2021-2022学年湖北省各地八年级下学期人教版数学第十七章勾股定理练习题期末试题选编（含解析）

第十七章：勾股定理
一、单选题
1．（2022春·湖北恩施·八年级统考期末）如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
2．（2022春·湖北黄石·八年级统考期末）中，，高，则的长为（ ）
A．14 B．4 C．14或4 D．无法确定
3．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm
6．（2022春·湖北襄阳·八年级统考期末）如图是我国汉代著名的数学家与天文学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的一个著名图形，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形．若，则正方形ABCD的边长为（ ）
A． B．8 C． D．10
7．（2022春·湖北随州·八年级统考期末）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，矩形的边在数轴上，点B的坐标为，点C的坐标为1，，以B为圆心，为半径画弧与数轴交于点E，则点E表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（ ）cm．
A．9 B．10 C．11 D．12
11．（2022春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B．25 C． D．35
12．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
二、填空题
13．（2022春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为___________．
14．（2022春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，则图中阴影部分面积为 _____．
15．（2022春·湖北随州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝3，S2＝10，则S3＝___________．
16．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，用6个边长为l的小正方形构造的网格图，角，的顶点均在格点上，则___________．
17．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____．
18．（2022春·湖北黄石·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．
三、解答题
19．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在四边形中，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
20．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图．和都是等腰直角三角形， 的项点在的斜边上．
求证：．
21．（2022春·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，某工人在两墙AB，CD之间施工（两墙与地面垂直），架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点0.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．
22．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何 题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少
23．（2022春·湖北孝感·八年级统考期末）如图，若河岸的两边平行，河宽米，河岸上B，C两点之间的距离为600米．一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，船的速度为200米/分钟，求船从A到B处需多少时间？
24．（2022春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处,以每小时40km的速度向北偏东60 的BF方向移动,距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.
(1)A城是否受到这次台风的影响 为什么
(2)若A城受到这次台风影响,则A城遭受这次台风影响有多长时间
25．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，四边形中，已知，，，．
(1)求的度数；
(2)于，求之长．
26．（2022春·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路的最短距离．
参考答案：
1．C
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【详解】解：如图：
a，b，c都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，，
在中，由勾股定理得，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强，解题的关键是灵活运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解．
2．C
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD．
【详解】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2-AD2=132-122=25，
则BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2-AD2=152-122=81，
则CD=9，
故BC=BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2-AD2=132-122=25，
则BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2-AD2=152-122=81，
则CD=9，
故BC的长为DC-BD=9-5=4．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．
3．D
【分析】利用勾股定理可求得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理、点的坐标，理解点的坐标意义是关键．
4．B
【分析】如图，连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
由题意知：
，，，
∴在中，
，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．求出的长是解题的关键．
5．D
【分析】根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度．
【详解】解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，
在△ABC中，由勾股定理可知：=10，
∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，
故E为AB的中点，
∴AE=BE=5，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．
6．C
【分析】根据全等三角形的性质得到DE=AF=6，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：由题意得，DE=AF=6，
∵EF=4，
∴AE=AF-EF=2，
∵∠AED=90°，
∴AD= ，
故正方形ABCD的边长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．B
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．
【详解】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，
∴AB=m，
∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，
∴AB′=m，
∴BB′=AB-AB′=2m；
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．
8．C
【分析】根据勾股定理求出BD的长，即BE的长，再根据两点间的距离公式求出点E对应的数．
【详解】AB=CD=1，BC=1-（-1）=2，
由勾股定理得，，
∴BE=BD=，
∴OE=BE-OB=，
∴点E表示的实数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理和实数与数轴，解题的关键是根据勾股定理得出半径的长．
9．D
【分析】先画出三角形，根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程．
【详解】解：如图，根据题意，，，
设折断处离地面的高度是x尺，即，
根据勾股定理，，即．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程．
10．C
【分析】根据勾股定理即可求得．
【详解】解：如图：连接AC
故要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要的长度是线段AC的长度
由题意可知：BC=6cm，AB=9cm
在中，
要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要11cm
故选：C
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，无理数的估算，理解题意，结合图形求得AC的长是解决本题的关键．
11．B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
∴；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
∴；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故选：B．
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
12．B
【分析】根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】解：A.
