二倍角的正弦余弦正切[下学期]
文档属性
| 名称 | 二倍角的正弦余弦正切[下学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 848.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2008-04-01 15:01:00 | ||
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文档简介
课件23张PPT。二倍角的正弦、 余弦、正切
评价分析教学程序及设想学法指导教学方法与手段教材分析教材分析本节内容是在学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后，还掌握了和角公式与差角公式可以互相转化基础上得到的又一重要公式。由于半角公式和8个互化公式降低要求，更突出了倍角公式的重要性，它为进一步学习三角函数打基础，在三角求值、化简、证明中有广泛的应用，同时也是培养学生逻辑思维能力与化归思想的极好的素材。1、教材地位和作用能力目标情感目标知识目标 掌握倍角公式,弄懂公式的推导过程，并会应用公式进行求值、化简、证明；
目 标 分 析 在教学过程中突出学生的主体地位，自己去探索、发现公式，进一步揭示出公式的推导过程。因此培养学生观察分析问题进而发现数学规律的能力，同时注意渗透化归与转化的数学思想，提高学生分析问题解决问题的能力. 培养学生认真参与、善于倾听、积极交流的主体意识，让学生感受简单与复杂的辨证关系，体味数学的简洁美。教材分析倍角公式的推导及二倍角余弦公式的两种变形；重 点难 点倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和（差）角公式的综合应用；关 键 讲清倍角公式与和角公式的关系，以及二倍角余弦公式的三种等价形式。二、教学方法及教学手段1、教学方法（启发引导、实验探索） 教学必须以学生为中心，还学生主体地位，为展现获取知识和方法的思维过程，基于本节课的特点：公式的发现与应用，我采用启发引导、实验探索相结合的教学方法，首先创设恰当的问题情境，把教材内容作为一个问题提出来：“如何把2α角的三角函数化为单角α的三角函数呢？”引导学生的思考方向，然后在老师的引导下，由学生自己去探索解决问题，达到对重难点的深刻理解。
2、教学手段 根据本节内容的特点，为了更有效地突出教学重点，突破教学难点，展示公式被发现的过程，提高课堂效率，使教学目标得到更完美地体现，可以采用投影仪、电脑等手段进行辅助教学。三、学法指导 教给学生观察、分析发现新的数学规律的方法，培养他们运用化归与转化的数学思想解决问题的能力。四、教学程序及设想 整过教学过程要充分重视“以学生的发展为本”、“以学生为学习主体”的教育思想，在具体的操作过程中，力求发挥学生自主学习的能力，在教师帮助下，以自己的方式进行探索学习。过
程
分
析问题情境学生活动建构公式数学理论公式应用总结回顾 教师提出本节课的研究课题:前面我们已经学习了两角和与差的三角函数,这节课进一步学习三角函数有关知识. 提出问题1:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的实质是把和（差）角的三角函数化归为单角的三角函数，那么能否把2α角的三角函数化为单角α的三角函数呢？
(一)、问题情境1、让学生自己填空发现公式： (1) sin2α=____________ ; (2)cos2α=____________ ； (3)tan2α=____________。
可以小组讨论、协作完成，然后出示和（差）角公式，并提出问题2。
2、问题2：上节课中是如何把和角公式化归为差角公式？为什么？ 通过对问题2的讨论，帮助学生回忆上节知识与方法，关注公式间的内在联系，再引导学生回答问题1．(二)学生活动(三)、建构公式 １、建构
问题３ 如何用赋值的方法把2α角的三角函数表示成单角α的三角函数呢？
方法：在和角公式中一般情形特殊化，令β= α ２、反思
（１）大家是如何发现公式的呢？还有不同的方法吗？
可能有以下不同思路：
思路１想到2α=α+α，利用和角公式推导(鼓励)
思路２学生可能会想到2α=（α+β）+（α-β） ，应给予指导．
（２） 学生可能还有：sin2α=2sinα、 cos2α=2cosα、tan2α=2tanα． 出现了不同结论，能进一步举例验证吗？ 举例： 引导: 一般情况下不成立. 在充分肯定学生实践的基础上，引导学生合乎逻辑、简明扼要地表述自己的观点 ，通过比较领悟不同的思维表达层次，潜移默化地提高数学素养，并体验把一般化归为特殊的数学思想。
(四)、数学理论给出二倍角公式让学生完善教材公式并提出问题4.
问题４公式（２）还有其他变形吗？
注意:
问题５进一步如何用语言表述公式？
目的:引导学生关注公式特征.
