2021-2022学年湖北省各地八年级下学期人教版数学第十八章平行四边形练习题期末试题选编（含解析）

第十八章：平行四边形
一、单选题
1．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （　 　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．两组对角分别相等 B．对角线互相平分
C．两组对边分别相等 D．对角线相等
3．（2022春·湖北随州·八年级统考期末）如图，点O是对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022春·湖北黄石·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则 ABCD的周长为（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
5．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期末）如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO
C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO
6．（2022春·湖北黄石·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　）
A．100° B．120° C．130° D．150°
7．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，四边形中，于点，，，，点是的中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期末）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022春·湖北黄石·八年级统考期末）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
12．（2022春·湖北荆门·八年级统考期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
二、填空题
13．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____．
14．（2022春·湖北恩施·八年级校考期末）中，E、F分别为AB、AC的中点，若，则______．
15．（2022春·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分，交DE于点F，若，则DF的长为_________．
16．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．
17．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则______．
18．（2022春·湖北随州·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝______°．
19．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）由于四边形具有不稳定性，如图，将正方形ABCD向下挤压变形后得到菱形．若， 则菱形与原正方形ABCD的面积之比为__________
三、解答题
20．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
(1)求证：BC＝CD+ED；
(2)若AB⊥AC，AF＝3，AC＝8，求AE的长．
21．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
(1)求证：AB＝AE．
(2)若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
22．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB＝BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
23．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（0，b）（b≤0），点C（c，0），且a2﹣2ab+b2﹣c2＝0．
(1)判断线段AB与OC的数量关系，并说明理由；
(2)如图1，当b＝0时，连接AC，CQ⊥OP于Q，连接AQ．若QC＝2QO，求证： ；
(3)如图2，当b＜0时，点D在x轴正半轴上点C的右侧，且，连接AD，射线BC交AD于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，请求出∠AEB的度数；
24．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动与，不重合，是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动不与重合，过作于点，连接交于点．
（1）若设AP=x，则PC= ，QC= ；(用含x的式子表示)
（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．
25．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）材料阅读
小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为，端点B的坐标为，则线段AB中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点、为端点的线段中点坐标为．
(1)知识运用：
如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为，则点M的坐标为 ．
(2)能力拓展：
在直角坐标系中，有，，三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
26．（2022春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，四边形是矩形，E、F分别是线段、上的点，点O是与的交点．若将沿直线折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值．
27．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD，
求证：四边形OCED是菱形．
28．（2022春·湖北襄阳·八年级统考期末）已知如下两个图：
(1)如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，AC交BD于O，求证：OE=FO；
(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
29．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图1，正方形的对角线，相交于，为边上一动点（不与，重合），交于．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若正方形边长为，为中点，点在运动过程中，长的最小值为___________．
参考答案：
1．B
【详解】解：如图，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3cm，
∴EC=BC-BE=5-3=2cm．
故选B．
2．D
【分析】根据平行四边形的性质可进行求解．
【详解】解：平行四边形的两组对角分别相等，两组对边分别相等，对角线互相平分，但不一定相等，
所以D选项错误，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．A
【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．
【详解】∵点O是对角线的交点，
∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，
则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若，则DO=DC，
由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
4．B
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，AD=BC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，
∴ ABCD的周长=2×6=12，
故选B．
5．D
【分析】A.证明，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断；
B.证明AB∥CD，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；
C. 可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；
D. 条件不足无法判断；
【详解】∠DAC=∠BCA
，
四边形是平行四边形，
故A选项正确，不符合题意；
∠ABO=∠CDO
又 AB=CD，
四边形是平行四边形，
故B选项正确，不符合题意；
AC=2AO，BD=2BO
四边形是平行四边形，
故C选项正确，不符合题意；
D. 条件不足无法判断，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．C
【分析】根据三角形中位线定理得到PE= AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PE=AD，PF=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=25°，
∴∠EPF=130°，
故选C．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
7．A
【分析】如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，由勾股定理可求AC的长，利用直角三角形斜边上的中线可求解DM的长，根据三角形的中位线可求解EM的长，再利用三角形的三边关系可求解．
【详解】如图，连接，取的中点为，连接、，
，
，
，，
，
是的中点，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
当且仅当点在线段上时，等号成立，
，
的最大值为．
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系等知识的综合运用，构造直角三角形是解题的关键．
8．C
【分析】由折叠特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长求解．
【详解】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，
由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°
∴∠ABE=∠C′BF
在△BAE和△BC′F中，
∴△BAE≌△BC′F（ASA），
∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，
△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．
故选C．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等．
9．D
【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA=（180°-45°）=67.5°，
∴∠BAE=∠OAB-∠OAE=22.5°．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
10．C
【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
11．C
【分析】画出图形，根据菱形的性质得到ACBD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ACBD，
∵E，F，G，H是菱形各边的中点，
∴EFBD，FGAC，
∴EFFG，
同理：FGHG，GHEH，HEEF，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．
12．D
【分析】根据菱形的判定，矩形的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，说法正确，不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，说法正确，不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，说法正确，不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形和矩形的判定条件是解题的关键．
13．11
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴．
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．
故答案为：11．
14．10
【分析】证明EF是△ABC的中位线，再由三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×5＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理，是解题的关键．
15．3
【分析】由三角形中位线定理可得DE=5，DE∥BC；再由平分条件可得CE=EF=2，则可求得DF的长．
【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，，
∴，，DE∥BC，
∴∠EFC=∠FCB．
∵CF平分，
∴∠ECF=∠FCB，
∴∠EFC=∠FCB，
∴EF=CE=2，
∴DF=DE EF=5 2=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，由平行与平分条件得到CE=EF是关键．
16．10
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证得，则，设，则在中，根据勾股定理求x，再根据三角形面积公式计算即可得到结果．
【详解】解：根据折叠的性质得.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴.
