第十一教时
教材：不等式证明六（构造法及其它方法）
目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。
过程：
1、 构造法：
1．构造函数法
例一、已知x > 0，求证：
证：构造函数 则， 设2≤<
由
显然 ∵2≤< ∴ > 0, 1 > 0, > 0 ∴上式 > 0
∴f (x)在上单调递增，∴左边
例二、求证：
证：设 则
用定义法可证：f (t)在上单调递增
令：3≤t1
∴
2．构造方程法：
例三、已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2。
证：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0，
则 即b, c是二次方程的两个实根。
∴ 即：a≥2
例四、求证：
证：设 则：(y 1)tan2 + (y + 1)tan + (y 1) = 0
当 y = 1时，命题显然成立
当 y 1时，△= (y + 1)2 4(y 1)2 = (3y 1)(y 3)≥0
∴
综上所述，原式成立。（此法也称判别式法）
3．构造图形法：
例五、已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：
证：构造单位正方形，O是正方形内一点
O到AD, AB的距离为a, b，
则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD|
其中，
又：
∴
2、 作业：证明下列不等式：
1．
令，则 (y 1)x2 + (y + 1)x + (y 1) = 0
用△法，分情况讨论
2． 已知关于x的不等式(a2 1)x2 (a 1)x 1 < 0 (aR)，对任意实数x恒成立，求证：。
分a2 1 = 0和 讨论
3． 若x > 0, y > 0, x + y = 1，则
左边 令 t = xy，则
在上单调递减 ∴
4． 若，且a2 < a b，则
令，又，在上单调递增
∴
5． 记，a > b > 0，则| f (a) f (b) | < | a b|
构造矩形ABCD, F在CD上，
使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1,
则|AC| |AF| < |CF|
6． 若x, y, z > 0，则
作AOB = BOC = COA = 120, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z
A
B
C
D
O
1b
b
a
1a
A
B
C
D
F第十二教时
教材：不等式证明综合练习
目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。
过程：
1、 简述不等式证明的几种常用方法
比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
2、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小。
解一：
∵0 < 1 x2 < 1, ∴
∴
解二：
∵0 < 1 x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴ ∴
解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴
∴左 右 =
∵0 < 1 x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴
∴
变题：若将a的取值范围改为a > 0且a 1，其余条件不变。
例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd
证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数
∴要证：xy≥ac + bd
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2
即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立
∴xy≥ac + bd
证二：（综合法）xy =
≥
证三：（三角代换法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )≤xy
例三、已知x1, x2均为正数，求证：
证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：
即：
再平方：
化简整理得： （显然成立）
∴原式成立
证二：（反证法）假设
化简可得： （不可能）
∴原式成立
证三：（构造法）构造矩形ABCD，
使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2
当APB = DPC时，AP + PD为最短。
取BC中点M，有AMB = DMC, BM = MC =
∴ AP + PD ≥ AM + MD
即：
∴
3、 作业： 2000版 高二课课练 第6课
A
B
C
D
P
M第十三教时
教材：复习一元一次不等式
目的：通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论。
过程：
1、 提出课题：不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式
板演：1．解不等式：
2．解不等式组： （）
3．解不等式：
4．解不等式：
5．解不等式：
2、 含有参数的不等式
例一、解关于x的不等式
解：将原不等式展开，整理得：
讨论：当时，
当时，若≥0时；若<0时
当时，
例二、解关于x的不等式
解：原不等式可以化为：
若即则或
若即则
若即则或
例三、关于x的不等式的解集为
求关于x的不等式的解集．
解：由题设且，
从而 可以变形为
即： ∴
例四、关于x的不等式 对于恒成立，
求a的取值范围．s
解：当a>0时不合 a=0也不合
∴必有：
例五、若函数的定义域为R，求实数k的
取值范围
解：显然k=0时满足 而k<0时不满足
∴k的取值范围是[0,1]
3、 简单绝对不等式
例六、（课本6.4 例1）解不等式
解集为：
4、 小结
5、 作业：6.4 练习 1、2 P25 习题6.4 1
补充：1．解关于x的不等式：
1 2
2．不等式的解集为，求a, b ()
3．不等式对于恒成立，求a的取值 (a>4)
4．已知, 且BA, 求p的取值范围 (p≥4)
