= 1
B．若M 0,3 ，则 PM 的最小值为2 2
C．若M 3,5 ，则△PMF的周长的最小值为 11
D．在 x轴上存在点 E，使得 PEF为钝角
1
12. 已知函数 f x e2x , g x lnx 分别与直线 y a交于点 A,B，则下列说法正确的（ ）
2
A． AB
1
的最小值为 ln2 1
2
B． a R，使得曲线 y f x 在点 A处的切线与曲线 y g x 在点 B处的切线平行
C．函数 y f x g x 的最小值小于 2
D．若 2 x e f x 3 2g x ，则 x e
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
( x 113 5．在代数式 2 ) 的展开式中，常数项为_____________．x
2x 1
14．曲线 y 在点 ( 1， 3）处的切线方程为__________．
x 2
15．某班宣传小组有 3名男生和 2名女生.现从这 5名同学中挑选 2人参加小剧场演出，在已知
抽取到有男生的条件下，2名都是男生的概率为___________.
16．已知函数 f x x ln x ae x（ e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 a的取值范围是
___________.
高二期中考试 数学试卷 第 2页 共 4页
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10分）某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一
次有关环保知识的竞赛. 现从参赛的所有学生中，随机抽取 200人的成绩（满分为100分）
作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中 a的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第50百分位数；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看
他们的答题情况，再从这6人中随机抽取 2人进行调查分析，求这 2人中至少有1人成绩在
60,70 内的概率.
18．（本小题满分 12分）如图所示，在 ABC中， A, B, C的对边分别为 a,b,c，已知
2bsin AcosB a sin B 0, a 1， c 2 .
（1）求b和sinC；
（2 BD 3）如图，设 D为 AC边上一点， ，求 ABD的面积.CD 7
19．（本小题满分 12分）在数列 an 中，已知 a1 2， an 1 3an 2 n N* .
（1）证明：数列 an 1 为等比数列；
b 3
n 499
（2）记 n ，数列 bn 的前 n项和为 Sn，求使得 S 成立的整数n的最大值.ana nn 1 2000
高二期中考试 数学试卷 第 3页 共 4页
20.（本小题满分 12分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 4的菱形，
BCD 60 , AC与 BD交于点O，平面FBC 平面 ABCD， EF // AB， FB FC，且
EF 2 .
（1）求证：OE 平面 ABCD；
（2）若 AE FC，点Q为 AE的中点，求二面角Q BC A的余弦值.
2 2
21．（本小题满分 12分）已知椭圆C : x y2 2 1(a b 0)，四点 P1(0，2)，P2 (1，1)，P3( 2，1)，a b
P4 ( 2，1)恰有三点在C上.
（1）求C的方程；
2 x2 y2
4
（ ）若圆 的切线 l与C交于点 A,B，证明：OA OB .
3
2ae2x22.（本小题满分 12分）已知函数 f x ，a 0 .
x
（1）讨论函数 f x 的单调性；
（2）若 ln x xf x lna恒成立，求实数 a的取值范围.
高二期中考试 数学试卷 第 4页 共 4页
南宁名校 2022～2023学年度下学期高二期中考试
数学试题参考答案
1．D【详解】集合 A x | x2 9 x | 3 x 3 ，集合 B x | 1 x 5, x N 0,1,2,3,4 ，
则 A B 0,1, 2 ，故选：D.
z 3 4i 3 4i i 2．B【详解】由题意有 4 3ii i i ，故 | z | 4
2 3 2 5．故选：B．
3．C【详解】解：当 a 1时， l1： x 2y 4 0 l x 2y 2 0
1 2 4
， 2： ， ，可得两直线1 2 2
平行；若l1与l
a 2 4
2平行，则 ，解得a 1或a 2(舍 )，故为充要条件，故选：C.1 a 1 2
