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5.1.1变化率问题
5.1.2导数的概念及其几何意义
（2）
选择性必修 第二册 第五章 一元函数的导数及其应用
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率.
3. 平均变化率：
4. 瞬时变化率：
复习引入
那么，导数的几何意义是什么？
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P
P0
观察 如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势
T
我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线.
探究新知
P0
P
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0,即Δx→0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
1.切线的定义
探究 我们知道，斜率是确定直线的一个要素. 如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0呢
由切线定义可知，抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系. 记 x＝x－1 ，则点P的坐标是(1+ x, (1+ x)2)，于是，割线P0P的斜率为
注： x可以是正值，也可以是负值，但不为0.
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P
P0
T
x <0 x >0 x x
通过观察可得，当 x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.
我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔| x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：
事实上，由 可以发现，当 x在无限趋近于0时，
无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为
切线的斜率：
也就是说，当点P无限靠近点P0，即 x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T，因此切线P0T的斜率为
新知讲解
1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率.
课本P64
新知运用
2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程.
课本P64
平均变化率 表示割线P0P的斜率
再探新知
2.导数的几何意义
这就是导数的几何意义
例 题
例 题
例 题
例 题
x
y
1
2
O
3
A
3.导函数的概念
这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.
(2)导函数 是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导数.
(3)函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数
在x=x0处的函数值,即 .
课堂小结