5．已知 当-1≤x≤1时y有正有负，求a的取值范围第十教时
教材：不等式证明五（放缩法、反证法）
目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：
1、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法
提出课题：放缩法与反证法
2、 放缩法：
例一、若a, b, c, dR+，求证：
证：记m =
∵a, b, c, dR+
∴
∴1 < m < 2 即原式成立
例二、当 n > 2 时，求证：
证：∵n > 2 ∴
∴
∴n > 2时,
例三、求证：
证：
∴
3、 反证法：
例四、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于
证：设(1 a)b >, (1 b)c >, (1 c)a >,
则三式相乘：ab < (1 a)b (1 b)c (1 c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 a)a (1 b)b (1 c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
4、 作业：证明下列不等式：
1． 设x > 0, y > 0,, ，求证：a < b
放缩法：
2． lg9 lg11 < 1
3．
4． 若a > b > c, 则
5．
左边
6．
7．已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n≥3, nR*)
∵，又a, b, c > 0, ∴
∴
8．设0 < a, b, c < 2，求证：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同时大于1
仿例四
9．若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2
反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾第十六教时（机动）
教材：指数不等式与对数不等式
目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。
过程：
1、 提出课题：指数不等式与对数不等式
强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题
因此必须注意它们的“底”及它们的定义域
2、 例一 解不等式
解：原不等式可化为： ∵底数2>1
∴ 整理得：
解之，不等式的解集为{x|-3例二 解不等式
解：原不等式可化为：
即： 解之： 或
∴x>2或 ∴不等式的解集为{x|x>2或}
例三 解不等式
解：原不等式等价于 或
解之得：4∴原不等式的解集为{x|4例四 解关于x的不等式：
解：原不等式可化为
当a>1时有
（其实中间一个不等式可省）
当0∴当a>1时不等式的解集为；
当0例五 解关于x 的不等式
解：原不等式等价于
Ⅰ： 或 Ⅱ：
解Ⅰ： 解Ⅱ： ∴
当a>1时有0a
∴原不等式的解集为{x|01}或{x|x>a, 0例六 解不等式
解：两边取以a为底的对数：
当0∴ ∴
当a>1时原不等式化为：
∴
∴ ∴
∴原不等式的解集为
或
3、 小结：注意底（单调性）和定义域s
4、 作业： 补充：解下列不等式
1．
(当a>1时 当02．
(-23． (-14．
5．当，求不等式： (a6．，求证：
7． (-18．时解关于x的不等式
(；；)第三教时
教材：算术平均数与几何平均数
目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。
过程：
1、 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：
1．指出定理适用范围：
2．强调取“=”的条件
二、定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
证明：∵ ∴
即： 当且仅当时
注意：1．这个定理适用的范围：
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、推广：
定理：如果，那么
（当且仅当时取“=”）
证明：∵
∵ ∴上式≥0 从而
指出：这里 ∵就不能保证
推论：如果，那么
（当且仅当时取“=”）
证明：
四、关于“平均数”的概念
1．如果 则：
叫做这n个正数的算术平均数
叫做这n个正数的几何平均数
2．点题：算术平均数与几何平均数
3．基本不等式： ≥
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
4．的几何解释：
以为直径作圆，在直径AB上取一点C， 过C作弦DD’AB 则
从而
而半径
五、例一 已知为两两不相等的实数，求证：
证：∵
以上三式相加：
∴
六、小结：算术平均数、几何平均数的概念
基本不等式（即平均不等式）
七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 1--3
补充：1．已知，分别求的范围
(8,11) (3,6) (2,4)
2．试比较 与（作差>）
3．求证：
证：
三式相加化简即得
b
a
C
D
D’
B
A第七教时
教材：不等式证明二（比较法、综合法）
目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。
过程：
1、 比较法：
1． 复习：比较法，依据、步骤
比商法，依据、步骤、适用题型
2． 例一、证明：在是增函数。
证：设2≤x1∵x2 x1 > 0, x1 + x2 4 > 0 ∴
又∵y1 > 0， ∴y1 > y2 ∴在是增函数
2、 综合法：
定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。
例2、 已知a, b, c是不全相等的正数，
求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
证：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc
同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc
当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
例3、 设a, b, c R，
1求证：
2求证：
