人教A版（2019）必修二 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
高一数学组
第八章 立体几何初步
引 入
用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关．
为此，我们引入几何体表面积相关概念．
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小．
在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题.
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
高一数学组
第八章 立体几何初步
探究新知
问题1在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的样子吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
问题1展开图面积与其表面积有什么关系？
1. 多面体的展开图和表面积
转化思想
探究新知
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
也就是说求多面体的表面积关键在于知道展开图是怎么样的！
棱锥
棱台
棱柱
例题讲解
例1 如图，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积.
解：∵ PBC是正三角形，其边长为a，
∴四面体P-ABC的表面积 .
∴
O
D
h’
h
变式 1.正三棱锥的底面边长为a，高为 ，求它的侧面积.
例题讲解
变式 2.一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面边长为6，
求它的表面积．
84
O
D
h’
h
变式 3.一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，高为3，求它的表面积．
l
a
问题3 PADO是什么空间几何体？
每个面的形状是什么？
a, l, h, h’关系如何？
例题讲解
变式 正四棱台两底面边长分别为6cm和10cm，高为12cm.求其侧面积.
例2 四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面是全等的等腰梯形高是12cm，求它的表面积？
520cm2
空间图形表面积
平面展开图面积
转化思想
取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
∴EE1＝13 cm.
解：如图所示，正四棱台A1B1C1D1-ABCD中A1B1＝6 cm，AB＝10 cm，
cm2
探究新知
2. 多面体的体积
V长方体=abc
或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高)
(a,b,c分别为长方体长、宽、高)
问题4 某长方体纸盒的长、宽、高分别为4cm，3cm，3cm，整个长方体的体积是_____.
36cm3
追问 还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？
探究新知
①棱柱的体积公式
V棱柱=Sh
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.
问题5 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，
探究新知
观察改变前后的体积是否发生变化？
探究新知
祖暅[gèng]原理
课本P 121-122
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.
祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲只到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598年--1647年）提出上述结论.
（429年~500年）
“幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
探究新知
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系：
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
探究新知
②棱锥的体积公式
一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以求点到面的距离.
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
——等体积法
探究新知
③棱台的体积公式
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
(S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高)
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
问题6 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
探究新知
几何体 柱体 台体 锥体
直 观 图
体 积
S’=S
上底扩大
S’=0
上底缩小
例题讲解
例3 如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
P
解：
如右下图，由题意知
V棱锥P-ABCD =
×1×1×0.5=
(m3)
所以这个漏斗的容积
V长方体ABCD-A'B'C'D' =1×1×0.5= (m3)，
V= + =
(m3)
课堂练习
1.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为_____.
课堂练习
2.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为 ,则该正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
D
所以棱锥的体积为： .
解：正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为 ，底面对角线长为 .
所以棱锥的高为： .
课堂练习
3.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2 = .
解：设三棱柱ABC-A1B1C1底面积为S，高为h，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为S·h.
则
所以，
故V1:V2 =
A1
A
B
C
E
B1
C1
F
所以，
例题讲解
例4 四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面面积为448 cm2，求它的体积？
取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∴EE1＝14 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
解：如图所示，正四棱台A1B1C1D1-ABCD中A1B1＝6 cm，AB＝10 cm，
例题讲解
1.等积变换法
如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积.
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
课堂练习
2.分割法
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
课堂小结
1.知识点：
(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.
(3)组合体的表面积与体积.
2.方 法：等积法、割补法.
3.易错点：平面图形与立体图形的切换不清楚.
课堂小结
1. 求几何体的表面积
通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．
2. 求几何体体积的常用方法