高三数学复习之第6章 不等式（1-6节）PPT课件-人教版[全套][整理][上学期]
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| 名称 | 高三数学复习之第6章 不等式（1-6节）PPT课件-人教版[全套][整理][上学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 116.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2005-12-20 06:18:00 | ||
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课件57张PPT。第1节 不等式的性质及比较法证明不等式第6章 不等式要点·疑点·考点1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假.
不等式有如下8条性质：
1.a＞b? b＜a.(反身性)
2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性)
3.a＞b ? a+c＞b+c.(平移性)
4.a＞b，c＞0 => ac＞bc；
a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性)
5.a＞b≥0 => ，n∈N，且n≥2.(乘方性)
6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性)
7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性)
8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性) 2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变形——与1比较大小. 1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为____________.
2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系为A____B.
3.若n＞0，用不等号连接式子 ___ 3-n．课 前 热 身a＜ab2＜ab＞≥4.若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是( )
(A)(1-a)(1/3)＞(1-a)(1/2)? (B)log(1-a)(1+a)＞0
(C)(1-a)3＞(1+a)2 (D)(1-a)1+a＞1 5.已知三个不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成___个正确的命题. A3能力·思维·方法1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(n∈N，x，y∈R+)的大小. 【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项式的分解常用分组分解法. 2. 设a＞0，b＞0，求证：【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)——变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比较大小.
(2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：【解题回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持一致. 3. 已知x≥0，y≥0，求证： 延伸·拓展【解题回顾】用定义法证明函数的单调性，多用到比较法，特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理的严密性. 4. 设0＜a＜1，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+
logxa在 上是增函数. 误解分析(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错. (2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性质的应用是解决本题的关键.第2节 用综合法、分析法证明不等式要点·疑点·考点2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”.要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、运算，导出欲证的不等式. 3.若 恒成立.则常数a的取值范
围是_________. 1.当a＞1，0＜b＜1时，logab+logba的取值范围是______________. 课 前 热 身(-∞，-2]2.设 ，则函数 的最小值是____，
此时x=_______. 4.设a、b、c∈R+，则三个数
的值( )
(A)都大于2 (B)至少有一个不大于2
(C)都小于2 (D)至少有一个不小于2 D能力·思维·方法1.已知a，b，c都是正数，且a≠b，a3-b3=a2-b2，求
证：1＜a+b＜ 【解题回顾】本题证明a+b＞1采用了综合法，而证
明a+b＜ 是采用了分析法.在证题时，从已知条件
出发，实行降幂变换，证出了a+b＞1；而从结论出
发，实行升幂变换，导出a+b＜ ．这是两种不同的
思维程序. 【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法.
(2)注意条件中1的代换与使用. 2.(1)设a，b，c都是正数，求证：
(2)已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求证：【解题回顾】利用|a|2＝a2(a∈R)是证有关绝对值问题的好方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子，证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题，充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化. 4.已知a＞b＞0，求证： 【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够同时进行证明.延伸·拓展【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、a2，因此设法产生a1+a2是变形的目标. 5.设a1，a2∈R+，a1+a2＝1，λ1，λ2∈R+，求证：误解分析1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错的主要原因. 2.把握不住证题方向，会导致证题出现混乱. 第3节 算术平均数与几何平均数要点·疑点·考点1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) (a，b∈R+)；
(3) (ab＞0)； (4) (a，b∈R).
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取值要求. 2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则
．其中当且仅当a＝b时取等号.3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 ；
(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 1.“a＞0且b＞0”是“ ”成立的( )
(A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( )
(A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地
(C)同时到达 (D)不能判定 课 前 热 身AA4.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. 3．下列函数中，最小值为4的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)C25.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
(A)5公里 (B)4公里 (C)3公里 (D)2公里 C能力·思维·方法【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a，b，c不全相等，则等号不成立. 1.设a，b，c都是正数，求证：2.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 的最小值；
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值. 【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：
错误的原因在两次运用
平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x＝2y，第二次须x＝y).
求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法. 3.已知正数a、b满足a+b＝1.