4．A【详解】根据数列 a 11 a a n 为等差数列，则 S 1 1111 11a6 44，所以 a6 4，所以2
a4 a6 a8 3a6 12，故选：A.
1
5．C【详解】由 f (x) x3 4x2 9x 6， x [ 1，2]可得 f (x) x 2 8x 9，令 f (x) 0，解得
3
x 1，当 1 x 1， f (x) 0， f (x)单调递减；当1 x 2， f (x) 0， f (x)单调递增，所以 f (x)
1 4
的极小值，也为最小值为 f (1) 4 9 6 ，故选：C
3 3
6．B【详解】解：圆心坐标是 3, 4 ，半径是 5，圆心到点 3,5 的距离为 1．
所以点 3,5 在圆内，最长弦为圆的直径。由垂径定理得：最短弦 BD和最长弦（即圆的直径）
AC垂直，故最短弦的长为2 52 12 4 6 ，最长弦即直径，即 AC 10，
1
所以四边形 ABCD的面积为 AC BD
1
10 4 6 20 6．故选：B.
2 2
7．C【详解】解法一：由点 A(a，0)，B(0，b)关于直线 l对称，
a bl
b
可得直线 为线段 AB的垂直平分线，线段 AB的中点的坐标为 , ，直线 AB的斜率为 ，
2 2 a
b a a 2 2
可得直线 l的方程为 y－ x
1 b 1 b
2 b 2
，令 y＝0，可得 x＝ a ，由题意可得－c a ，
2 2a 2 2a
c
即有 a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即 c2－2ac－2a2＝0，由 e＝ ，可得 e2－2e－2＝0，
a
解得 e＝1 3 ( e＝1 3舍去)，故选：C．
高二期中考试 数学答案 第 1页 共 10页
解法二：由点 A(a，0)，B(0，b)关于直线 l对称，可知 AF BF ,即 a c b2 c2 ,
两边平方，并结合b2 c2 a2，整理可得 c2－2ac－2a2＝0，下同解法一.
f x ln x 1 ln x8．C【详解】设函数 x e ，则 f x 2 0，则 f x 在 e, 上是减函数，x x
又 e 3 10 e3，则 f 3 f 10 f e3 ，
f 10 ln 10 10
3 ln 3
又因为 ln10 a f e3 ln e 3 2 2， ， f 3 c ，10 20 e3 e3 e3 3
所以 f 3 f 10 f e3 b，即b a c．故选：C.
9．ACD 2【详解】对于 A，从六门课程中选两门的不同选法有C6 15种，A正确；
对于 B 4 2，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有 A4 A5 480种，
B错误；对于 C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法
A3A4共有 3 4 144种，C正确；对于 D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程
共有 4A55 480种，D正确.故选：ACD.
10．ACD【详解】因为T7 T8 ，所以a8 1，故 A正确；
n 1 7 1 1
又 a8 a1q ，即 q ，解得 q ，故 C正确；128 2
由 q
1
知等比数列{an}为递减数列，且a8 1，故Tn取得最大值为T7 T8，故 B错误；2
n (n 1) n(n 15)
因为 a a a a nq1 2 n 11 2 n 1 (q
7 )nq 2 q 2 ，
(14 n)(15 n) n2 15n n(n 15)
a a a a 15 nq1 2 14 n (q 7 )15 n 2 2 21 2 15 n 1 q q q
*
所以 a1 a2 an a1 a2 a15 n n N ,n 15 成立，故 D正确. 故选：ACD
11．BC【详解】A选项：因为点 A 2,1 在抛物线C : x2 2 py上，所以 22 2 p，解得 p 2，
所以抛物线 C的方程为 x2 4y，所以 C的准线方程为 y 1，故 A错误；
B 2选项：设点 P(x0，y0 )， y0 0，则 x0 4y0 )，
因为M 0,3 2，所以 PM x20 y0 3
2 y20 2y0 9 y
2
0 1 8 8，
高二期中考试 数学答案 第 2页 共 10页
当且仅当 y0 1时等号成立，所以 PM 2 2min ，故 B正确；
C选项：过点 P作PN垂直于 C的准线，垂足为 N，连接 MN，则 PN PF ，
易知 F 0,1 ，M 3,5 2，所以 MF 32 5 1 5，
所以△PMF 的周长为 MF MP PF MF MP PN MF MN 5 6 11，
当且仅当 M，P，N三点共线时等号成立，
所以△PMF 的周长的最小值为 11，故 C正确；

