(共15张PPT)
3.2.2
双曲线的简单几何性质
定义 图象
方程
焦点
a.b.c 的关系 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F1 (-c, 0) ，F2 (c, 0)
复习引入
类比椭圆几何性质的研究方法
双曲线几何性质包括哪些呢？
双曲线的定义
F1(0, -c)，F2(0, c)
2、对称性
一、研究双曲线 的简单几何性质
1、范围
关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
原点是对称中心,又叫做双曲线的中心。
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
学习新知
观察双曲线，发现双曲线上点的横坐标的范围是
说明双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域。
焦点在x轴上：
焦点在y轴上：
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x
y
o
-b
b
-a
a
(2)线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,
a叫做双曲线的实半轴长；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,
b叫做双曲线的虚半轴长。
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线
学习新知
焦点在x轴上时，顶点是A1(-a,0),A2(a,0);
焦点在y轴上时，顶点是A1(0,-a),A2(0,a).
4、渐近线
x
y
o
a
b
学习新知
利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
双曲线 的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近 ， 这两条直线称为双曲线的渐近线．
双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
它们互相垂直。
焦点在x轴上时，渐近线为y=x
焦点在y轴上时，渐近线为y=x
-a
5、离心率
离心率。
c>a>0
e >1
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小。
（1）定义：
（2）e的范围：
（3）
（4）等轴双曲线的离心率e=
学习新知
什么几何性质？
离心率越大，双曲线的开口越大；离心率越小，双曲线的开口越小
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
关于x轴、y轴、原点对称
渐近线
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
x
B1
y
O
.
F2
F1
B2
A1
A2
.
F1(-c,0)
F2(c,0)
F2(0,c)
F1(0,-c)
知识小结
双曲线的简单几何性质
例1 :求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程:
例题讲解
1．求下列双曲线的实轴和虚轴长、顶点和焦点的坐标以及离心率：
(1) (2)
(3) (4)
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为8，离心率为 ；
(2)离心率 ，经过点 ；
(3)渐近线方程为 ，且经过点A(2，－3)．
解：(1)由于不确定焦点位置，
设双曲线的标准方程为 或 .
由题意知 ， ，且 ，
∴ ， ， ，
∴标准方程为 或 .
(2) 由题意知 ，且 ，
∴ .
①若焦点在x 轴上，设标准方程为 .
代入点 ，解得
②若焦点在y 轴上，设标准方程为 .
代入点 ，解得 ，故舍
综上：双曲线标准方程为 .
(3) 由双曲线的渐近线方程为
∴可设双曲线方程为
又∵点 在双曲线上，
代入可得 ，解得 ，
∴双曲线标准方程为 .
这一节，我们学了双曲线的哪些简单几何性质？
课堂小结
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
关于x轴、y轴、原点对称
渐近线
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
x
B1
y
O
.
F2
F1
B2
A1
A2
.
F1(-c,0)
F2(c,0)
F2(0,c)
F1(0,-c)
课堂小结(共13张PPT)
双曲线的简单几何性质(二)
关于x轴、y轴、原点对称
A1(-a,0)，A2(a,0)
A1(0,-a)，A2(0,a)
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
渐进线
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
x
B1
y
O
.
F2
F1
B2
A1
A2
.
F1(-c,0)
F2(c,0)
F2(0,c)
F1(0,-c)
复习巩固
例析
例4.双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图1).它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到).
l
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，.
例题讲解
例析
设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为.
因为直径是实轴，所以.又两点都在双曲线上，所以
由方程，得(负值舍去).
代入方程，得.
化简得，. ③
解方程③，得(负值舍去).
因此所求双曲线的方程为.
例题讲解
例析
例5.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.
l
解：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合
由此得.将上式两边平方，并化简，得，
即.
所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为的双曲线.
例题讲解
例3、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离和它到定直
线 ： 的距离的比是常数 , 求点M的轨迹.
y
0
d
例题讲解
x
y
.
.
F
O
M
.
复习回顾（椭圆）
例6.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.
l
解：如图，设是点到直线的距离，根据题意，
动点的轨迹就是集合.
由此得.将左右两边同时平方，并化简，得，
即.
所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为的椭圆.
例析
思考1.将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？
l
[椭圆、双曲线的第二定义]
动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，即.
当时，点的轨迹为椭圆；
当时，点的轨迹为双曲线.
l
例题分析
位置关系与交点个数
X
Y
O
X
Y
O
相离:0个交点
相交:一个交点
相交:两个交点
相切:一个交点
直线与双曲线问题：
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
学习新知
一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支
例2、 过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
弦长公式：
或
例题讲评
解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为
F1
F2
x
y
O
·
·
例题讲评
这节课你学到了什么？
课堂小结
