华师大版九年级上册第22章一元二次方程 综合素质评价（含答案）

第22章一元二次方程 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．【2023·眉山实验中学月考】下列是一元二次方程的是(　　)
A．2x2－x－3＝0 B．x2－2x＋x3＝0
C．x2＋＝0 D．x2＋＝5
2．【母题：教材P46复习题T11】【2022·青海】已知关于x的方程x2＋mx＋3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为(　　)
A．4 B．－4 C．3 D．－3
3．【2023·雅安一中月考】用配方法解方程x2－4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)
A．(x－2)2＝3 B．(x＋2)2＝3 C．(x＋2)2＝5 D．(x－2)2＝5
4．【2022·河南】一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
5．【2023·四川乐山一中月考】关于x的一元二次方程3x2－2x＋m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为(　　)
A． B． C．1 D．－
6．【2023·四川攀枝花一中月考】若关于x的方程x2－x－m＝0有实数根，则实数m的取值的范围是(　　)
A．m< B．m≤ C．m≥－ D．m>－
7．【2023·遂宁蓬溪中学月考】如图的六边形是由甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为(　　)
A．1 B．
C．4－2 D．8－4
8．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(　　)
9．【母题：教材P42练习T3】为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1 280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6 080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为(　　)
A．1 280＋1 280(1＋x)＋1 280(1＋x)2＝6 080 　　
B．6 080(1＋x)＋6 080(1－x)2＝1 280
C．1 280(1＋x)2＝6 080 　　
D．6 080(1－x)2＝1 280
10．若整数a使得关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋2ax＋a－1＝0有实根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题(每题3分，共24分)
11．【母题：教材P19练习】一元二次方程3x2＋1＝6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是________．
12．α、β是关于x的方程x2－x＋k－1＝0的两个实数根，且α2－2α－β＝4，则k的值为________．
13．【2023·长春108中学月考】已知t2－3t＋1＝0，则t＋＝________．
14．【2023·攀枝花一中月考】设x1，x2是关于x的方程x2－kx－1＝0的两个根，且x1＝－x2，则k的值为________．
15．【母题：教材P20习题T3】用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，设矩形的长为x cm，则列方程为________________．
16．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．
17．【2022·衢州】将一个容积为360 cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：________________(不必化简)．
18．对于实数a、b，定义运算“*”； a*b＝ ，关于x的方程(2x)*(x－1)＝t＋3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是________．
三、解答题(19，23，24题每题12分，其余每题10分，共66分)
19．【母题：教材P46复习题T10】用适当的方法解下列方程：
(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0；　　　　　　　　(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；
(3)x2－2x－3＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.
20．【2023·长治清华中学月考】已知一元二次方程x2－2x＋m＝0.
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2且x12＋x22＝3，求m的值．
21．【2023·长春第八十七中学月考】已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋
3(m－2)＝0的根为x1，x2.
(1)若x1＝4，求x2及m的值；
(2)若一个等腰三角形的一边长为5，另两边恰好是此方程的两个实数根，求m
的值．
22．阅读材料：
已知p2－p－1＝0，1－q－q2＝0，且pq≠1，求的值．
解：由p2－p－1＝0及1－q－q2＝0，可知p≠0，q≠0，
∴1－q－q2＝0可变形为－－1＝0.
又∵pq≠1，∴p≠，∴p与是方程x2－x－1＝0的两个不相等的实数根，
∴p＋＝1，∴＝1.
根据阅读材料所提供的方法，解答下面的问题．
已知：2m2－5m－1＝0，＋－2＝0，且m≠n.求＋的值．
23．【社会热点】2022年卡塔尔世界杯吉祥物la'eeb，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售价的1.5倍，且1 200元购买小拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多5个．
(1)求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？
(2)世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶500个，大拉伊卜玩偶300个，世界杯开赛第二周，该经销商决定降价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价a元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了10a个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为75 000元，求a的值．
24．如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，它们的速度都是2 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t s，解答下列问题：
(1)当t为何值时，△PBQ是以∠PQB为直角的直角三角形？
(2)是否存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、1．A　【点拨】A．是一元二次方程，符合题意；
B．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；
C．不是一元二次方程，不符合题意；
D．不是整式方程，不符合题意．
故选A.
2．B　3．A　4．A
5．D　【点拨】∵关于x的一元二次方程3x2－2x＋m＝0有两根，其中一根为
x＝1，
设另一根为x2，则x＋x2＝，
∴x2＝－，∴xx2＝－.
6．C　【点拨】∵关于x的方程x2－x－m＝0有实数根，
∴(－1)2－4(－m)＝1＋4m≥0，解得m≥－.
7．D　【点拨】设乙的直角边长为x，依题意得4x＋4x＝×42＋x2，整理可得
x2－16x＋16＝0，
解得x＝8±4，
∵8＋4＞4，不合题意舍去，
8－4＜4，符合题意，∴x＝8－4.
故选D.
8．B　9．A　10．C　
二、11．3，－6，1
12．－4　【点拨】∵α、β是方程x2－x＋k－1＝0的根，
∴α2－α＋k－1＝0，α＋β＝1.
∴α2－2α－β＝α2－α－(α＋β)＝－k＋1－1＝－k＝4.
∴k＝－4.
13．3
14．0　【点拨】根据题意，知x1＋x2＝k，将x1＝－x2代入x1＋x2＝k，得k＝0.