3若a + b = 1, 求证：
证：1∵ ∴
∴
2同理：，
三式相加：
3由幂平均不等式：
∴
例4、 a , b, cR, 求证：1
2
3
证：1法一：, , 两式相乘即得。
法二：左边
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
2∵
两式相乘即得
3由上题：
∴
即：
三、小结：综合法
四、作业： P15—16 练习 1，2
P18 习题6.3 1，2，3
补充：
1． 已知a, bR+且a b，求证：（取差）
2． 设R，x, yR，求证：（取商）
3． 已知a, bR+，求证：
证：∵a, bR+ ∴ ∴
∴
∴
∴
∴
4． 设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：
证：∵ ∴ ∴
∴第十四教时
教材：高次不等式与分式不等式
目的：要求学生能熟练地运用列表法和标根法解分式不等式和高次不等式。
过程：
1、 提出课题：分式不等式与高次不等式
2、 例一(P22-23) 解不等式
略解一（分析法）
或
∴
解二：（列表法）原不等式可化为列表（见P23略）
注意：按根的由小到大排列
解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解
小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”
例二 解不等式
解：原不等式化为
∴原不等式的解为
例三 解不等式
解：∵恒成立
∴原不等式等价于 即-1例四 解不等式
解：原不等式等价于且
∴原不等式的解为
若原题目改为呢？
例五 解不等式
解：原不等式等价于
即：
∴
3、 例六 解不等式
解：原不等式等价于
∴原不等式的解为：
例七 k为何值时，下式恒成立：
解：原不等式可化为：
而
∴原不等式等价于
由得14、 小结：列表法、标根法、分析法
5、 作业：P24 练习 P25 习题6.4 2、3、4
补充：
1．k为何值时，不等式对任意实数x恒成立
2．求不等式的解集
3．解不等式
4．求适合不等式的x的整数解 (x=2)
5．若不等式的解为,求的值
-2
4
3
2
1
0
-1第六教时
教材：不等式证明一（比较法）
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
1、 复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论
二、作差法：（P13—14）
1． 求证：x2 + 3 > 3x
证：∵(x2 + 3) 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2． 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
证：
∵a,b,m都是正数，并且a 0 , b a > 0
∴ 即：
变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
3． 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
证：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 )
= a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)
= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b，∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，
则： 可得：
∴
∵S, m, n都是正数，且m n，∴t1 t2 < 0 即：t1 < t2
从而：甲先到到达指定地点。
变式：若m = n，结果会怎样？
三、作商法
5． 设a, b R+，求证：
证：作商：
当a = b时，
当a > b > 0时，
当b > a > 0时，
∴ （其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
四、小结：作差、作商
五、作业： P15 练习
P18 习题6.3 1—4第八教时
教材：不等式证明三（分析法）
目的：要求学生学会用分析法证明不等式。
过程：
1、 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。
2、 例一、求证：
证： ∵ 综合法：
只需证明： ∵21 < 25
展开得： ∴
即： ∴
∴ ∴
即： 21 < 25（显然成立） ∴
∴ ∴
例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：
证一：（分析法）所证不等式即：
即：
即：
只需证：
∵成立
∴
证二：（综合法）∵
∵x > 0，y > 0， ∴
例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0
证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0
展开得：
∴ab + bc + ca ≤ 0
证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0
故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2
即证：
即： （显然）
∴原式成立
证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b
∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab (a + b)2 = a2 b2 ab
=
例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，
周长为l的正方形边长为，截面积为
问题只需证：>
即证：>
两边同乘，得：
因此只需证：4 > （显然成立）
∴ > 也可用比较法（取商）证，也不困难。
3、 作业： P18 练习 1—3 及 习题6.3 余下部分
补充作业：
1． 已知0 < < ，证明：
略证：只需证： ∵0 < < ∴sin > 0
故只需证：
即证： ∵1 + cos > 0
只需证：
即只需证：
即： （成立）
2． 已知a > b > 0，为锐角，求证：
略证：只需证：
即：（成立）