D选项：设 E t, 0 ，则 EF t,1 ， EP x0 t, y0 ，

所以 EF EP t x0 t y 20 t x0t y0，
2
因为点 P(x0，y0 )在 C上，所以 x
2
0 4y
x
0 )，即 y 00 ，4
2 2
所以 EF EP t 2 x 0t
x
0 t
x
0 0，4 2

EF EP
所以 cos PEF 0 ，故 PEF不可能为钝角，故 D错误.EF EP
故选：BC.
1
12 AB 2x． 【详解】对于 A项，设 A x1,a ， B x2 ,a ，则 f x1 e 1 a， x1 lna，2
1 a 1 a
1
1
又因为 g x2 lnx2 a， x 2 ，所以 AB x2 x1 e 2 lna a 0 ，2 2 e 2
a 1 a 1
设 a =e 2 1 ln a a 0 ，所以 a =e 2 1 a 0 ，
2 2a
a 1 1 1
又因为 a =e 2 1 在 0, 0单调递增，且 =e 1 0 ，当 a 0, , a 0;，2a 2 2
a 1当 , , a
1 1
0 a 0, 所以 在 上单调递减，在 , 单调递增，
2 2 2
a 1 1 1 1所以 e0 ln 1 ln 2
1
，所以 AB 的最小值为 ln2 1，故 A正确.
2 2 2 2 2
对于 B项，函数 f x e2x A x ,a f x 2e2x在点 1 处切线的斜率为 11 ，
又因为 x
1
1 lna
2x
，所以函数 f x e 在点 A x1,a 处切线的斜率为2
高二期中考试 数学答案 第 3页 共 10页
2 1 ln a
f x 2e2x11 2e 2 2a，
1
函数 g x lnx 1 在点 B x ,a 处切线的斜率为 g x ，
2 2 2 x2
a 1 1 1 1又因为 x e 2 ，所以函数 g x lnx 在点 B x2 ,a 处切线的斜率为 g x2 2 2 x2 a 1 ，e 2
要使曲线 y f x 在点A处的切线与曲线 y g x 在点 B处的切线平行，即
1 1
f x1 g x2 2a
1 a
，所以 a 1 有解，即方程
a
2a e 2 1 0 有根.即函数 h a 2a e 2 1有e 2
零点，
a 1 h 1 1
1 1

又因为当 ， 2 e 2 2 1 0 ，故 B正确.2 2 2
C y f x g x e2x对于 项， ln x 1 1 2x，因为 y 2e 在 0, 上单调递增，
2 x
2 1
2 1
x 1 y 2e 1 2e 2 2 e 1 0当 时， ，
2
2
2 1 1
x 1 y 2e
4 1 2
当 时， 1 2e 4 2 e 2 0，
4
4
x 1 , 1 2x
1 1
则存在 0
2x0
0 ，使得 2e 0，即 e , ln 2 2x0 ln x0 ，
4 2 x0 2x0
当 x 0, x0 时， y 0； x x0 , 时， y 0，
y y e2x ln x 1 1 2x ln 2 1所以 min x x 0 0 0 2
1 2x ln 2 1 2 ln 2 1 0 0 2 2x ，0 2 2x0 2 2
1
（由于 x ，故等号取不到），
2
又因为 2
1
ln 2 2，函数 y f x g x 的最小值大于 2，故 C错误；
2
对于 D项，不等式2 x e f x 3 2g x 2x化简后变为： x e e ln x 1 0，
当 x 0,e 时， x e 0, ln x 1 0,e 2x 0 ， x e e2x ln x 1 0，
当 x e, 时， x e>0, ln x 1 0,e 2x 0 ， x e e2x ln x 1 0，
所以 2 x e f x 3 2g x ，则 x e，故 D错误.
高二期中考试 数学答案 第 4页 共 10页
5 1 5 r r 5 5r
13．-5 x 1 1 r【详解】 2 的展开式的通项为：T C
r 2
r 1 5 x 2 C
r 2
5x 1
x x
5 5r 5
令 0 1 1 ，解得 r 1，所以T 12 1 C5 1 5， x 2 的展开式中的常数项为 5 .2 x
14．5x y 2 0【详解】由题，当 x= 1时， y= 3，故点在曲线上．
2 x 2 2x 1 5
求导得： y ，所以 y | 5 ．x 2 2 x 2 2 x 1
故切线方程为5x y 2 0．故答案为：5x y 2 0．
1
15． 【详解】设事件 A表示“有男生”，事件 B表示“两名都是男生”，
3
3
2 2 P AB
则 P(A) 1
C
2
9 C 3 1
3 12 ， P(AB) ，故 P B A 10 .故答案为： .C5 10 C25 10 P A 9 3 3
10
16．0
1
a 【详解】 f x 1 ln x aex，因为函数 f x x ln x ae x（ e为自然对数的底数）
e
有两个极值点，所以1 ln x aex 0在 0, 上有两个不等实根，
a 1 ln x 1 ln x x 在 0, 上有两个不等实根，令 g x ，e ex
1
1 ln x
g x x ，当 0 x 1时， g (x) 0，当 x 1时， g (x) 0，
ex
1
所以当 x 1时， f x 的最大值为 ；
e
当 x 0时， g x ，当 x 时， f x 0，
1
如图所示：所以实数 a的取值范围是0 a .
e
0 a 1故答案为：
e
4
17．(1)a 0.025，第50百分位数为75.6 (2)
5
解：（1）由频率分布直方图可得， 0.006 0.012 0.018 2 0.021 a 10 1，..............1分
则 a 0.025， ........................................................................2分
前 3组的频率和为 0.006 0.012 0.018 10 0.36，第 4组频率为0.25，所以第50百分位数
高二期中考试 数学答案 第 5页 共 10页
位于第 4组 70,80 内，记第 50百分位数为 x，.......................................................................3分
x 70 0.5 0.36
则 ，解得 x 75.6，即第 50百分位数为75.6；....................................5分
10 0.25
（2）由频率分布直方图可知，成绩在 40,50 , 50,60 , 60,70 内的频率分别为0.06,0.12,0.18，
采用分层抽样的方法从样本中抽取的 6人，成绩在 40,50 内的有 1人，记为A，成绩在 50,60
内的有 2人，记为 B1 B2，成绩在 60,70 内的有 3人，记为C1 C2 C3，.................................6分
则从成绩在 40,70 内的 6人随机抽取 2人，共有：
AB1 AB2 AC1 AC2 AC3 B1C1 B1C2 B1C3 B2C1 B2C2 B2C3 C1C2 C1C3 C2C3 B1B2，共有 15种，
2人中至少有 1人成绩在 60,70 内，共有：
AC1 AC2 AC3 B1C1 B1C2 B1C3 B2C1 B2C2 B2C3 C1C2 C1C3 C2C3，有 12种，............................8分
12 4
记事件 A “ 2人中至少有 1人成绩在 60,70 内”，则 P A .....................................10分
15 5
18. 1 a b c解（ ）因为 2bsin AcosB asin B 0 ，所以在 ABC中，由正弦定理 ，
sin A sin B sinC
得 2sin B sin Acos B sin Asin B 0，因为 sin Asin B 0 ，所以 2cosB 1 0，
cos B 1 2 所以 ，又0 B ，所以 B ，....................................3分
2 3
1
由余弦定理得，b2 a2 c2 2ac cosB 1 4 2 1 2