15．x(20－x)＝64　16．直角
17．15x(10－x)＝360
18．－3【点拨】由新定义的运算可得关于x的方程为：
当2x≤x－1时，即x≤－1时，有(2x)2－2x(x－1)＝t＋3，即2x2＋2x－t－3＝0
(x≤－1)，其根为x＝是负数，
当2x>x－1时，即x>－1时，有(x－1)2－2x(x－1)＝t＋3，即x2＝－t－2
(x>－1)，
要使关于x的方程(2x)*(x－1)＝t＋3恰好有三个不相等的实数根，则x2＝
－t－2(x>－1)和2x2＋2x－t－3＝0(x≤－1)都必须有解，
∴ ，∴－≤t≤－2.
(1)当－t－2＝0时，即t＝－2时，方程x2＝－t－2(x>－1)有两个相等的根
x1＝x2＝0，
∵当t＝－2时，＝，
∴>0，<－1，
∴此时方程2x2＋2x－t－3＝0只有一个根符合题意，∴t＝－2不符合
题意．
(2)当－3－1)的两个根－1∵当－3∴>0，<－1，
∴方程2x2＋2x－t－3＝0(x≤－1)只有一个根符合题意，
∴当－3(3)∵当－≤t≤－3时，方程x2＝－t－2(x>－1)的一个根大于等于1，另外一个根小于等于－1，
∴此时方程x2＝－t－2(x>－1)只有一个根符合题意．
∵当－≤t≤－3时，0≤≤1，∴－≤≤0，－1≤<－，
∴方程2x2＋2x－t－3＝0(x≤－1)最多有一个根符合题意，
∴当－≤t≤－3时，(2x)*(x－1)＝t＋3不可能有三个不相等的实根．
综上分析可知，t的取值范围是－3三、19．解：(1)原方程可化为(x－4)(x＋5)＝0，
∴x－4＝0或x＋5＝0.
解得x1＝4，x2＝－5.
(2)原方程可化为(2x＋1＋2)2＝0，
即(2x＋3)2＝0，解得x1＝x2＝－.
(3)原方程可化为(x＋1)(x－3)＝0，
∴x＋1＝0或x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
(4)原方程化为一般形式为y2－2y＝0.
因式分解，得y(y－2)＝0.
∴y1＝2，y2＝0.
20．解：(1)∵方程x2－2x＋m＝0有两个实数根，
∴b2－4ac＝(－2)2－4m＝4－4m≥0，
解得m≤1.
(2)由根与系数的关系可知，x1＋x2＝2，x1x2＝m，
由x12＋x22＝3，得(x1＋x2)2－2x1x2＝3，
即22－2m＝3，
解得m＝0.5.
21．解：(1)把x＝4代入方程x2－(m＋1)x＋3(m－2)＝0，
得16－4(m＋1)＋3(m－2)＝0，
解得m＝6.
当m＝6时，原方程可化为x2－7x＋12＝0，
则(x－4)(x－3)＝0，
所以x－4＝0或x－3＝0，
所以x1＝4，x2＝3.
(2)因为x2－(m＋1)x＋3(m－2)＝0，
所以[x－(m－2)](x－3)＝0，
所以x－(m－2)＝0或x－3＝0，
所以x1＝m－2，x2＝3，
当m－2＝3时，解得m＝5，此时等腰三角形三边长为3、3、5，符合三角形三边的关系；
当m－2＝5时，解得m＝7，此时等腰三角形三边长为5、5、3，符合三角形三边的关系；
综上所述，m的值为5或7.
22．解：由＋－2＝0，得2n2－5n－1＝0，根据2m2－5m－1＝0与2n2－5n－
1＝0的特征，且m≠n，可知m与n是方程2x2－5x－1＝0的两个不相等的实
数根，
∴m＋n＝，mn＝－，
∴＋＝＝－5.
23．解：(1)设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价为1.5x元，
根据题意，得－＝5，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的根，
所以1.5x＝120.
答：小拉伊卜玩偶售价为80元，大拉伊卜玩偶售价为120元．
(2)根据题意，第二周大拉伊卜售价是(120－a)元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是(80－a)元，销售数量为(10a＋500)个，
根据题意，得(10a＋500)×(80－a)＋300×(120－a)＝75 000，
解得a1＝10，a2＝－10(舍去)．
故a的值为10.
24．解：(1)由题意，得AP＝2t cm，BQ＝2t cm，
∴BP＝AB－AP＝(6－2t) cm.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°.
当点P到达点B时，t＝＝3，
则0∵∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝90°－∠B＝30°，
∴BP＝2BQ，即6－2t＝2×2t，
解得t＝1，符合题意．
∴当t＝1时，△PBQ是以∠PQB为直角的直角三角形．
(2)不存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的，理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的，
易得S△ABC＝9 cm2，
∴S△PBQ＝S△ABC＝3 cm2.
如图，过点Q作QH⊥AB于点H，则∠BHQ＝90°.
∴∠HQB＝90°－∠B＝30°，
∴BH＝BQ＝t cm，
∴HQ＝＝t cm，
∴S△PBQ＝BP·HQ＝(6－2t)·t＝3，
整理得t2－3t＋3＝0，
此方程根的判别式为Δ＝9－4×1×3＝－3<0，方程无解，所以假设不成立，
即不存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的.