3． 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：
略证：正弦、余弦定理代入得：
即证：
即：
即证：（成立）第二教时
教材：不等式基本性质（续完）
目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
过程：
一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2
二、1．性质3：如果，那么 （加法单调性）反之亦然
证：∵ ∴
从而可得移项法则：
推论：如果且，那么 （相加法则）
证：
推论：如果且，那么 （相减法则）
证：∵ ∴
或证：
上式>0 ………
2．性质4：如果且, 那么；
如果且那么 （乘法单调性）
证： ∵ ∴
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
时即：
时即：
推论1 如果且，那么（相乘法则）
证：
推论1’（补充）如果且，那么（相除法则）
证：∵ ∴
推论2 如果, 那么
3．性质5：如果，那么
证：（反证法）假设
则：若这都与矛盾 ∴
三、小结：五个性质及其推论
口答P8 练习1、2 习题6.1 4
四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6
五、供选用的例题（或作业）
1．已知，，，求证：
证：
2．若，求不等式同时成立的条件
解：
3．设， 求证
证：∵ ∴
又∵ ∴>0 ∴
∵ ∴
∴
4． 比较与的大小
解： 当时∵即
∴ ∴<
当时∵即
∴ ∴>
5．若 求证：
解： ∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
6．若 求证：
证：∵ >1 ∴
又∵ ∴
∴ ∴原式成立第九教时
教材：不等式证明四（换元法）
目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。
过程：
1、 提出课题：（换元法）
2、 三角换元：
例一、求证：
证一：（综合法）
∵
即： ∴
证二：（换元法） ∵ ∴令 x = cos , [0, ]
则
∵ ∴
例二、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：
证一： 即：
证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设
则
例三：若，求证：
证：设，
则
例四：若x > 1，y > 1，求证：
证：设
则
例五：已知：a > 1, b > 0 , a b = 1，求证：
证：∵a > 1, b > 0 , a b = 1 ∴不妨设
则
∵, ∴0 < sin < 1 ∴
小结：若0≤x≤1，则可令x = sin ()或x = sin2 ()。
若，则可令x = cos , y = sin ()。
若，则可令x = sec, y = tan ()。
若x≥1，则可令x = sec ()。
若xR，则可令x = tan ()。
3、 代数换元：
例六：证明：若a > 0，则
证：设
则
（ 当a = 1时取“=” ）
∴
即 ∴原式成立
4、 小结：
还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。
5、 作业：
1． 若，求证：
2． 若|a| < 1，|b| <1，则
3． 若|x|≤1，求证：
4． 若a > 1, b > 0 , a b = 1，求证：
5． 求证：
6． 已知|a|≤1，|b|≤1，求证：第十五教时
教材：无理不等式
目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不等式。
过程：
1、 提出课题：无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式组
2、
例一 解不等式
解：∵根式有意义 ∴必须有：
又有 ∵ 原不等式可化为
两边平方得： 解之：
∴
3、
例二 解不等式
解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
Ⅰ： Ⅱ：
解Ⅰ： 解Ⅱ：
∴原不等式的解集为
4、
例三 解不等式
解：原不等式等价于
特别提醒注意：取等号的情况
5、 例四 解不等式
解 ：要使不等式有意义必须：
原不等式可变形为 因为两边均为非负
∴ 即
∵x+1≥0 ∴不等式的解为2x+1≥0 即
例五 解不等式
解：要使不等式有意义必须：
在0≤x≤3内 0≤≤3 0≤≤3
∴>3 因为不等式两边均为非负
两边平方得： 即>x
因为两边非负，再次平方： 解之0综合 得：原不等式的解集为0例六 解不等式
解：定义域 x-1≥0 x≥1
原不等式可化为：
两边立方并整理得：
在此条件下两边再平方, 整理得：
解之并联系定义域得原不等式的解为
6、 小结
7、 作业：P24 练习 1、2、3 P25 习题 6.4 5
补充：解下列不等式
1．
2．
3． ()s
4．
5．第三章 不等式
第一教时
教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称 （例略）
1．“同向不等式与异向不等式”
2．“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系（充要条件）
1．从实数与数轴上的点一一对应谈起
2．应用：例一 比较与的大小
解：（取差）
∴<
例二 已知0, 比较与的大小
解：（取差）
∵ ∴ 从而>
小结：步骤：作差—变形—判断—结论
例三 比较大小1．和
解：∵
∵
∴<
2．和
解：（取差） ∵
∴当时>；当时=；当时<
3．设且，比较与的大小
解： ∴
当时≤；当时≥
四、不等式的性质
1．性质1：如果，那么；如果，那么（对称性）
证：∵ ∴由正数的相反数是负数
2．性质2：如果， 那么（传递性）
证：∵， ∴，
∵两个正数的和仍是正数 ∴
∴
由对称性、性质2可以表示为如果且那么
五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件
3．性质1、2
六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3
补充题：1．若，比较与的大小
解： =……= ∴≥
2．比较2sin与sin2的大小(0<<2)
略解：2sinsin2=2sin(1cos)
当(0,)时2sin(1cos)≥0 2sin≥sin2
当(,2)时2sin(1cos)<0 2sin3．设且比较与的大小
解：
