(共20张PPT)
5.1导数的概念及其意义(1)
选择性必修 第二册 第五章 一元函数的导数及其应用
在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
1.平均速度
探究新知
请计算：
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．
2.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
如何求物体在t=1s的瞬时速度呢？
Δt<0 Δt>0
-0.01 -4.951 0.01 -5.049
-0.001 -4.9951 0.001 -5.0049
-0.0001 -4.99951 0.0001 -5.00049
-0.00001 -4.999951 0.00001 -5.000049
-0.000001 -4.9999951 0.000001 -5.0000049
思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度；
(2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度
平均速度与瞬时速度的关系：
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值．
归纳总结
1. 求问题1中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度.
课本P61
新知运用
2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求：
(1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；
(2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度.
课本P61
3. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度.
课本P62
平均速度的抽象意义
新知讲解
3.函数的平均变化率
新知讲解
4.导数（瞬时变化率）
例1.
解:
新知运用
例2. 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 时,原
油的温度(单位:℃)为:
计算第2 h和第6 h,原油温度的瞬时变化率,并说明
它们的意义.
解:
例3.
解:
小结：
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率.
3. 平均变化率：
4. 瞬时变化率：(共18张PPT)
5.1.1变化率问题
5.1.2导数的概念及其几何意义
（2）
选择性必修 第二册 第五章 一元函数的导数及其应用
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率.
3. 平均变化率：
4. 瞬时变化率：
复习引入
那么，导数的几何意义是什么？
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P
P0
观察 如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势
T
我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线.
探究新知
P0
P
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
1.切线的定义
探究 我们知道，斜率是确定直线的一个要素. 如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0呢
由切线定义可知，抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系. 记 x＝x－1 ，则点P的坐标是(1+ x, (1+ x)2)，于是，割线P0P的斜率为
注： x可以是正值，也可以是负值，但不为0.
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P
P0
T
x <0 x >0 x x
通过观察可得，当 x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.
我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔| x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：
事实上，由 可以发现，当 x在无限趋近于0时，
无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为
切线的斜率：
也就是说，当点P无限靠近点P0，即 x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0，因此切线P0T的斜率为
新知讲解
再探新知
表示割线P0P的斜率
表示曲线y=f(x)在点P0处的切线P0T的斜率
2.导数的几何意义
这就是导数的几何意义
例 题
例 题
例 题
例 题
3.导函数的概念
这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.
(2)导函数 是指某一区间内任意的x而言的,就是函数f(x)的导数.
(3)函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数
在x=x0处的函数值,即 .
1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率.
课本P64
巩固练习
解：在点P0(x0,x02)的附近任取一点P(x,x2),当点P无限超近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T,这个确定位置P0T称为抛物线f(x)=x2在点(x0,x02)处的切线.
抛物线f(x)=x2在点(-1，1)处的切线的斜率为
2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程.
课本P64
课堂小结