①角度关系②函数名关系③次数变化。
指出这就是二倍角的正弦、余弦、正切公式, 二倍角的余弦公式有三种等价形式。
为了进一步激活学生的思维，引导学生服从理性。再通过问题和练习引导学生的思考： 问题6：能否利用公式计算 tan(2× π/2)=?通过问题引发认知冲突，鼓励学生尝试解决问题，想到需要考虑等式成立的条件，让学生完善角的范围限制.α≠kπ+π/2且α≠kπ/2+π/4时公式才成立 问题7：为什么要推导二倍角公式? 练习：课后练习1、练习2
训练与教学并进,设计活动引发学生学习兴趣:各小组比一比,选一人谈感受,和大家分享解题的快乐:好的思路，易错点，启示等，教师在关键处点拨。
进一步建构二倍角公式：
（1）在正弦、余弦、正切的和角公式中，令两角相等，就得到对应的倍角公式。因此，倍角公式是和角公式的特殊情况。
（2）如何理解公式中与2α的关系?
“倍角”是相对的。打破学生习惯认为只有α ， 2α 才具有2倍角关系，教学中通过一些简单实例加强这方面的训练，如
教学时必须使学生熟悉什么样的两个角成2倍的关系，配合练习巩固。例1 已知sina=5/13,a∈(π/2，π)，求
sin2a,cos2a,tan2a的值。
此题是所学公式的简单应用，让学生自己分析求解。
例2 求证
分析：证明三角等式一般要观察分析等式两边的联系区别，主要从角和函数名称入手，尽量将角和函数名称统一。
提问：能否将结论适当的变形以便于求证？让学生变形推证，然后反思用到了哪些公式，体会二倍角公式在变形中的作用（用投影）。
(五)、公式应用
这是一道综合题,困难一些.采用与学生一起分析引导思路求解，再总结方法：切化弦，逆用和角公式及二倍角公式。
练习:课后练习3、4、5选做
要求:学生自己去纠正和补充错误的或片面的认识.
(六)总结回顾，引导学生回顾本节课所学的知识及数学方法：
（1）联系图:
（2）、二倍角公式的应用
注意：“转化”及“化归”的数学思想
布置作业:
习题:4.7 1、2、3（2）（3）（6）
思考题：公式有三种等价形式，还可以有哪些变形？
请同学们尝试变形。引导学生处于思考状态。
以问题开始, 以问题结束学生有充分的时间去探索、去发现；学生有机会展现自己的发现;学生有机会报告自己的工作;学生有机会发展多种探索方式；学生不惧怕当众暴露错误.学生间有机会讨论，或辩论; 在这个教学过程中充分利用了教材提供的平台：教师：发现的引导者，促进学生反思，课堂气氛平等、民主。
谢谢大家
请各位评委提出宝贵意见！
2005.11
评价分析教学程序及设想学法指导教学方法与手段教材分析教材分析本节内容是在学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后，还掌握了和角公式与差角公式可以互相转化基础上得到的又一重要公式。由于半角公式和8个互化公式降低要求，更突出了倍角公式的重要性，它为进一步学习三角函数打基础，在三角求值、化简、证明中有广泛的应用，同时也是培养学生逻辑思维能力与化归思想的极好的素材。1、教材地位和作用能力目标情感目标知识目标 掌握倍角公式,弄懂公式的推导过程，并会应用公式进行求值、化简、证明；
目 标 分 析 在教学过程中突出学生的主体地位，自己去探索、发现公式，进一步揭示出公式的推导过程。因此培养学生观察分析问题进而发现数学规律的能力，同时注意渗透化归与转化的数学思想，提高学生分析问题解决问题的能力. 培养学生认真参与、善于倾听、积极交流的主体意识，让学生感受简单与复杂的辨证关系，体味数学的简洁美。教材分析倍角公式的推导及二倍角余弦公式的两种变形；重 点难 点倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和（差）角公式的综合应用；关 键 讲清倍角公式与和角公式的关系，以及二倍角余弦公式的三种等价形式。二、教学方法及教学手段1、教学方法（启发引导、实验探索） 教学必须以学生为中心，还学生主体地位，为展现获取知识和方法的思维过程，基于本节课的特点：公式的发现与应用，我采用启发引导、实验探索相结合的教学方法，首先创设恰当的问题情境，把教材内容作为一个问题提出来：“如何把2α角的三角函数化为单角α的三角函数呢？”引导学生的思考方向，然后在老师的引导下，由学生自己去探索解决问题，达到对重难点的深刻理解。
2、教学手段 根据本节内容的特点，为了更有效地突出教学重点，突破教学难点，展示公式被发现的过程，提高课堂效率，使教学目标得到更完美地体现，可以采用投影仪、电脑等手段进行辅助教学。三、学法指导 教给学生观察、分析发现新的数学规律的方法，培养他们运用化归与转化的数学思想解决问题的能力。四、教学程序及设想 整过教学过程要充分重视“以学生的发展为本”、“以学生为学习主体”的教育思想，在具体的操作过程中，力求发挥学生自主学习的能力，在教师帮助下，以自己的方式进行探索学习。过