当时 ∴>
当时 ∴>
∴总有>第十七教时
教材：含绝对值的不等式
目的：要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证明有关含绝对值的不等式。
过程：一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法
当a>0时，
二、定理：
证明：∵
①
又∵a=a+b-b |-b|=|b|
由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b| ②
综合①②:
注意：1 左边可以“加强”同样成立，即
2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”
推论1：≤
推论2：
证明：在定理中以-b代b得：
即：
三、应用举例
例一 至 例三见课本P26-27略
例四 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2
证明：当a+b与a-b同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2
当a+b与a-b异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2
∴|a+b|+|a-b|<2
例五 已知 当ab时 求证：
证一：
证二：（构造法）
如图：
由三角形两边之差小于第三边得：
四、小结：“三角不等式”
五、作业：P28 练习和习题6.5
1
b
a
B
A
O第十八教时
教材：含参数的不等式的解法
目的：在解含有参数的不等式时，要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论，解不等式。
过程：一、课题：含有参数的不等式的解法
二、例一 解关于x的不等式
解：原不等式等价于 即：
∴
若a>1
若0例二 解关于x的不等式
解：原不等式可化为
即：s
当m>1时 ∴
当m=1时 ∴xφ
当0当m≤0时 x<0
例三 解关于x的不等式
解：原不等式等价于
当即时
∴
当即时 ∴x6
当即时 xR
例四 解关于x的不等式
解：当即(0,)时 ∴x>2或x<1
当即=时 xφ
当即(,)时 ∴1例五 满足的x的集合为A；满足的x
的集合为B 1 若AB 求a的取值范围 2 若AB 求a的取
值范围 3 若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值。
解：A=[1,2] B={x|(x-a)(x-1)≤0}
当a≤1时 B=[a,1] 当a>1时 B=[1,a]
当a>2时 AB
当1≤a≤2时 AB
当a≤1时 A∩B仅含一个元素
例六 方程有相异两实根，
求a的取值范围
解：原不等式可化为
令： 则
设 又∵a>0
三、小结
四、作业：
1．
2． 若
求a的取值范围 (a≥1)
3．
4．
5．当a在什么范围内方程：有两个
不同的负根
6．若方程的两根都对于2，求实数m的范围第四教时
教材：极值定理
目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。
过程：
1、 复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式
2、 若，设
求证：
加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
证：∵
∴即：（俗称幂平均不等式）
由平均不等式
即：
综上所述：
例一、若 求证
证：由幂平均不等式：
3、 极值定理
已知都是正数，求证：
1 如果积是定值，那么当时和有最小值
2 如果和是定值，那么当时积有最大值
证：∵ ∴
1当 (定值)时， ∴
∵上式当时取“=” ∴当时有
2当 (定值)时， ∴
∵上式当时取“=” ∴当时有
注意强调：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）
2用极值定理求最值的三个必要条件：
一“正”、二“定”、三“相等”
4、 例题
1．证明下列各题：
⑴
证：∵∴
于是
⑵若上题改成，结果将如何？
解：∵
于是
从而
⑶若 则
解：若则显然有
若异号或一个为0则 ∴
2．①求函数的最大值
②求函数的最大值
解：①∵ ∴ ∴当即时
即时
②∵ ∴
∴
∴当时
3．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
解：∵ ∴
∴=
当且仅当即时
5、 小结：1．四大平均值之间的关系及其证明
2．极值定理及三要素
6、 作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6
补充：下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？
1 时
2
3时第五教时
教材：极值定理的应用
目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。
过程：
1、 复习：基本不等式、极值定理
2、 例题：1．求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？
解一：
∴
解二：当即时
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）
正确的解法是：
当且仅当即时
2．若，求的最值
解：
∵ ∴
从而
即
3．设且，求的最大值
解：∵ ∴
又
∴
即
4．已知且，求的最小值
解：
当且仅当即时
3、 关于应用题
1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）
2．将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为
则其容积为
当且仅当即时取“=”
即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为
4、 作业：P12 练习4 习题6.2 7
补充：
1．求下列函数的最值：
1 (min=6)
2 ()
2．1时求的最小值，的最小值
2设，求的最大值(5)
3若, 求的最大值
4若且，求的最小值
3．若，求证：的最小值为3
4．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和
高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）