华师大版九年级上册 第21章 二次根式 综合素质评价（含答案）

第21章 二次根式 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．【母题：教材P3练习T2】【2022·黄石】函数y＝＋的自变量x的取值范围是(　　)
A．x≠－3且x≠1 B．x>－3且x≠1
C．x>－3 D．x≥－3且x≠1
2．【2023·西南大学附属中学月考】下列根式中，不能与合并的是(　　)
A． B． C． D．
3．下列式子中，属于最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
4．【2023·长春第一外国语中学月考】估算×－2的值应在(　　)
A．1到2之间 B．2到3之间
C．3到4之间 D．4到5之间
5．【2022·安顺】估计(2＋5)×的值应在(　　)
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
6．若a，b满足b＝＋－3，则在平面直角坐标系中，点P(a，b)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．【母题：教材P4习题T3】已知x＜2，化简的结果是(　　)
A．x－5 B．x＋5 C．－x－5 D．5－x
8．已知一等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则这个等腰三角形的腰长为(　　)
A．2 B．5 C．2或5 D．无法确定
9．已知a＝3＋2，b＝3－2，则a2b－ab2的值为(　　)
A．1 B．17 C．4 D．－4
10．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为(　　)
A． B．2
C．2 D．6
二、填空题(每题3分，共24分)
11．比较大小：3________2(填“＞”“＜”或“＝”)．
12．【2022·六盘水】计算：－2＝________．
13．【2023·眉山苏祠中学月考】已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝________．
14．【母题：教材P16复习题T8】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简＋的结果为________．
15．计算(－2)2 024(＋2)2 023的结果是__________.
16．若2，m，4为三角形的三边长，化简：＋＝________．
17．【2022·宜宾】《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝.现有周长为18的三角形的三边满足a∶b∶c＝4∶3∶2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为________．
18．我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即如果a＋b＝ab，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为(a，b)．例如：＋3＝×3，＋(－1)＝×(－1)，则称数对(，3)，(，－1)为“和积等数对”．
(1)(－2，4)和(＋2，)是“和积等数对”的是________；
(2)如果(m，n)(其中m≠1，n≠1)是“和积等数对”，那么m＝______(用含有n的代数式表示)．
三、解答题(19题12分，20～22题每题8分，其余每题10分，共66分)
19．【母题：教材P15复习题T1】计算：
(1)＋(－2)－2－＋(π－2)0；　　　(2)－(＋1)2＋；
(3)(－4＋3)÷2；　　(4)(2＋5)(2－5)－(－)2.
20．【2022·锦州】先化简，再求值：÷，其中x＝－1.
21．如果最简二次根式与是可以合并的，求正整数m，n的值．
22．已知等式|a－2 023|＋＝a成立，求a－2 0232的值．
23．古希腊的数学家海伦在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S＝①，请你举出一个例子，说明关系式①是正确的．
24．如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两块面积分别为12 dm2和27 dm2的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木板(阴影部分)中裁出长为1.5 dm，宽为1 dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
25．【2023·焦作实验中学月考】观察下列三个等式：
＝1＋－＝1；＝1＋－＝1；＝
1＋－＝1.
请根据以上三个等式提供的信息完成下列问题：
(1)猜想：＝________；
(2)根据猜想写出一个用n(n为正整数)表示的等式，并证明你写出的等式成立．
答案
一、1．B
2．D　【点拨】A．＝，故可以与合并；
B．＝，故可以与合并；
C．＝＝＝2，故可以与合并；
D．＝＝，故不可以与合并；故选D.
3．D
4．B　【点拨】×－2＝－2＝－2，
∵4<<5，∴2＜－2＜3，
∴×－2的值应在2到3之间．
5．B
6．D　【点拨】∵ a，b满足b＝＋－3，
∴a－2≥0，2－a≥0，∴a＝2，∴b＝－3，
∴点P(2，－3)在第四象限．
7．D　【点拨】x2－10x＋25＝(x－5)2，∵x<2，∴x－5<0，∴＝5－x，故选D.
8．B　【点拨】若2为底边长，则腰长为(12－2)÷2＝5，符合两边之和大于第三边；
若2为腰长，则底边长为12－2×2＝8，
2＋2<8，
不符合两边之和大于第三边．
故腰长为5.
9．C　【点拨】a2b－ab2＝ab(a－b)
＝(3＋2)(3－2)[3＋2－(3－2)]
＝(9－8)×4
＝4.故选C.
10．B
二、11．＞　12．0　13．2(答案不唯一)
14．b－2a　【点拨】由数轴可知，a<0a＋(－a)＝b－2a.
15．－2
16．4　【点拨】∵2，m，4为三角形的三边长，
∴2＜m＜6，
∴m－2＞0，m－6＜0，
∴原式＝|m－2|＋|m－6|
＝m－2－(m－6)
＝m－2－m＋6
＝4.
17．3
18．(1)(＋2，)　(2)
【点拨】(1)∵－2＋4＝2，－2×4＝－8，
∴(－2，4)不是“和积等数对”；
∵＋2＋＝2＋2，×＝2＋2，
∴(＋2，)是“和积等数对”．
(2)根据题意得m＋n＝mn，整理得：m＝，
故答案为.
三、19．解：(1)原式＝＋－＋1＝3＋1＝4；
(2)原式＝3－＋
＝3－4－2＋＝＋－4；
(3)原式＝×
＝－1＋3＝＋2；
(4)原式＝(2)2－(5)2－(5－2＋2)
＝20－50－(7－2)＝－37＋2.
20．解：原式＝[＋]÷＝÷＝×＝，
当x＝－1时，原式＝＝.
21．解：根据题意，得
解得
即m，n的值分别为5，2.
22．解：由题意得a－2 024≥0，
∴a≥2 024.
原等式变形为a－2 023＋＝a.
整理，得＝2 023.
两边平方，得a－2 024＝2 0232，
∴a－2 0232＝2 024.
23．解：
如图，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，c＝5，
则S△ABC＝ab＝×3×4＝6.
∵
＝＝＝6＝S△ABC，
∴关系式S＝是正确的．
24．解：(1)∵两块正方形木板的面积分别为12 dm2和27 dm2，
∴这两块正方形木板的边长分别为 dm和 dm.
由图可知，原矩形木板的长为(＋)dm，宽为 dm，
∴原矩形木板的面积为×＝18＋27＝45(dm2)．
答：原矩形木板的面积为45 dm2.
(2)最多能裁出3块，理由如下：
由(1)可知，两块正方形木板的边长分别为 dm和 dm，
则此时阴影部分的宽为－＝3－2＝(dm)，长为＝2(dm)．
2≈3.464，≈1.732，
1.732÷1.5≈1(块)，
3.464÷1≈3(块)，
3×1＝3(块)，
∴最多能裁出3块这样的木条．
25．(1)1
【点拨】＝
＝＝1＋－＝1.
(2)解：＝1＋－＝1＋ (n为正整数)．
证明如下：
＝
＝ ＝＝
＝1＋ .
所以等式成立．