(1)求ab的取值范围；(2)求 的最小值. 【解题回顾】用不等式解决有关实际
应用问题，一般先要将实际问题数学
化，建立所求问题的代数式，然后再
据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最值. 4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计). 【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”. 延伸·拓展误解分析(2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错. (1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、易错. 第4节 不等式的解法要点·疑点·考点1.解一元二次不等式是解整式、分式不等式的基础.求解时应首先调整不等式中二次项系数a ，使a＞0.在熟练掌握一元一次不等式(组)和一元二次不等式解法的基础上，掌握分式不等 式、简单的高次不等式的解法.?
2.掌握利用图形、数轴讨论不等式组解集的方法.?
3.讨论一元二次不等式系数中的字母取值问题，常用到分解因式、判别式、求根公式、韦达 定理，还应充分考虑运用函数思想.课 前 热 身 1.不等式(2/x)＜x+1的解集为___________________.｛x｜x＞1或-2＜x＜0｝2.已知函数f(x)=x2+ax+3，当x∈［-2，2］时，不等式f(x)＞a恒成立，求a的取值范围是_________________-7 ＜a＜2 3.不等式((x-2)2(x-3))/(x+1)＜0的解集为?
__________________________.?
｛x｜-1＜x＜2或2＜x＜3｝4.不等式ax/(x-1)＜1的解集为｛x｜x＜1或x＞2｝，则
a=( )
(A)2 (B)-2 (C)12 (D)-12
? 5.已知不等式①x2-4x+3＜0，②x2-6x+8＜0，③2x2-9x+m＜0，要使同时满足①、②的x也满 足③，则有( )?
(A)m＞9 (B)m＝9? (C)m＜9 (D)0＜m≤9?C ?
C能力·思维·方法 1.设m∈R，解关于x的不等式m2x2+2mx-3＜0.? 【解题回顾】解此不等式时，由于m∈R，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因 为当m＝0时，原不等式化为-3＜0，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m＝0与m≠0两种 情况来讨论.?
在解出m2x2+2mx-3＝0的两根为x1＝-3/m，x2＝1/m后，认为-3/m＜1/m也是易出现的错误之处.这 时也应分情况来讨论：当m＞0时，-3/m＜1/m；当m＜0时，-3/m＞1/m.? 2.解下列不等式：? (1)(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)≤0；? (2)(x2+2x-2)/(3+2x-x2)＜x. 【解题回顾】题(1)是解高次不等式，一般解法为通过同解变形，使一边为0，另一边为一 次因式的积(x的系数为正)，然后用根轴法求解.如果出现重因式(x-a)n，n为奇数，该式可 视为(x-a)来求解.若n为偶数，则先将该式去掉，最后再讨论x＝a是否为原不等式的解.? 题(2)是解分式不等式，不可盲目去分母，一般解法是：移项，通分，分解因式后化为f(x)/g (x)＞0? f(x)·? g(x)＞0，用序轴标根法解，若f(x)/g(x)≥0，则f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0.3.已知两个命题：p：当x∈［1，+∞)时，函数f(x)=
(0＜a＜1)恒有意义；q:关于x的 不等式｜x2-2x-3｜≥(1-5/(m+1))的解集为实数集R；如果这两个命题中有且只有一个是真命题， 试求m的取值范围.? 【解题回顾】本题两个命题的设计均为恒成立问题,都可以转化为最值问题得到相关的不等 式，注意对两个命题进行讨论以满足条件，从而得到m的范围.? 4.解关于x的不等式(k(1-x))/(x-2) +1＜0(k≠1，且k≠0).?【解题回顾】本题是含参数的分式不等式的求解.首先要通分，变形成因式积的形式，再 由判断根的大小来确定讨论的标准与范围.延伸·拓展5.设二次函数f(x)＝x2+bx+c(b，c∈R)，已知不论α，β为何实数，恒有f(sin α)≥0，且 f(2+cos β)≤0.? (1)求证：b+c＝-1；(2)求c的取值范围；(3)若函数? f(sin α)的最大值为8，求b，c的值.? 【解题回顾】本题充分体现了二次函数与二次不等式的联系与转化，其解法“巧”在利用 条件的特殊状态求出f(1)＝0，“活”在二次函数向不等式的转化，“妙”在利用二次函数 单调性确定最大值的表达式，进而求出b，c.? 1?不能充分使用二次函数与二次不等式之间的关系.?
2?不能利用二次函数单调性，求给定区间上的二次函数的最值，致使建立错误的关系.同时 注意与前面小题中的结论相结合.误解分析第5节 不等式的解法要点·疑点·考点1.掌握无理不等式的解法.