程
分
析问题情境学生活动建构公式数学理论公式应用总结回顾 教师提出本节课的研究课题:前面我们已经学习了两角和与差的三角函数,这节课进一步学习三角函数有关知识. 提出问题1:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的实质是把和（差）角的三角函数化归为单角的三角函数，那么能否把2α角的三角函数化为单角α的三角函数呢？
(一)、问题情境1、让学生自己填空发现公式： (1) sin2α=____________ ; (2)cos2α=____________ ； (3)tan2α=____________。
可以小组讨论、协作完成，然后出示和（差）角公式，并提出问题2。
2、问题2：上节课中是如何把和角公式化归为差角公式？为什么？ 通过对问题2的讨论，帮助学生回忆上节知识与方法，关注公式间的内在联系，再引导学生回答问题1．(二)学生活动(三)、建构公式 １、建构
问题３ 如何用赋值的方法把2α角的三角函数表示成单角α的三角函数呢？
方法：在和角公式中一般情形特殊化，令β= α ２、反思
（１）大家是如何发现公式的呢？还有不同的方法吗？
可能有以下不同思路：
思路１想到2α=α+α，利用和角公式推导(鼓励)
思路２学生可能会想到2α=（α+β）+（α-β） ，应给予指导．
（２） 学生可能还有：sin2α=2sinα、 cos2α=2cosα、tan2α=2tanα． 出现了不同结论，能进一步举例验证吗？ 举例： 引导: 一般情况下不成立. 在充分肯定学生实践的基础上，引导学生合乎逻辑、简明扼要地表述自己的观点 ，通过比较领悟不同的思维表达层次，潜移默化地提高数学素养，并体验把一般化归为特殊的数学思想。
(四)、数学理论给出二倍角公式让学生完善教材公式并提出问题4.
问题４公式（２）还有其他变形吗？
注意:
问题５进一步如何用语言表述公式？
目的:引导学生关注公式特征.
①角度关系②函数名关系③次数变化。
指出这就是二倍角的正弦、余弦、正切公式, 二倍角的余弦公式有三种等价形式。
为了进一步激活学生的思维，引导学生服从理性。再通过问题和练习引导学生的思考： 问题6：能否利用公式计算 tan(2× π/2)=?通过问题引发认知冲突，鼓励学生尝试解决问题，想到需要考虑等式成立的条件，让学生完善角的范围限制.α≠kπ+π/2且α≠kπ/2+π/4时公式才成立 问题7：为什么要推导二倍角公式? 练习：课后练习1、练习2
训练与教学并进,设计活动引发学生学习兴趣:各小组比一比,选一人谈感受,和大家分享解题的快乐:好的思路，易错点，启示等，教师在关键处点拨。
进一步建构二倍角公式：
（1）在正弦、余弦、正切的和角公式中，令两角相等，就得到对应的倍角公式。因此，倍角公式是和角公式的特殊情况。
（2）如何理解公式中与2α的关系?
“倍角”是相对的。打破学生习惯认为只有α ， 2α 才具有2倍角关系，教学中通过一些简单实例加强这方面的训练，如
教学时必须使学生熟悉什么样的两个角成2倍的关系，配合练习巩固。例1 已知sina=5/13,a∈(π/2，π)，求
sin2a,cos2a,tan2a的值。
此题是所学公式的简单应用，让学生自己分析求解。
例2 求证
分析：证明三角等式一般要观察分析等式两边的联系区别，主要从角和函数名称入手，尽量将角和函数名称统一。
提问：能否将结论适当的变形以便于求证？让学生变形推证，然后反思用到了哪些公式，体会二倍角公式在变形中的作用（用投影）。
(五)、公式应用
这是一道综合题,困难一些.采用与学生一起分析引导思路求解，再总结方法：切化弦，逆用和角公式及二倍角公式。
练习:课后练习3、4、5选做
要求:学生自己去纠正和补充错误的或片面的认识.
(六)总结回顾，引导学生回顾本节课所学的知识及数学方法：
（1）联系图:
（2）、二倍角公式的应用
注意：“转化”及“化归”的数学思想
布置作业:
习题:4.7 1、2、3（2）（3）（6）
思考题：公式有三种等价形式，还可以有哪些变形？
请同学们尝试变形。引导学生处于思考状态。
以问题开始, 以问题结束学生有充分的时间去探索、去发现；学生有机会展现自己的发现;学生有机会报告自己的工作;学生有机会发展多种探索方式；学生不惧怕当众暴露错误.学生间有机会讨论，或辩论; 在这个教学过程中充分利用了教材提供的平台：教师：发现的引导者，促进学生反思，课堂气氛平等、民主。
谢谢大家
请各位评委提出宝贵意见！
2005.11