第十七章 勾股定理单元测试题（含解析）
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商丘市第七中学2022-2023学年度第二学期八年级数学单元测试卷
考试范围：第十七章《勾股定理》；考试时间：100分钟；命题人：王光义
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．(本题3分)如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．194 B．144 C．13 D．12
3．(本题3分)如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作，，；则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．(本题3分)已知三角形的三边长为a、b、c，如果，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
5．(本题3分)如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )
A．4米 B．3米 C．5米 D．7米
6．(本题3分)下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③m2＋n2，m2－n2，2mn(m，n均为正整数，m>n)；④a2，a2＋1，a2＋2.其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
7．(本题3分)直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．不能确定
8．(本题3分)如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．8
9．(本题3分)1．如图，在中，，，，是的平分线，交于点，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
10．(本题3分)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，若C点恰好落在DE上，且CE＝，CD＝，则AB等于（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题(共15分)
11．(本题3分)在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为______．
12．(本题3分)如图所示，在长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为___________．
13．(本题3分)有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为______．
14．(本题3分)如图，在中，，，，点为射线上一点，若是直角三角形，则的面积是___________.
(本题3分)如图，中，，，点为边上一点，，
点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小
值为___________．
三、解答题(共75分)
16．(本题8分)已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.
(1)如果a=6，b=8，求c；
(2)如果a=12，c=13，求b.
17．(本题8分)写出如图中△ABC各顶点的坐标且求出此三角形的面积．
18．(本题9分)如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方处的C点，过了后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
19．(本题9分)如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，求线段的长度．
20．(本题10分)如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
21．(本题10分)如图，在四边形中，，，于，
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
22．(本题10分)定义：如果一个三角形存在两个内角与满足，那么称这个三角形为“准互余三角形”．如图，已知为“准互余三角形”，并且．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
23．(本题11分)如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：
参考答案：
1．A
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足的三个数，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】解：A、，能构成勾股数，故正确；
B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；
C、，不能构成勾股数，故错误；
D、，不能构成勾股数，故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，熟记常用的勾股数．
2．B
【分析】如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=21，c2=169，则可计算出b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．
【详解】解：如图，
∵a2+b2=c2，
而a2=25，c2=169，
∴b2=169-25=144，
∴字母B所代表的正方形的面积为144．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．
3．C
【分析】依据半圆的面积公式，以及勾股定理即可解决．
【详解】解：设，，的半径分别为，，，
则，，，
又∵为直角三角形，
∴，即，
∴，
故选C.
【点睛】根据勾股定理，然后变形，得出三个半圆之间的关系．
4．C
【分析】根据非负数的性质得出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状即可．
【详解】解：∵（a-5）2+|b-12|+=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
5．A
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3 m，AC＝5 m，
由勾股定理，得CE＝＝4 m，
故离门4米远的地方，灯刚好发光，
故选A.
【点睛】本题考查勾股定理的应用.
6．B
【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可
【详解】①∵72+82=113≠92=81，∴不能构成直角三角形；
②∵122+92=152=225，∴能构成直角三角形；
③∵(m2－n2)2+(2mn)2=( m2＋n2)2=m4+n4+2n2m2
∴能构成直角三角形；
④∵(a2)2+( a2＋1)2=2a4+2a2+1≠(a2＋2)2，∴不能构成直角三角形；
故选B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方是解题的关键
7．C
【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为，
当4为斜边时，第三边的长为，
则第三边的长为或，
故选：C
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．
8．A
【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得．
【详解】解：由折叠的性质可知，
设为x，则为，
∵四边形为长方形
∴，
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
9．A
【分析】过点D作，先由等腰直角三角形性质求出，再证明，设，则，所以，解得： ，即，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点D作，
∵在中，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵是的平分线，
∴，
设，则，
∴，解得： ，
∴的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
10．D
【分析】连接BE，先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，再由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由此可得BE⊥CE，在Rt△BEC中，由勾股定理可得2AB2＝CD2+CE2，从而可求得AB的长．
【详解】如图，连接BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE＝3，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，
即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴2AB2＝CD2+CE2＝（3）2+（）2＝20，
∴AB＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，关键是证得△ACD≌△ABE，得出BE⊥CE．
11．8
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积＝b的面积-a的面积．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
则b的面积＝a的面积+c的面积，
∴c的面积＝b的面积-a的面积．
故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，全等三角形的判定和性质，注意掌握此题中的结论：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和．
12．##
【分析】根据长方形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数与数轴，勾股定理等知识点，能求出是解题的关键．
13．
【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．
【详解】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，
则，
故，
解得：，
答：绳索AD的长度是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
14．6或
【分析】分两种情况讨论：①当时，根据勾股定理求出的长，即可求出的面积；②当时，设，在Rt中根据勾股定理列方程求出x的值，即可求出的长，进而可求出的面积.