解的过程注意两点：
(1)保证根式有意义；
(2)在利用平方去掉根号时，不等式两边要为非负值. 2.掌握绝对值不等式的解法.最简绝对值不等式分两类：
(1)|f(x)|≥a(a＞0)等价于f(x)≤-a或f(x)≥a；
(2)|f(x)|≤a(a＞0)等价于-a≤f(x)≤a. 3.掌握指数、对数不等式的基本解法——基本型(ax＞b，logax＞b)，同底型(af(x)＞ag(x)、logaf(x)＞logag(x))，或利用换元法或通过函数的单调性将其转化为代数不等式.转化过程中，应充分关注函数定义域，保证变形的同解性.在转化为不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及到最后几个不等式的解集是“交”还是“并”. 1.方程 的解集是( )
(A)(-1，0)∪(3，+∞) (B)(-∞，-1)∪(0，3)
(C)(-1，0]∪[3，+∞) (D)(-∞，-1)∪[0，3] 课 前 热 身C3.不等式 的解集为_____________ 2.x∈｛x｜g(x)≤f(x)≤h(x)｝是x∈｛x｜［f(x)-h(x)］［(f(x)-g(x))］≤0｝的( )?
(A)充分不必要条件? (B)必要不充分条件?
(C)充要条件? (D)既非充分也非必要条件?A? 4.关于x的不等式x3+13a2x＞5ax2+9a3的解集是
___________________
? 5.方程x2-3mx+m=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则m的取值范围是_________________.｛x｜x＞a｝?
｛m|1/2 ＜m＜4/5｝能力·思维·方法1.解不等式2.已知关于x的不等式(ax-5)/(x2-a)＜0的解集为M.? (1)当a=4时，求集合M；?
(2)若3∈M，且5?M.求实数a的取值范围.【解题回顾】 (1)解分式不等式常用序轴标根法，(2)3∈M，所以3是不等式的解，也即满 足不等式，5?M，所以5不是不等式的解，则5在M补集中，本题易把25-a=0丢掉.3.已知a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围. 【解题回顾】此题所用的构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法. 变题1 若不等式|x-4|+|x-3|＞a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围. 变题2 若不等式|x-4|-|x-3|＜a的解集在R上不是空集．求a的取值范围. 变题3 不等式|x-4|-|x-3|＞a在R上恒成立，求a的取值范围. 延伸·拓展【解题回顾】本题亦为含有参数的不等式，但不是常见的就参数的取值讨论不等式的解，而是就不等式成立这一结论，去研究参数的范围.两者各尽其妙，不可偏废.此外，通过本题，可培养学生研究问题的意识、方法与习惯，应予关注. 5.一位同学写了一个不等式：
(1)他发现当c＝1、2、3时不等式都成立，试问：不等式是否对任意的正数c都成立?为什么?
(2)对于已知的正数c，这位同学还发现，把不等式右边的
“ ”改成某些值，如-c，0等，不等式总是成立的，试求
出所有这些值的集合M. (1)直接作差，造成运算量较大，容易出现错误. 误解分析(2)在运用基本不等式时，不考虑等号是否取得.即不讨论c的取值范围，致使结果不全. 第6节 不等式的综合应用要点·疑点·考点1.近几年的高考试题中，不等式的应用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，涉及的深度、范围也在提高和增大，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性.既有一般的解不等式(组)和证明不等式的题，也有将其作为数学工具应用的试题. 2.本课时的重点是通过不等式应用的复习，提高综合运用各种数学知识的能力，以及通过建立不等式模型解应用题,提高分析问题和解决问题的能力.
不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着广泛的应用，主要表现在：
(1)求函数的定义域、值域；
(2)求函数的最值；
(3)讨论函数的单调性；
(4)研究方程的实根分布；
(5)求参数的取值范围；
(6)解决与不等式有关的应用题. 3.用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不等式表示的模型，再求出极值. 课 前 热 身1.如果函数y＝log(1/3)(x2-2ax+a+2)的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是__________. -1＜a＜2B3.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4＝0有解，则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞，-8]∪[0，+∞) (B)(-∞，-4)
(C)[-8，4) (D)(-∞ ，-8] D4. 设a，b，c∈R，ab＝2且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值为______. 45.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，对于a、b、c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＞0.其中正确结论的序号是__________③、⑤能力·思维·方法1.已知实数α，β，γ满足α+β+γ＞0，αβ+βγ+γα＞0，αβγ＞0，证明α，β， γ都大于0.【解题回顾】 (1)等比数列的前n项求和公式的运用时注意公比q的讨论.? (2)第2小题是从Tn中变形出Sn，利用(1)中Sn＞0可简化运算，再转化为求函数的最值问题. ?3.若抛物线c：y＝ax2-1上总存在关于直线l：x+y＝0对称的两点，试求实数a的取值范围. ?
