2022届芜湖市（九年级）初三下学期开学摸底考试卷【含答案】

2022 届初三下学期开学摸底考试卷
数学
(满分 150 分)
一、选择题(本大题共 10小题,每小题 4分,共 40分。)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1．对于任何有理数 a，下列各式中一定为负数的是（ ）．
A． ( 3 a) B． a C． a 1 D． a 1
2． (xn 1)2 (x2 )n 1 ( )
A． x4n B． x4n＋3 C． x4n＋1 D． x4n－1
3．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．习近平总书记提出了未来五年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约 11700000人，
将数据 11700000用科学记数法表示为（ ）
A．1.17×107 B．11.7×106 C．0.117×107 D．1.17×108
5．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194 .现用
一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高
（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
6．如图，函数 y=2x和 y=ax+4的图象相交于 A(m，3),则不等式 2x< ax+4的解集为（ ）
A x > 3． B． x > 3 C． x < 3 D． x < 3
2 2
7．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 tan∠BAC的值为
（ ）
A 1． 2 B．1 C
3
． D． 3
3
8．关于二次函数 y 2x2 4x 1，下列说法正确的是（ ）
A．图像与 y轴的交点坐标为 0,1 B．图像的对称轴在 y轴的右侧
C．当 x 0时， y的值随 x值的增大而减小 D． y的最小值为-3
9．已知⊙O的直径 CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且 AB⊥CD，垂足为M，则 AC
的长为（ ）
A．2 5 cm B．4 5 cm C．2 5 cm或 4 5 cm D．2 3 cm或 4 3 cm
10．如图， ABC中， ACB 90 ， A 30 ，AB 16，点 P是斜边 AB上任意一点，
过点 P作PQ AB，垂足为 P，交边AC(或边CB)于点 Q，设AP x， APQ的面积为 y，
则 y与 x之间的函数图象大致是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,20分）
a2 1 1 a211．若 a、b为实数，且 b＝ +4，则 a+b＝_____．
a 7
12．因式分解： x﹣3 2x2 y xy2 __________．
3
13．如图，直线 y=x+m与双曲线 y= 相交于 A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC
x
面积的最小值为_____．
14．在直线 l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是
a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3＋S4＝_____．
三、解答题(本大题共 7 小题,15-18 题各 8 分，19-20 题各 10 分，21-22 题 12 分，23 题 14
分, 共 90分）
2x 1 3x 2
15．求不等式 ≤ +1的非负整数解．
3 5
16．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是 A（1，1），B（4，1），
C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移 5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点 O逆时针旋转 90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以 O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
17．计算并观察、探究下列式子
① (x 1)(x 1) _____
② (x 1)(x2 x 1) ______
③ (x 1)(x3 x 2 x 1) x 4 1
④ (x 1)(x4 x3 x2 x 1) x5 1
⑤ (x 1)(x5 x4 x3 x2 x 1) x6 1
…
由以上规律
（1）填空： (x 1)(xn xn 1 x 1)=_______________．
（2）求： 22016 22015 22014 +22 2 1的值．
18．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 B处的求救者后，
又发现点 B正上方点 C处还有一名求救者.在消防车上点 A处测得点 B和点 C的仰角分别
是 45°和 65°，点 A距地面 2.5米，点 B距地面 10.5米.为救出点 C处的求救者，云梯需要
继续上升的高度 BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：
tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4, 2 ≈1.4）
19．已知：用 3辆 A型车和 2辆 B型车载满货物一次可运货 17吨；用 2辆 A型车和 3辆 B
型车载满货物一次可运货 l8吨，某物流公刊现有 35吨货物，计划同时租用 A型车 a辆，B
型车 b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)l辆 A型车和 l辆 B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若 A型车每辆需租金 200元／次，B型车每辆需租金 240元／次，请选出最省钱的租车
方案，并求出最少租车费．
20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点 D，DE⊥BC
于点 E．
（1）试判断 DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点 D作 DF⊥AB于点 F，若 BE=3 3，DF=3，求图中阴影部分的面积．
21．学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读
的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生