【详解】①当时，E点与C点重合
∵在中，，，
即
②如图，当时，设
在Rt中,
在Rt中，
解得
∴的面积是6或
故答案为：6或
【点睛】本题主要考查了勾股定理和求直角三角形面积，分类讨论是解题的关键.
15．5
【分析】连接，交于点，连接，首先证明为线段的垂直平分线，即有点、关于对称，，此时，的值最小，再利用勾股定理解得，由，即可确定的最小值．
【详解】解：如下图，连接，交于点，连接，
∵，点为边的中点，
∴，即为线段的垂直平分线，
∴点、关于对称，，
此时，的值最小，
∵，，
∴在中，，
∴，
即的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最短路径、勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质确定取最小值时的位置是解题关键．
16．(1)c＝10 (2)b＝5
【分析】根据勾股定理、代入已知数据计算即可．
【详解】(1)a=6，b=8，
则c==10；
(2)a=12，c=13，
则b= =5；
故答案为(1)c＝10 (2)b＝5
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握对应值是解题关键
17．A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），三角形的面积是9.5．
【分析】首先根据坐标的定义正确写出三个顶点的坐标，再根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算．
【详解】解：根据图形得：A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），
三角形的面积是=5×4-6-2-2.5=9.5．
故答案为A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），三角形的面积是9.5．
【点睛】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积．
18．(1)
(2)小汽车没超速，理由见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）先计算，段的速度，再与比较即可．
【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
即B，C间的距离为．
（2）这辆小汽车没有超速．
理由：∵，
而，
而，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，利用直角三角形的性质求解是解本题的关键．
19．
【分析】根据折叠的性质判定是等边三角形，然后再在中根据勾股定理，求．
【详解】解：连接，
是的中线，且沿着直线翻折，
，
是等腰三角形，
，
，为等边三角形，
，
在中，
，
．
【点睛】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等边三角形的性质求解．解题的关键是掌握以上知识点．
20．(1)见解析
(2)cm
【分析】（1）由，，，知道，根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形；
（2）设，根据勾股定理得到关于的方程，解方程可求出的长．
【详解】（1）解：证明：∵，，，
，，
即，
为直角三角形；
（2）设，
是等腰三角形，
．
为直角三角形，
为直角三角形，
，即，
解得：，
故的长为．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理解答．
21．（1）详见解析；（2）S四边形ABCD=56
【分析】（1）由等角的余角相等可得∠DAC=∠ABE，再根据题意可得Rt△BAE≌Rt△ADC，即可证；
（2）根据勾股定理算出AC，由全等可得BE=AC，再算出△ACD的面积和△ABC的面积相加即可．
【详解】解：（1）∵BE⊥AC，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ABE，
又∵AB=AD，∠BEA=∠ACD，
∴Rt△BAE≌Rt△ADC(AAS)，
∴BE=AC．
（2）∵AB=AD=10，CD=6，∠ACD=90°，
∴，
∵Rt△BAE≌Rt△ADC，
∴BE=AC=8，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形面积，关键在于牢记基础知识并灵活使用．
22．(1)
(2)
【分析】（1）分为，为，为，求解．
（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，利用勾股定理，三角形外角性质计算即可．
【详解】（1）当为时，
则，
故不成立；
当为时，
∵，
∴，
故不成立；
当为，
∵，
∴，
∴，
故不成立；
故，
解得，
∴．
（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，
∵，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)证明见详解；
(2)；
(3)证明见详解；
【分析】（1）根据和都是等腰直角三角形，可知，则，，结合已有条件可证（），则；
（2）由（1）得，则，，由此可推出，进而可得，根据，，结合勾股定理可知，则；
（3）连接，，如图所示：根据，，可得，则，结合条件可证，则，进而可知，由（1）得，由（2）得∠°，由此根据勾股定理可证．
【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴（），
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
由（2）得∠°，
∴在中，，
即．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键．
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商丘市第七中学2022-2023学年度第二学期八年级数学单元测试卷
考试范围：第十七章《勾股定理》；考试时间：100分钟；命题人：王光义
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下面四组数，其中是勾股数组的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．(本题3分)如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．194 B．144 C．13 D．12
3．(本题3分)如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作，，；则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．(本题3分)已知三角形的三边长为a、b、c，如果，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
5．(本题3分)如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )
A．4米 B．3米 C．5米 D．7米
6．(本题3分)下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③m2＋n2，m2－n2，2mn(m，n均为正整数，m>n)；④a2，a2＋1，a2＋2.其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
7．(本题3分)直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．不能确定
8．(本题3分)如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．8
9．(本题3分)1．如图，在中，，，，是的平分线，交于点，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
10．(本题3分)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，若C点恰好落在DE上，且CE＝，CD＝，则AB等于（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题(共15分)
11．(本题3分)在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为______．
12．(本题3分)如图所示，在长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为___________．
13．(本题3分)有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为______．
14．(本题3分)如图，在中，，，，点为射线上一点，若是直角三角形，则的面积是___________.