【解题分析】求a的取值范围，关键是设法导出a的不等式.可考虑由判别式导出不等式.2.已知等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＞-1，且q≠1，前n项和为Sn；在数列{bn}中，bn＝an+1-kan+2，前n项和为Tn.
(1)求证：Sn＞0；
(2)证明若Tn＞kSn对一切正整数n成立，则k≤-1/2. 【解题回顾】(1)等比数列的前n项求和公式的运用时注意公比q的讨论.
(2)第2小题是从Tn中变形出Sn，利用(1)中Sn＞0可简化运算，再转化为求函数的最值问题. 3. 若抛物线c：y＝ax2-1上总存在关于直线l：x+y＝0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围. 【解题回顾】上面的解法是由判别式导出a的不等式的，本题还可以由均值不等式或由点与曲线的位置关系导出a的不等式. 【解题回顾】(1)本小题是利用x+1/x与x2+1/x2，x4+1/x4之间的关系用配凑法求得.
(2)通过换元，利用一元二次方程的实根分布知识求解.
(3)把恒成立问题转化为求函数的最值，本题利用函数的单调性求最大值. 4.设x＝logst+logts，y＝logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s)，其中，s＞1，t＞1，m∈R.
(1)将y表示成x的函数y＝f(x)，并求f(x)的定义域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0，有且仅有一个实数根，求m的取值范围；
(3)若f(x)＞0恒成立，求m的取值范围. 延伸·拓展【解题回顾】本题是函数与不等式的综合题，对于(3)是已知两参数a、x的范围，求另一参数m的范围.此类题的做法是先消去一参x，后求m范围. 5.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且 f(1)＝1，若
a，b∈[-1，1]，a+b≠0有
(1)判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
(2)解不等式
(3)若f(x)≤m2-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 误解分析 不等式问题大多需要“等价转化”，而能否确保转化“等价”是解题成败的关键.
不等式有如下8条性质：
1.a＞b? b＜a.(反身性)
2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性)
3.a＞b ? a+c＞b+c.(平移性)
4.a＞b，c＞0 => ac＞bc；
a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性)
5.a＞b≥0 => ，n∈N，且n≥2.(乘方性)
6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性)
7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性)
8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性) 2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变形——与1比较大小. 1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为____________.
2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系为A____B.
3.若n＞0，用不等号连接式子 ___ 3-n．课 前 热 身a＜ab2＜ab＞≥4.若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是( )
(A)(1-a)(1/3)＞(1-a)(1/2)? (B)log(1-a)(1+a)＞0
(C)(1-a)3＞(1+a)2 (D)(1-a)1+a＞1 5.已知三个不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成___个正确的命题. A3能力·思维·方法1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(n∈N，x，y∈R+)的大小. 【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项式的分解常用分组分解法. 2. 设a＞0，b＞0，求证：【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)——变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比较大小.
(2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：【解题回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持一致. 3. 已知x≥0，y≥0，求证： 延伸·拓展【解题回顾】用定义法证明函数的单调性，多用到比较法，特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理的严密性. 4. 设0＜a＜1，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+
logxa在 上是增函数. 误解分析(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错. (2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性质的应用是解决本题的关键.第2节 用综合法、分析法证明不等式要点·疑点·考点2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”.要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、运算，导出欲证的不等式. 3.若 恒成立.则常数a的取值范
围是_________. 1.当a＞1，0＜b＜1时，logab+logba的取值范围是______________. 课 前 热 身(-∞，-2]2.设 ，则函数 的最小值是____，
此时x=_______. 4.设a、b、c∈R+，则三个数
的值( )
(A)都大于2 (B)至少有一个不大于2
(C)都小于2 (D)至少有一个不小于2 D能力·思维·方法1.已知a，b，c都是正数，且a≠b，a3-b3=a2-b2，求
证：1＜a+b＜ 【解题回顾】本题证明a+b＞1采用了综合法，而证
明a+b＜ 是采用了分析法.在证题时，从已知条件
出发，实行降幂变换，证出了a+b＞1；而从结论出
发，实行升幂变换，导出a+b＜ ．这是两种不同的
思维程序. 【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法.
