不等式证明[上学期]

课件17张PPT。不等式的证明复习回顾
双向沟通
练习
总结
数学组
马迪证明不等式的主要依据 1 a-b>0 a>b,a-b<0 a0,b>0) (4) ≤ ≤ ≤ (a,b∈R,且a>0,b>0) (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac
不等式的证明方法主要有：比较法
综合法
分析法
反证法、换元法、
放缩法
判别式法、
构造法典例分析例1 、 已知：a, b ∈R
求证： a2 +b2 +ab+1>a + b证法一:
2(a2+b2+ab+1)-2(a+b)
=a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1
=(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2 >0.
∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法二: a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
把a作变元 ,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1)
=-3b2+2b-3
=-3(b- )2-
< 0.∴a2+b2+ab+1﹥a+b.证法三：
a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
=(a+ )2+ (b- )2+
>0.∴a2+b2+ab+1﹥a+b.例2、已知a,b,c,d都是实数，且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:∣ac+bd∣≤1
huanzongbifen 证法1:（换元法）
a2+b2=1,c2+d2=1.
可设a=cosα,b=sinα,
c=cosβ,d=sinβ,
∣ac+bd∣=|cosαcosβ+
sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1. 证法2:(综合法)
∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤ + = =1 证法3:(比较法)显然有∣ac+bd∣≤1 -1≤ac+bd≤1.先证ac+bd≥-1,∵ac+bd+1=ac+bd+ +=ac+bd+ + = ≥0,∴ac+bd≥-1.再证ac +bd ≤ 1,∵1-(ac+bd)= + -(ac+bd) = + -ac-bd = ≥0,∴ ac+bd ≤ 1.综上得∣ac+bd∣≤1证法4（分析法）要证∣ac+bd ∣≤ 1 , 只需证(ac+bd)2 ≤ 1 .即只要证 a2c2+2abcd+b2d2 ≤ 1 .由于a2+b2=1 , c2+d2=1,因此上式等价于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2 )(c2+d2) 即证 (ad-bc)2≥0,而(ad-bc)2≥0显然成立.故∣ac+bd ∣≤ 1 .练习 1、已知a>b>c, 求证： + 2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0, 求证： + >x+y+z.+> 3、已知x>0,求证： 总结 (1)不等式的方法是多种多样的，要根据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的变形，然后再与熟知或证明过的不等式进行联想、类比，从而选择最佳证法。