不能构成直角三角形
故A不符合题意；
B.
能构成直角三角形
故B符合题意；
C.
不能构成直角三角形
故C不符合题意；
D.
不能构成直角三角形
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
13．
【分析】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到S2022的值．
【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，
则CE=DE，，
∴，
即，
同理可得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．
14．24
【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆的面积与的面积的和减去以为直径的半圆面积即可求解．
【详解】解：Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
15．7
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2=AB2，根据正方形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，
∴AC2=103=7，
∴S3=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
16．
【分析】连接CE，BE构造等腰直角三角形，证明，得，证得．
【详解】
如图，由勾股定理得：
∴
∴是等腰直角三角形
∵在和中
∴
∴
∴
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了网格中特殊直角三角形的应用，全等三角形的证明，熟练掌握以上知识点，完成角度的转化是解题的关键．
17．3
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a－b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.
【详解】由题意可知：中间小正方形的边长为：a－b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab＋(a－b)2＝25，
∴(a b)2＝25－16＝9，
∴a－b＝3，
故答案为3.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
18．45°
【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解．
【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图，
根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，
由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，
则∠ABD+∠CBE=∠MAB，
在Rt△ANB中，有，
同理可求得：，
∵，
∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，
∴∠MAB=45°，
即：∠ABD+∠CBE=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）连接AC，由于，利用勾股定理可求，并可求，而，可得，可证是直角三角形，于是有，从而求得；
（2）根据四边形的面积为和面积之和，利用三角形面积公式计算即可得答案．
【详解】（1）连接AC，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
（2）在中，，
在中，．
∴．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．
20．证明见解析．
【分析】连结BD，易证≌，根据全等三角形的性质不难得到，然后再结合勾股定理即可得到所要证明的等式是成立的．
【详解】证明：如图，连结BD ，
∵，∴
∴在和中，AC=BC, ,CE=CD
∴≌（SAS）
∴
又∵
∴
∴ 在中，．
又∵
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形、直角三角形与勾股定理的综合应用，灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关键．
21．0.8m
【分析】根据题意勾股定理求得m，进而勾股定理求得m，根据即可求解．
【详解】解：∵
∴(m)，
又m，
又
∴
∴，
答：的长为0.8m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
22．101寸
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，
∴AE=（r1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，
解得：r=50.5，
∴2r=101（寸），
∴AB=101寸．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
23．船从A到B处需5分钟
【分析】用勾股定理求出AB，然后根据时间＝路程÷速度解答即可．
【详解】解：在中，，
∵米，米，
∴米，
∵船的速度为200米/分钟，
∴船从A到B处需要的时间为（分钟），
答：船从A到B处需5分钟．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．（1）A城受台风影响；（2）6h
【分析】（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，根据勾股定理求得AC的长，与200km比较即可得结论；
（2）点A到直线BF的长为200km的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，
因为160＜200，所以A城要受台风影响；
（2）设BF上点D，DA=200km，则还有一点G，有AG=200km．
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，
由勾股定理得，CD===120km，
则DG=2DC=240km，
遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（h）．
25．(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据已知可得，在中，根据勾股定理可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
（2）利用面积法，进行计算即可解答．
（1）
解：如图，连接，
∵，，
∴，
，
在中，，，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
∴的度数为．
（2）
在中，，，，
∵，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，涉及等边对等角，利用等积法求线段的长．熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
26．(1)175m
(2)75m
【分析】（1）在Rt△MNB中，根据勾股定理求得的长，进而求得的长，在Rt△AMN中，勾股定理求得的长即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，可得BM⊥AC，即可求解．
（1）
解：在Rt△MNB中，BN==（m），
∴AN=AB﹣BN=125﹣45=80（m），
在Rt△AMN中，（m）
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长=100+75=175（m）；
（2）
∵AB=125m，AM=100m，BM=75m，，
∴AB2=BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC．
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM=75m．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．