(2)注意条件中1的代换与使用. 2.(1)设a，b，c都是正数，求证：
(2)已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求证：【解题回顾】利用|a|2＝a2(a∈R)是证有关绝对值问题的好方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子，证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题，充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化. 4.已知a＞b＞0，求证： 【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够同时进行证明.延伸·拓展【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、a2，因此设法产生a1+a2是变形的目标. 5.设a1，a2∈R+，a1+a2＝1，λ1，λ2∈R+，求证：误解分析1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错的主要原因. 2.把握不住证题方向，会导致证题出现混乱. 第3节 算术平均数与几何平均数要点·疑点·考点1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) (a，b∈R+)；
(3) (ab＞0)； (4) (a，b∈R).
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取值要求. 2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则
．其中当且仅当a＝b时取等号.3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 ；
(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 1.“a＞0且b＞0”是“ ”成立的( )
(A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( )
(A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地
(C)同时到达 (D)不能判定 课 前 热 身AA4.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. 3．下列函数中，最小值为4的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)C25.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
(A)5公里 (B)4公里 (C)3公里 (D)2公里 C能力·思维·方法【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a，b，c不全相等，则等号不成立. 1.设a，b，c都是正数，求证：2.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 的最小值；
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值. 【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：
错误的原因在两次运用
平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x＝2y，第二次须x＝y).
求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法. 3.已知正数a、b满足a+b＝1.
(1)求ab的取值范围；(2)求 的最小值. 【解题回顾】用不等式解决有关实际
应用问题，一般先要将实际问题数学
化，建立所求问题的代数式，然后再
据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最值. 4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计). 【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”. 延伸·拓展误解分析(2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错. (1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、易错. 第4节 不等式的解法要点·疑点·考点1.解一元二次不等式是解整式、分式不等式的基础.求解时应首先调整不等式中二次项系数a ，使a＞0.在熟练掌握一元一次不等式(组)和一元二次不等式解法的基础上，掌握分式不等 式、简单的高次不等式的解法.?
2.掌握利用图形、数轴讨论不等式组解集的方法.?
3.讨论一元二次不等式系数中的字母取值问题，常用到分解因式、判别式、求根公式、韦达 定理，还应充分考虑运用函数思想.课 前 热 身 1.不等式(2/x)＜x+1的解集为___________________.｛x｜x＞1或-2＜x＜0｝2.已知函数f(x)=x2+ax+3，当x∈［-2，2］时，不等式f(x)＞a恒成立，求a的取值范围是_________________-7 ＜a＜2 3.不等式((x-2)2(x-3))/(x+1)＜0的解集为?
__________________________.?
｛x｜-1＜x＜2或2＜x＜3｝4.不等式ax/(x-1)＜1的解集为｛x｜x＜1或x＞2｝，则
a=( )
(A)2 (B)-2 (C)12 (D)-12
? 5.已知不等式①x2-4x+3＜0，②x2-6x+8＜0，③2x2-9x+m＜0，要使同时满足①、②的x也满 足③，则有( )?
(A)m＞9 (B)m＝9? (C)m＜9 (D)0＜m≤9?C ?
C能力·思维·方法 1.设m∈R，解关于x的不等式m2x2+2mx-3＜0.? 【解题回顾】解此不等式时，由于m∈R，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因 为当m＝0时，原不等式化为-3＜0，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m＝0与m≠0两种 情况来讨论.?
