2021-2022学年湖北省各地八年级下学期人教版数学第十六章：二次根式练习题期末试题选编（含解析）

第十六章：二次根式
一、单选题
1．（2022春·湖北襄阳·八年级统考期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·湖北襄阳·八年级统考期末）当为何值时，在实数范围内有意义（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）下列二次根式中，可与合并的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期末）已知，，则的值等于（ ）
A．0 B．4 C． D．16
7．（2022春·湖北随州·八年级统考期末）我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知的三边长分别为4，5，7，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
二、填空题
8．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）代数式的最小值为__________．
9．（2022春·湖北随州·八年级统考期末）使式子有意义的取值范围是______．
10．（2022春·湖北鄂州·八年级统考期末）计算的结果是_________．
11．（2022春·湖北黄冈·八年级统考期末）计算：________．
12．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）化简：＝_____．
13．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）已知是正整数，是整数，则的最小值为___________．
14．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）计算的结果_____．
15．（2022春·湖北襄阳·八年级统考期末）计算：＝____．
16．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）化简的结果为______．
17．（2022春·湖北随州·八年级统考期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为___________．
18．（2022春·湖北黄石·八年级统考期末）计算的结果是_____________．
19．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）符号“”表示一种新的运算，规定，则的值为 __．
20．（2022春·湖北荆门·八年级统考期末）计算：________．
三、解答题
21．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）像，，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：再如：请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且，，为正整数，求的值．
22．（2022春·湖北随州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
23．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）计算：
（1）．
（2）．
24．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）计算
(1)＋－；
(2)（－2）×－6
25．（2022春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知，，求的值
26．（2022春·湖北随州·八年级统考期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为
，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)对偶式与之间的关系为______．
A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 D．没有任何关系
(2)已知，，求的值．
(3)解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）．
27．（2022春·湖北襄阳·八年级统考期末）已知，求代数式的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．
【详解】解：是二次根式，符合题意，
是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，
不是二次根式，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可列出不等式进行求解．
【详解】解：根据题意得：2x＋1≥0，
解得：x≥．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的非负性并能运用不等式准确求解字母的取值范围是解题的关键．
3．A
【分析】根据分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性解答．
【详解】由题意得：x-1>0，
解得x>1，
故选：A．
【点睛】此题考查未知数的取值范围的确定，掌握分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性是解题的关键．
4．B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
B、是最简二次根式，此项符合题意；
C、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
D、，则不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．
5．B
【分析】先各选项进行化简，然后进行判断是否为同类项即可．
【详解】A选项，原式，不能与合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式，能与合并，故该选项符合题意；
C选项，是最简二次根式，不能与合并，故该选项不符合题意；
D选项，是最简二次根式，不能与合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同类二次根式的判断，熟练化简二次根式，并掌握同类二次根式的概念是解题关键 ．
6．D
【分析】先根据完全平方公式分解因式，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分解因式的应用和实数混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
7．A
【分析】直接将三边长代入公式求解即可．
【详解】解：∵的三边长分别为4，5，7，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了学生对题意的理解和对公式的运用，涉及到了二次根式的计算，解题关键是读懂题意，正确将数值代入公式计算．
8．2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
∴
，
∴的最小值为2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
9．x≥-5且x≠2
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴x+5≥0，x-2≠0，
解得x≥-5且x≠2，
故答案为：x≥-5且x≠2．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟记条件列得不等式是解题的关键．
10．2
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：．
11．
【分析】根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解析 解：原式．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，无理数的大小比较，掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．
【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
13．
【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，由此可以确定满足条件的最小正整数．
【详解】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴的最小正整数值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的定义和乘法法则．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式；二次根式的乘法运算法则：．解题关键是把被开方数分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
14．2
【详解】解：．
故答案为：2
15．
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求解．
【详解】==
故答案为：．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
16．
【分析】把二次根式化为最简二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，掌握二次根式的性质是解题的关键．
17．2
【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后的被开方数相同的二次根式为同类二次根式，据此计算即可．
【详解】解：
解得，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根据同类二次根式的定义求参数，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
18．0
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【详解】解：原式＝2-2＝0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．
【分析】根据新运算将6*2变换成，然后再计算即可．
【详解】解：由题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、新定义的运算等知识点，将新定义运算转换成二次根式的混合运算是解答本题的关键．
20．
【分析】先根据零次幂，负整数幂的性质，算术平方根，绝对值的性质化简，然后根据实数的运算法则算出即可．
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
21．(1)
(2)
(3)14或46．
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
（3）解：，
且，
且，
，，为正整数，
当，时；
当，时，．
所以的值为：14或46．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是结合完全平方公式进行求解．
22．，．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把、的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
23．（1）-3；（2）
【分析】（1）根据二次根式乘除混合运算的法则计算即可；
（2）首先将每个二次根式化简，然后根据二次根式加减混合运算的法则计算即可．
【详解】（1）解：原式=﹣＝﹣3；
（2）解：原式＝6﹣2+4＝8．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的法则是关键．
24．(1)5；
(2)﹣6．
【分析】（1）分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先利用乘法的分配律计算二次根式的乘法，再分别化简二次根式，合并同类二次根式即可得到答案．
（1）
解：＋－
=2+4-
=5；
（2）
解：（－2）×－6
=-2-6×
=-6-
=﹣6．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，考查二次根式的乘法，乘法分配律的应用，合并同类二次根式，掌握以上知识是解题的关键．
25．
【分析】根据，对进行化简，然后把，的值代入，即可．
【详解】∵
；
把，代入，
∴
．
【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的化简，分母有理化，平方差公式，完全平方公式．
26．(1)B
(2)
(3)x=-1
【分析】（1）计算对偶式（）×（）=4-3=1，可得两数互为倒数；
（2）根据已知先分别化简x，y，求出x+y，x-y，xy的值，将所求分式分解因式后代入计算即可；
（3）令，则两边同乘以，得24-x-（8-x）=2t，求出t，根据①，②，解得=10，即可求出x值，检验即可．
【详解】（1）解：∵（）×（）=4-3=1，
∴对偶数与之间的关系是互为倒数，
故选：B；
（2）由题意得=，=，
∴x+y=2，x-y=4，xy=1，
∴；
（3）令，则两边同乘以，得
24-x-（8-x）=2t，
解得t=8，
∵①，②，
∴①+②，得=10，
两边同时平方得4（24-x）=100，
解得x=-1，
经检验，x=-1是原方程的解．
【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化方法及求分式的值的计算是解题的关键．
27．
【分析】根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．