设，则，
在中，，
解之得：，
∴，
∴．
故答案为:10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、折叠的性质等知识，求出阴影三角形的底是关键，同时注意以为底，对应的高为．
17．30°##30度
【分析】根据菱形的性质得∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，再由折叠的性质得∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，所以∠AOM=∠AON=(360°-∠MON )=140°，所以∠B=∠AOM=140°,从而可求得∠BAD=40°,继而求得 ∠OAM=10°,再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，
由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，
∵∠MON=80°，
∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°，
∴∠B=∠AOM=140°,
∴∠BAD=40°,
∴∠OAM=10°,
∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,
故答案为:30°．
【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质是解题的关键．
18．65
【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和详解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD，∠A＝130°，
∴∠ABC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠DBC，
∵CE⊥BC，
∴∠BEC＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻角互补详解．
19．
【分析】作A′E⊥DC于E，求出A′E与AD的关系即可求出菱形与原正方形ABCD的面积之比．
【详解】作A′E⊥DC于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴
∴菱形的面积为：，正方形ABCD的面积为：，
∴菱形与原正方形ABCD的面积之比为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形与菱形的面积和勾股定理，熟知30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
20．(1)证明过程见解析
(2)6
【分析】（1）运用角平分线的性质和平行线的性质证AB=AE，再等量代换即可；
（2）过点F作FG⊥BC，先通过角平分线的性质和勾股定理算出GC=4， 在Rt中， AB2+AC2=BC2，设AE=AB=BG=x等量代换求出AE．
（1）
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC， AB=CD ，BC=AD=AE+ED，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
∴BC=AB+ED；
（2）
解：过点F作FG⊥BC，那么
∵BE是∠ABC的角平分线，AB⊥AC，AF=3，
∴GF =AF=3，AB=BG
又∵AC＝8，
∴FC=AC=AF=8-3=5，
在Rt中，GC===4，
由（1）知，AE=AB，设AE=AB=BG=x，
在Rt中， AB2+AC2=BC2，
即x2+82=(x+4)2，
解得：x=6，
即AE的长为6．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用上述知识，通过数形结合来求证求解．
21．(1)见解析
(2)62°
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，从而得到∠E=∠D CF，∠EAF=∠D，可证得△AEF≌△DCF，进而得到AE=CD，即可求证；
（2）根据AB＝AE，可得BE=2AE，从而得到BC=BE，进而得到∠BCE=∠E＝31°，进而得到∠ABC=118°，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴BE∥CD，
∴∠E=∠D CF，∠EAF=∠D，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
∴△AEF≌△DCF，
∴AE=CD，
∴AB=AE；
（2）解：∵AB=AE，
∴BE=2AE，
∵BC＝2AE，
∴BC=BE，
∴∠BCE=∠E＝31°，
∴∠ABC=180°-∠E-∠BCE=118°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=62°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
22．（1）见解析 （2）2
【分析】（1）证BD∥CF，CD∥BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得出CF=BD=2，由等腰三角形的性质得出AE=CE，作CM⊥BF于F，则CE=CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=，得出AE=CE=，即可得出AC的长．
【详解】（1）∵AC⊥BD，∠FCA=90°，
∴BD∥CF，
∵∠CBF=∠DCB．
∴CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
（2）∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF=BD=2，
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴AE=CE，
作CM⊥BF于F，
∵BC平分∠DBF，
∴CE=CM，
∵∠F=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CF=CM
∴CM=，
∴AE=CE=CM=，
∴AC=2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
23．(1)，理由见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据得，由，， 可知，从而求解；
（2）作，交OP的延长线于H，理由“AAS”证明得到，，再证明是等腰直角三角形，从而证明结论；
（3）作于D，取，连接CF，BF，利用“SAS”证明，得，，则是等腰直角三角形，且，再根据，，得到四边形ABFD是平行四边形，从而得出答案．
【详解】（1）解：．
理由如下：
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：作，交OP的延长线于H，如图1．
∵，，
∴．
∵， ，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
（3）解： 作于D，取，连接CF，BF，如图2．
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（1）6 x，6＋x；（2）2；（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由见解析
【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，设AP＝x，则PC＝6 x，QB＝x，由此即可解决问题．