(本题3分)如图，中，，，点为边上一点，，
点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，，则的最小
值为___________．
三、解答题(共75分)
16．(本题8分)已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.
(1)如果a=6，b=8，求c；
(2)如果a=12，c=13，求b.
17．(本题8分)写出如图中△ABC各顶点的坐标且求出此三角形的面积．
18．(本题9分)如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方处的C点，过了后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
19．(本题9分)如图，是的中线，，把沿着直线翻折，点C落在点E的位置，如果，求线段的长度．
20．(本题10分)如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
21．(本题10分)如图，在四边形中，，，于，
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
22．(本题10分)定义：如果一个三角形存在两个内角与满足，那么称这个三角形为“准互余三角形”．如图，已知为“准互余三角形”，并且．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
23．(本题11分)如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：
参考答案：
1．A
【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足的三个数，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】解：A、，能构成勾股数，故正确；
B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，所以不是勾股数，故错误；
C、，不能构成勾股数，故错误；
D、，不能构成勾股数，故错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，熟记常用的勾股数．
2．B
【分析】如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=21，c2=169，则可计算出b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．
【详解】解：如图，
∵a2+b2=c2，
而a2=25，c2=169，
∴b2=169-25=144，
∴字母B所代表的正方形的面积为144．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．
3．C
【分析】依据半圆的面积公式，以及勾股定理即可解决．
【详解】解：设，，的半径分别为，，，
则，，，
又∵为直角三角形，
∴，即，
∴，
故选C.
【点睛】根据勾股定理，然后变形，得出三个半圆之间的关系．
4．C
【分析】根据非负数的性质得出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状即可．
【详解】解：∵（a-5）2+|b-12|+=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
5．A
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3 m，AC＝5 m，
由勾股定理，得CE＝＝4 m，
故离门4米远的地方，灯刚好发光，
故选A.
【点睛】本题考查勾股定理的应用.
6．B
【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可
【详解】①∵72+82=113≠92=81，∴不能构成直角三角形；
②∵122+92=152=225，∴能构成直角三角形；
③∵(m2－n2)2+(2mn)2=( m2＋n2)2=m4+n4+2n2m2
∴能构成直角三角形；
④∵(a2)2+( a2＋1)2=2a4+2a2+1≠(a2＋2)2，∴不能构成直角三角形；
故选B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方是解题的关键
7．C
【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为，
当4为斜边时，第三边的长为，
则第三边的长为或，
故选：C
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．
8．A
【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得．
【详解】解：由折叠的性质可知，
设为x，则为，
∵四边形为长方形
∴，
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
9．A
【分析】过点D作，先由等腰直角三角形性质求出，再证明，设，则，所以，解得： ，即，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点D作，
∵在中，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵是的平分线，
∴，
设，则，
∴，解得： ，
∴的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
10．D
【分析】连接BE，先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，再由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由此可得BE⊥CE，在Rt△BEC中，由勾股定理可得2AB2＝CD2+CE2，从而可求得AB的长．
【详解】如图，连接BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE＝3，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，
即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴2AB2＝CD2+CE2＝（3）2+（）2＝20，
∴AB＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，关键是证得△ACD≌△ABE，得出BE⊥CE．
11．8
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积＝b的面积-a的面积．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
则b的面积＝a的面积+c的面积，
∴c的面积＝b的面积-a的面积．
故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，全等三角形的判定和性质，注意掌握此题中的结论：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和．
12．##
【分析】根据长方形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数与数轴，勾股定理等知识点，能求出是解题的关键．
13．
【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．
【详解】解：在中，
，
设秋千的绳索长为，
则，
故，
解得：，
答：绳索AD的长度是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
14．6或
【分析】分两种情况讨论：①当时，根据勾股定理求出的长，即可求出的面积；②当时，设，在Rt中根据勾股定理列方程求出x的值，即可求出的长，进而可求出的面积.
