6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件（共40张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件（共40张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 38.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-10 10:22:23 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
第六章 计数原理
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口市联合举行，这是体坛的一大盛事，一名志愿者从成都赴北京为奥运会服务，从成都到北京每天有3个航班，2列火车．该志愿者从成都到北京的方案可以分为几类？在这几类中各有几种方法？该志愿者从成都到北京共有多少种不同的方法？
【情境思考】
成都
北京
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.
探究点1 分类加法计数原理
【探究导学】
思考1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
提示：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
思考2：你能说说这个问题的特征吗？
上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
N= m+n
种不同的方法.
两类不同方案中的方法互不相同
例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.
解 这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择 方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数
N=5+4=9.
思考3：如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
分类加法计数原理：
完成一件事,如果有n类方案,且:第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
N＝m1＋m2＋m3
如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，
那么应该如何计数呢？
【归纳总结】思考4：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1， A2，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
探究点2 分步乘法计数原理
方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.
解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来
思考5：你能说说这个问题的特征吗？
上述计数过程的基本环节是：
（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；
（2）分别计算各步号码的个数；
（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.
⑵首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数..
注意：⑴各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理.
例2 某班有男生30名，女生24名。从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解 第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；
第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；
根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法.
分析 要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生.
思考6：如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法
如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢
分步乘法计数原理一般结论：
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
N＝m1×m2×m3
例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法
解（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；
（2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24.
【归纳总结】
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
分析 要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成。
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；
第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N=3×2=6.
例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后两个字符要求用数字1~9,最多可以给多少个程序模块命名？
分析 要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：
第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，而首字符又可以分为两类，
解 由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.
后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053,
即最多可以给1053个程序模块命名.
例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。
(1)1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
分析 (1)要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”，由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符因此可以用分步乘法计数原理求解；
(2)只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可
解 (1)用上图表示1个字节. 1个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.
(2)由(1)知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.
前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.
根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256×256=65536
这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.
因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.
例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线）,以便知道需要提供多少个测试数据。一般地，一个程序模块由
许多子模块组成。如图是一个具有许多执行
路径的程序模块，它有多少条执行路径？
另外，为了减少测试时间，程序员需要
设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一
个测试方法，以减少测试次数吗？
分析 整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束，而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成，因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.
解 由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91;子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3×2=6.
如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常，这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178.
显然，178与7371的差距是非常大的
例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.
其中，序号的编码规则为：
(1)由10个阿拉伯数字和除O,1之外的24个英文字母组成；
(2)最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
分析 由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数，按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母，以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类。
解 由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.
(1)当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000.
(2)当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类。当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：
第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×10×10×10×10=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.
(3)当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为 24×24×10×10×10=576000.
同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为576000×10=5760000.
综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.
分类计数原理 分步计数原理
区别1
区别2
区别3
完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”
每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较
【课堂小结】
分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.
完成了所有步骤 ,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独 立 .分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步方法数相乘,得到总数.
两大原理妙无穷, 茫茫数理此中求;
万万千千说不尽, 运用解题任驰骋。
2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧
C【随堂训练】B50
第六章 计数原理
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口市联合举行，这是体坛的一大盛事，一名志愿者从成都赴北京为奥运会服务，从成都到北京每天有3个航班，2列火车．该志愿者从成都到北京的方案可以分为几类？在这几类中各有几种方法？该志愿者从成都到北京共有多少种不同的方法？
【情境思考】
成都
北京
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.
探究点1 分类加法计数原理
【探究导学】
思考1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
提示：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
思考2：你能说说这个问题的特征吗？
上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
N= m+n
种不同的方法.
两类不同方案中的方法互不相同
例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.
解 这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择 方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数
N=5+4=9.
思考3：如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
分类加法计数原理：
完成一件事,如果有n类方案,且:第一类方案中有m1种不同的方法,第二类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
N＝m1＋m2＋m3
如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，
那么应该如何计数呢？
【归纳总结】思考4：用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1， A2，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
探究点2 分步乘法计数原理
方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.
解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来
思考5：你能说说这个问题的特征吗？
上述计数过程的基本环节是：
（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；
（2）分别计算各步号码的个数；
（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.
⑵首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数..
注意：⑴各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理.
例2 某班有男生30名，女生24名。从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
解 第1步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；
第2步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；
根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法.
分析 要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生.
思考6：如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法
如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢
分步乘法计数原理一般结论：
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
N＝m1×m2×m3
例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法
解（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；
（2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24.
【归纳总结】
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
分析 要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成。
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；
第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为N=3×2=6.
例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后两个字符要求用数字1~9,最多可以给多少个程序模块命名？
分析 要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：
第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，而首字符又可以分为两类，
解 由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7+6=13.
后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9=1053,
即最多可以给1053个程序模块命名.
例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态，因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。
(1)1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
分析 (1)要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”，由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符因此可以用分步乘法计数原理求解；
(2)只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可
解 (1)用上图表示1个字节. 1个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.
(2)由(1)知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符.
前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法.
根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是256×256=65536
这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.
因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示.
例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线）,以便知道需要提供多少个测试数据。一般地，一个程序模块由
许多子模块组成。如图是一个具有许多执行
路径的程序模块，它有多少条执行路径？
另外，为了减少测试时间，程序员需要
设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一
个测试方法，以减少测试次数吗？
分析 整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束，而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成，因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理.
解 由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91;子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3×2=6.
如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常，这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178.
显然，178与7371的差距是非常大的
例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.
其中，序号的编码规则为：
(1)由10个阿拉伯数字和除O,1之外的24个英文字母组成；
(2)最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
分析 由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数，按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母，以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为十个子类。
解 由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母.
(1)当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000.
(2)当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类。当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：
第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×10×10×10×10=240000.同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.
(3)当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1,2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为 24×24×10×10×10=576000.
同样，其余九个子类号牌也各有576000张.于是，这类号牌张数一共为576000×10=5760000.
综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.
分类计数原理 分步计数原理
区别1
区别2
区别3
完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”
每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较
【课堂小结】
分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.
完成了所有步骤 ,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独 立 .分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步方法数相乘,得到总数.
两大原理妙无穷, 茫茫数理此中求;
万万千千说不尽, 运用解题任驰骋。
2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧
C【随堂训练】B50