（2）在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，PC＝QC，即6 x＝（6＋x），求出x的值即可；
（3）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q作匀速运动且速度相同，可知AP＝BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB＋AE＝BE＋BF＝AB，DE＝AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE＝3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【详解】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
设AP＝x，则PC＝6 x，QB＝x，
∴QC＝QB＋BC＝6＋x，
故答案为：6 x，6＋x；
（2）∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6 x＝（6＋x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
如图，作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝EF，
∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB，
∴DE＝AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
25．(1)
(2)（1，-1）或（﹣3，5）或（5，3）
【分析】（1）知识运用：由矩形的性质得出OM=EM，M为OE的中点，由线段中点坐标公式即可得出结果；
（2）能力拓展：有三种情况：①当AB为对角线时，②当BC为对角线时，③当AC为对角线时，由平行四边形的性质对角线互相平分，中点公式，即可得出结果．
【详解】（1）知识运用：
∵矩形ONEF的对角线相交于点M，
∴OM＝EM，M为OE的中点，
∵O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），
∴点M的坐标为（，），
即点M的坐标为（2，）；
故答案为（2，）；
（2）能力拓展：
如图所示：
设D的坐标为
有三种情况：①当AB为对角线时，
∵A（﹣1，2），，C（1，4），，
根据中点坐标公式可得
解得
∴D点坐标为（1，-1），
②当BC为对角线时，
∵A（﹣1，2），，C（1，4），，
根据中点坐标公式可得
解得
∴D点坐标为（5，3）．
③当AC为对角线时，
∵A（﹣1，2），，C（1，4），，
根据中点坐标公式可得
解得
∴D点坐标为：（﹣3，5），
综上所述，符合要求的点D的坐标为（1，-1）或（﹣3，5）或（5，3）．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形性质等相关知识，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．
26．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据折叠的性质得到BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，根据矩形的性质证明∠EDB=∠FBD，可得∠FDB=∠FBD，则有BF=DF，根据四边相等的四边形是菱形即可证明；
（2）根据ED=2AE，得出菱形BEDF的面积为EF·BD=AD·AB，结合AB·AD=即可求出结果．
【详解】解：（1）证明：∵△BED沿直线BE折叠，点E与点F重合，
∴BE=BF，DE=DF，∠EDB=∠FDB，
又∵四边形ABCD是矩形，且E、F分别是线段AD、BC上的点，
∴DE∥DF，
∴∠EDB=∠FBD，
∴∠FDB=∠FBD，
∴BF=DF，
∴BE=BF=DF=DE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）∵ED=2AE，点E是线段AD上的点，
∴ED=AD，
∵四边形BEDF是菱形，四边形ABCD是矩形，
∴S菱形BEDF=EF·BD=ED·AB=AD·AB，
∵AB·AD=，
∴EF·BD=，
解得：EF·BD=．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，菱形面积的求法，折叠的性质，难度不大，解题的关键是根据折叠得到线段和角相等，掌握菱形的面积计算方法．
27．见解析
【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
【详解】证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD=AC=BD
∴四边形OCED是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键
28．(1)证明见解析
(2)成立；证明见解析
【分析】（1）首先利用正方形的性质得到OA=BO，∠AOB=∠BOC=90°，然后利用AG⊥EB得到∠1=∠2，最后利用全等三角形的判定解决问题；
（2）结论成立．证明方法和（1）相似．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=BO，∠AOB=∠BOC=90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE=90°，
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF；
（2）解：结论成立．
证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=BO，∠AOB=∠BOC=90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE=90°，
∴∠E+∠GAE=∠F+∠GAE=90°，
∴∠E=∠F，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF和△BOE（AAS），
∴OE=OF．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，也利用了全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
29．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先判断出，，，再判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，再利用勾股定理即可得出结论；
（3）先判断出时，长的值最小，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵正方形的对角线，相交于，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）由（1）知：，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（3）解：在中，为中点，
∴，
由（2）知：，
∴，
要长的值最小，则长的值最小，
∵点在上，正方形边长为，，，
∴当时，长的值最小，
此时是的边上的中线，
∴，
∴长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综台题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短．确定线段的长取得最小值时所在的位置是解题的关键．