7，所以 ，
2
b 7

c b
在 ABC中，由正弦定理 ，
sinC sin B
2sin 2
所以 sinC
c sin B
3 21 ；....................................6分b
7 7
BD sinC
（2）在△ABD中，由正弦定理得， ，
CD sin CBD
BD 3 sinC 3 21
因为 ，所以 ，因为 sinC ，所以 sin CBD 1，
CD 7 sin CBD 7 7
而 CBD 0, ，所以 CBD ，....................................8分
2
BD 3 1
由 ，设 BD 3t , CD 7t，所以 ( 3t)2 12 ( 7t)2，所以 t 3，所以 BD ，
CD 7 2 2
高二期中考试 数学答案 第 6页 共 10页
2
因为 ABD ABC DBC ，....................................10分
3 2 6
所以 S
1
ABD AB BD sin ABD
1 3 1 3
2 2
.....................................12分
2 2 2 4
a 1 3 a 1
19.解（1）由 an 1 3an 2，得 an 1 1 3 a 1 n 1 nn ， 3，又a 1 3，an 1 an 1 1
故数列 an 1 是以3为首项，3为公比的等比数列；....................................5分
n
2 a 1 3n a 3n b
3 1 1 1
（ ） n ，故 n 1，故 n 3n 1 3n 1 1 2 3n 1 3n 1 1 ，......................8分
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n 1 2 2 3

2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3n 1 3n 1
n 1 ，...........10分 1 4 2 3 1
S 499 1 1 1 499n ，即 n 1 ，即3n 1 1001，36 1001 37 ，故 n 5，2000 4 2 3 1 2000
故使得 S
499
n 成立的最大整数为5 .....................................12分2000
20.（1）证明：如图，取 BC中点G，连接 FG,OG，
因为 FB FC，所以 FG BC，
又因为平面FBC 平面 ABCD，平面 FBC 平面 ABCD BC， FG 平面FBC，
所以 FG 平面 ABCD, O,G分别为 AC,BC
1
中点，所以OG∥ AB,OG AB .
2
1
因为EF AB,EF / /AB， EF / /OG,EF OG
2
所以四边形EFGO为平行四边形，所以OE∥FG，所以OE 平面 ABCD ..........................6分
（2）如图，以 AC所在直线为 x轴， BD所在直线为 y轴，OE所在直线为 z轴建立空间坐标