在解出m2x2+2mx-3＝0的两根为x1＝-3/m，x2＝1/m后，认为-3/m＜1/m也是易出现的错误之处.这 时也应分情况来讨论：当m＞0时，-3/m＜1/m；当m＜0时，-3/m＞1/m.? 2.解下列不等式：? (1)(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)≤0；? (2)(x2+2x-2)/(3+2x-x2)＜x. 【解题回顾】题(1)是解高次不等式，一般解法为通过同解变形，使一边为0，另一边为一 次因式的积(x的系数为正)，然后用根轴法求解.如果出现重因式(x-a)n，n为奇数，该式可 视为(x-a)来求解.若n为偶数，则先将该式去掉，最后再讨论x＝a是否为原不等式的解.? 题(2)是解分式不等式，不可盲目去分母，一般解法是：移项，通分，分解因式后化为f(x)/g (x)＞0? f(x)·? g(x)＞0，用序轴标根法解，若f(x)/g(x)≥0，则f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0.3.已知两个命题：p：当x∈［1，+∞)时，函数f(x)=
(0＜a＜1)恒有意义；q:关于x的 不等式｜x2-2x-3｜≥(1-5/(m+1))的解集为实数集R；如果这两个命题中有且只有一个是真命题， 试求m的取值范围.? 【解题回顾】本题两个命题的设计均为恒成立问题,都可以转化为最值问题得到相关的不等 式，注意对两个命题进行讨论以满足条件，从而得到m的范围.? 4.解关于x的不等式(k(1-x))/(x-2) +1＜0(k≠1，且k≠0).?【解题回顾】本题是含参数的分式不等式的求解.首先要通分，变形成因式积的形式，再 由判断根的大小来确定讨论的标准与范围.延伸·拓展5.设二次函数f(x)＝x2+bx+c(b，c∈R)，已知不论α，β为何实数，恒有f(sin α)≥0，且 f(2+cos β)≤0.? (1)求证：b+c＝-1；(2)求c的取值范围；(3)若函数? f(sin α)的最大值为8，求b，c的值.? 【解题回顾】本题充分体现了二次函数与二次不等式的联系与转化，其解法“巧”在利用 条件的特殊状态求出f(1)＝0，“活”在二次函数向不等式的转化，“妙”在利用二次函数 单调性确定最大值的表达式，进而求出b，c.? 1?不能充分使用二次函数与二次不等式之间的关系.?
2?不能利用二次函数单调性，求给定区间上的二次函数的最值，致使建立错误的关系.同时 注意与前面小题中的结论相结合.误解分析第5节 不等式的解法要点·疑点·考点1.掌握无理不等式的解法.
解的过程注意两点：
(1)保证根式有意义；
(2)在利用平方去掉根号时，不等式两边要为非负值. 2.掌握绝对值不等式的解法.最简绝对值不等式分两类：
(1)|f(x)|≥a(a＞0)等价于f(x)≤-a或f(x)≥a；
(2)|f(x)|≤a(a＞0)等价于-a≤f(x)≤a. 3.掌握指数、对数不等式的基本解法——基本型(ax＞b，logax＞b)，同底型(af(x)＞ag(x)、logaf(x)＞logag(x))，或利用换元法或通过函数的单调性将其转化为代数不等式.转化过程中，应充分关注函数定义域，保证变形的同解性.在转化为不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及到最后几个不等式的解集是“交”还是“并”. 1.方程 的解集是( )
(A)(-1，0)∪(3，+∞) (B)(-∞，-1)∪(0，3)
(C)(-1，0]∪[3，+∞) (D)(-∞，-1)∪[0，3] 课 前 热 身C3.不等式 的解集为_____________ 2.x∈｛x｜g(x)≤f(x)≤h(x)｝是x∈｛x｜［f(x)-h(x)］［(f(x)-g(x))］≤0｝的( )?
(A)充分不必要条件? (B)必要不充分条件?
(C)充要条件? (D)既非充分也非必要条件?A? 4.关于x的不等式x3+13a2x＞5ax2+9a3的解集是
___________________
? 5.方程x2-3mx+m=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则m的取值范围是_________________.｛x｜x＞a｝?
｛m|1/2 ＜m＜4/5｝能力·思维·方法1.解不等式2.已知关于x的不等式(ax-5)/(x2-a)＜0的解集为M.? (1)当a=4时，求集合M；?
(2)若3∈M，且5?M.求实数a的取值范围.【解题回顾】 (1)解分式不等式常用序轴标根法，(2)3∈M，所以3是不等式的解，也即满 足不等式，5?M，所以5不是不等式的解，则5在M补集中，本题易把25-a=0丢掉.3.已知a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围. 【解题回顾】此题所用的构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法. 变题1 若不等式|x-4|+|x-3|＞a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围. 变题2 若不等式|x-4|-|x-3|＜a的解集在R上不是空集．求a的取值范围. 变题3 不等式|x-4|-|x-3|＞a在R上恒成立，求a的取值范围. 延伸·拓展【解题回顾】本题亦为含有参数的不等式，但不是常见的就参数的取值讨论不等式的解，而是就不等式成立这一结论，去研究参数的范围.两者各尽其妙，不可偏废.此外，通过本题，可培养学生研究问题的意识、方法与习惯，应予关注. 5.一位同学写了一个不等式：
(1)他发现当c＝1、2、3时不等式都成立，试问：不等式是否对任意的正数c都成立?为什么?