【详解】①当时，E点与C点重合
∵在中，，，
即
②如图，当时，设
在Rt中,
在Rt中，
解得
∴的面积是6或
故答案为：6或
【点睛】本题主要考查了勾股定理和求直角三角形面积，分类讨论是解题的关键.
15．5
【分析】连接，交于点，连接，首先证明为线段的垂直平分线，即有点、关于对称，，此时，的值最小，再利用勾股定理解得，由，即可确定的最小值．
【详解】解：如下图，连接，交于点，连接，
∵，点为边的中点，
∴，即为线段的垂直平分线，
∴点、关于对称，，
此时，的值最小，
∵，，
∴在中，，
∴，
即的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最短路径、勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质确定取最小值时的位置是解题关键．
16．(1)c＝10 (2)b＝5
【分析】根据勾股定理、代入已知数据计算即可．
【详解】(1)a=6，b=8，
则c==10；
(2)a=12，c=13，
则b= =5；
故答案为(1)c＝10 (2)b＝5
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握对应值是解题关键
17．A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），三角形的面积是9.5．
【分析】首先根据坐标的定义正确写出三个顶点的坐标，再根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算．
【详解】解：根据图形得：A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），
三角形的面积是=5×4-6-2-2.5=9.5．
故答案为A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），三角形的面积是9.5．
【点睛】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积．
18．(1)
(2)小汽车没超速，理由见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）先计算，段的速度，再与比较即可．
【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
即B，C间的距离为．
（2）这辆小汽车没有超速．
理由：∵，
而，
而，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，利用直角三角形的性质求解是解本题的关键．
19．
【分析】根据折叠的性质判定是等边三角形，然后再在中根据勾股定理，求．
【详解】解：连接，
是的中线，且沿着直线翻折，
，
是等腰三角形，
，
，为等边三角形，
，
在中，
，
．
【点睛】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等边三角形的性质求解．解题的关键是掌握以上知识点．
20．(1)见解析
(2)cm
【分析】（1）由，，，知道，根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形；
（2）设，根据勾股定理得到关于的方程，解方程可求出的长．
【详解】（1）解：证明：∵，，，
，，
即，
为直角三角形；
（2）设，
是等腰三角形，
．
为直角三角形，
为直角三角形，
，即，
解得：，
故的长为．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理解答．
21．（1）详见解析；（2）S四边形ABCD=56
【分析】（1）由等角的余角相等可得∠DAC=∠ABE，再根据题意可得Rt△BAE≌Rt△ADC，即可证；
（2）根据勾股定理算出AC，由全等可得BE=AC，再算出△ACD的面积和△ABC的面积相加即可．
【详解】解：（1）∵BE⊥AC，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ABE，
又∵AB=AD，∠BEA=∠ACD，
∴Rt△BAE≌Rt△ADC(AAS)，
∴BE=AC．
（2）∵AB=AD=10，CD=6，∠ACD=90°，
∴，
∵Rt△BAE≌Rt△ADC，
∴BE=AC=8，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形面积，关键在于牢记基础知识并灵活使用．
22．(1)
(2)
【分析】（1）分为，为，为，求解．
（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，利用勾股定理，三角形外角性质计算即可．
【详解】（1）当为时，
则，
故不成立；
当为时，
∵，
∴，
故不成立；
当为，
∵，
∴，
∴，
故不成立；
故，
解得，
∴．
（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，
∵，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)证明见详解；
(2)；
(3)证明见详解；
【分析】（1）根据和都是等腰直角三角形，可知，则，，结合已有条件可证（），则；
（2）由（1）得，则，，由此可推出，进而可得，根据，，结合勾股定理可知，则；
（3）连接，，如图所示：根据，，可得，则，结合条件可证，则，进而可知，由（1）得，由（2）得∠°，由此根据勾股定理可证．
【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴（），
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
由（2）得∠°，
∴在中，，
即．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键．
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