系，设OE 0,0,c , (c 0)
A 2 3,0,0 ,B 0, 2,0 ,C 2 3,0,0 ,Q c 3,0,
2
F 3,1,c ,CF 3,1,c ,CF AE 0, c 6 6,Q 3,0,
2



设平面QBC的法向量 v x, y, z ,BC 2 3, 2,0 ,BQ 3, 2,
6
2


高二期中考试 数学答案 第 7页 共 10页
v

BQ 0
2 3x 2y 0

则

即 6 ，则 v 1, 3, 3 2 .
v BC 0 3x 2y z 0 2

设平面 ABC的法向量 n 0,0,1 ，设二面角Q BC A的平面角为 , 为锐
角，....................................10分
n v 3 11 3 11
所以 cos .二面角Q BC A的余弦值 .....................................12分n v 11 11
2 2
21．(1) x y 1； (2)证明见解析
4 2
【详解】（1）由 P y3 ,P4 两点关于 轴对称，可得C经过 P3 ,P4 两点.
P2与P3的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在C上，所以 P2不在C上，
b 2,
a 2, C x
2 y2
则 2 1 解得 故 的方程为 1.....................................4分
2 2 1, b 2. 4 2 a b
2 2 3（ ）证明：当切线 l的斜率不存在时，得 l : x .
3
2 3 2 3 2 3 2 3
当 l : x 2 3 时，可得 A
3
,
3 3
,B , .
3 3



OA OB 2 3 2 3 2 3 2 3 0，则OA OB .....................................6分
3 3 3 3
当 l : x 2 3 时，同理可证.
3
当切线 l的斜率存在时，设 l : y kx m .
l x2 y2 4
m 2 3 2 2
因为 与圆 相切，所以圆心 0,0 到 l的距离为 ，即3m 4 k 1 .
3 k 2 1 3
y kx m,

联立 x2 y2 得 2k 2 1 x2 4kmx 2m2 4 0 .
1, 4 2
A x , y ,B x , y x x 4km
2
设 1 1 2 2 ，则 1 2 2 , x x
2m 4
1 2 2 .....................................8分1 2k 1 2k
OA OB x 2 21x2 y1y2 x1x2 (kx1 m)(kx2 m) (k 1)x1x2 km(x1 x2 ) m
高二期中考试 数学答案 第 8页 共 10页
k 2 1 2m2 4 4k 2m2 4k 2 3m2 4
m2
1 2k 2 1 2k 2 1 2k 2
2 2 由3m 4 k 1 ，得OA OB 0，则OA OB .
x2 y2 4综上，若圆 的切线 l与C交于点 A,B，则OA OB .....................................12分
3
1
22. (1)见解析； (2) ,


2e
2ae2 x 4ae2 x 2 x 2 x1 f x x 2ae 2ae 2x 1解：（ ）因为 ，所以 f x .
x x2 x2
1 1
当a 0时，由 f (x) 0，得 x ，由 f x 0，得 x ，且 x 0，
2 2
故 f x 1 1 的单调递增区间为 , ，单调递减区间为 ,0 ， 0, ；
2 2
当 a<0时，由 f (x) 0 x 1，得 ，且 x 0，由 f x 0 x 1，得 ，
2 2
故 f x 1 1 的单调递增区间为 ,0 ， 0, ，单调递减区间为2 , . 2
a 0 f x 1 1 综上，当 时， 的单调递增区间为 , 2 ，单调递减区间为 ,0 ， 0, ； 2

当 a<0时， f x 的单调递增区间为 ,0 ， 0,
1
2
，

1 , 单调递减区间为 .....................................5分
2
（2）易知 x 0， a 0 .
2x x
由 ln x xf x lna，可得 2ae ln x ln a ln ，
a
x
2xe2x x
ln
所以 ln
x
恒成立，即 2xe2x e a ln x恒成立.
a a a
设u x xex x 0 u x x 1 ex， ，则 0，所以 u x 在 0, 上单调递增.
x
当 x 0时，u x 0 ln，所以2xe2x e a ln x x恒成立等价于2x ≥ ln 恒成立，
a a
x
即a ≥ 对 x 0, 恒成立.
e2x
v x x 1 2x设 ， x 0， v x .
e2x e2x
x 0, 1 当 时， v x 0
1
；当 x , 时， v x 0 .
2 2
高二期中考试 数学答案 第 9页 共 10页
所以 v x 在 0,
1 1
上单调递增，在 , 上单调递减，
2 2
v x v 1 1 1所以 max ，所以 a
1
a ，即 的取值范围是 , ..................................12分 2 2e 2e 2e
高二期中考试 数学答案 第 10页 共 10页