(2)对于已知的正数c，这位同学还发现，把不等式右边的
“ ”改成某些值，如-c，0等，不等式总是成立的，试求
出所有这些值的集合M. (1)直接作差，造成运算量较大，容易出现错误. 误解分析(2)在运用基本不等式时，不考虑等号是否取得.即不讨论c的取值范围，致使结果不全. 第6节 不等式的综合应用要点·疑点·考点1.近几年的高考试题中，不等式的应用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，涉及的深度、范围也在提高和增大，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性.既有一般的解不等式(组)和证明不等式的题，也有将其作为数学工具应用的试题. 2.本课时的重点是通过不等式应用的复习，提高综合运用各种数学知识的能力，以及通过建立不等式模型解应用题,提高分析问题和解决问题的能力.
不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着广泛的应用，主要表现在：
(1)求函数的定义域、值域；
(2)求函数的最值；
(3)讨论函数的单调性；
(4)研究方程的实根分布；
(5)求参数的取值范围；
(6)解决与不等式有关的应用题. 3.用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不等式表示的模型，再求出极值. 课 前 热 身1.如果函数y＝log(1/3)(x2-2ax+a+2)的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是__________. -1＜a＜2B3.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4＝0有解，则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞，-8]∪[0，+∞) (B)(-∞，-4)
(C)[-8，4) (D)(-∞ ，-8] D4. 设a，b，c∈R，ab＝2且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值为______. 45.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，对于a、b、c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＞0.其中正确结论的序号是__________③、⑤能力·思维·方法1.已知实数α，β，γ满足α+β+γ＞0，αβ+βγ+γα＞0，αβγ＞0，证明α，β， γ都大于0.【解题回顾】 (1)等比数列的前n项求和公式的运用时注意公比q的讨论.? (2)第2小题是从Tn中变形出Sn，利用(1)中Sn＞0可简化运算，再转化为求函数的最值问题. ?3.若抛物线c：y＝ax2-1上总存在关于直线l：x+y＝0对称的两点，试求实数a的取值范围. ?
【解题分析】求a的取值范围，关键是设法导出a的不等式.可考虑由判别式导出不等式.2.已知等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＞-1，且q≠1，前n项和为Sn；在数列{bn}中，bn＝an+1-kan+2，前n项和为Tn.
(1)求证：Sn＞0；
(2)证明若Tn＞kSn对一切正整数n成立，则k≤-1/2. 【解题回顾】(1)等比数列的前n项求和公式的运用时注意公比q的讨论.
(2)第2小题是从Tn中变形出Sn，利用(1)中Sn＞0可简化运算，再转化为求函数的最值问题. 3. 若抛物线c：y＝ax2-1上总存在关于直线l：x+y＝0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围. 【解题回顾】上面的解法是由判别式导出a的不等式的，本题还可以由均值不等式或由点与曲线的位置关系导出a的不等式. 【解题回顾】(1)本小题是利用x+1/x与x2+1/x2，x4+1/x4之间的关系用配凑法求得.
(2)通过换元，利用一元二次方程的实根分布知识求解.
(3)把恒成立问题转化为求函数的最值，本题利用函数的单调性求最大值. 4.设x＝logst+logts，y＝logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s)，其中，s＞1，t＞1，m∈R.
(1)将y表示成x的函数y＝f(x)，并求f(x)的定义域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0，有且仅有一个实数根，求m的取值范围；
(3)若f(x)＞0恒成立，求m的取值范围. 延伸·拓展【解题回顾】本题是函数与不等式的综合题，对于(3)是已知两参数a、x的范围，求另一参数m的范围.此类题的做法是先消去一参x，后求m范围. 5.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且 f(1)＝1，若
a，b∈[-1，1]，a+b≠0有
(1)判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
(2)解不等式
(3)若f(x)≤m2-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 误解分析 不等式问题大多需要“等价转化”，而能否确保转化“等价”是解题成败的关键.