借阅图书的次数统计表
借阅图
4次及
书的次 0次 1次 2次 3次
以上
数
人数 7 13 a 10 3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
1 a ______，b ______．
2 该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
3 请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
4 若该校共有 2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”
的人数．
3 k
22．如图，直线 y1=﹣x+4，y2= x+b都与双曲线 y= 交于点 A（1，m），这两条直线分别与4 x
x轴交于 B，C两点．
（1）求 y与 x之间的函数关系式；
3 k
（2）直接写出当 x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集；
4 x
（3）若点 P在 x轴上，连接 AP把△ABC的面积分成 1：3两部分，求此时点 P的坐标．
23．如图（1），已知点 G在正方形 ABCD的对角线 AC上，GE⊥BC，垂足为点 E，GF⊥CD，
垂足为点 F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形 CEGF 是正方形；
AG
②推断： 的值为 ：
BE
（2）探究与证明：
将正方形 CEGF绕点 C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段 AG
与 BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG
交 AD于点 H．若 AG=6，GH=2 2，则 BC= ．
2022 届初三下学期开学摸底考试卷
数学 参考答案
(满分 150 分)
二、选择题(本大题共 10小题,每小题 4分,共 40分。)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A D A A C B D C D
二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,20分）
11． 【答案】5或 3
12 2． 【答案】 x x y
13． 【答案】6
14． 【答案】a+c
三、解答题(本大题共 7 小题,17-18 题各 8 分，19-20 题各 10 分，21-22 题 12 分，23 题 14
分, 共 90分）
15． 【答案】不等式的非负整数解为 0、1、2、3、4．
【详解】
去分母得：5（2x+1）≤3（3x-2）+15，
去括号得：10x+5≤9x-6+15，
移项得：10x-9x≤-5-6+15，
合并同类项得 x≤4，
∴不等式的非负整数解为 0、1、2、3、4．
16．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1= 42 12 17，
A1B= 52 32 = 34，
即 OB2+OA12=A1B2，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
17． 【答案】① x2 1；② x3 1；
（1） xn 1 1
（2）22017－1
【详解】
（1） ；
（2）（ 22016 22015 22014 +22 2 1）
＝（2－1） （22016 22015 22014 +22 2 1）
＝22017－1．
18．【答案】云梯需要继续上升的高度 BC约为 9米.
【详解】
过点A作 AM EF 于点M ， AD BC于点D，
∵CN EF ，
∴ AMN MND ADN 90 ，
∴四边形 AMND为矩形.
∴DN AM 2.5米.
∴ BD BN DN 10.5 2.5 8（米），
由题意可知， BAD 45 ， CAD 65 ，
∵ AD BC，
∴ ADB 90 ，
在 Rt ABD中， tan BAD
BD
，
AD
AD BD 8∴ 8（米）.
tan BAD tan45
CD
在 Rt ACD中， tan CAD ，
AD
∴CD AD tan CAD 8tan65 8 2.1 16.8（米）.
∴ BC CD BD 16.8 8 8.8 9（米）.
答：云梯需要继续上升的高度 BC约为 9米.
19． 【答案】(1) A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货 3吨、4吨;(2) 最省钱的租
车方案是方案一：A型车 8辆，B型车 2辆，最少租车费为 2080元.
【详解】
解：（1）设每辆 A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货 x吨、y吨，
3x 2y 17
依题意列方程组为：
2x 3y 18
x 3
解得
y 4
答：1辆 A型车辆装满货物一次可运 3吨，1辆 B型车装满货物一次可运 4吨.
（2）结合题意，和（1）可得 3a+4b=35
35 4b
∴a=
3
∵a、b都是整数
a 9 a 5 a 1
∴ 或 或
b 2
b 5 b 8
答：有 3种租车方案：
方案一：A型车 9辆，B型车 2辆；
方案二：A型车 5辆，B型车 5辆；
方案三：A型车 1辆，B型车 8辆．
（3）∵A型车每辆需租金 200元/次，B型车每辆需租金 240元/次，
∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）
方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）
方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）
∵2280＞2200＞2120
∴最省钱的租车方案是方案一：A型车 1辆，B型车 8辆，最少租车费为 2120元.
20．【答案】（1）DE与⊙O 3 3相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为 2π﹣ ．
2
【详解】
（1）DE与⊙O相切，
理由：连接 DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点 D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点 D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3 3，
∴BD= 32+（3 3）2 =6，
3 1
∵sin∠DBF= = ，
6 2
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°= DF 3 3 ，
DO DO 2
∴DO=2 3，
则 FO= 3，
60 (2 3)2 1 3 3
故图中阴影部分的面积为： 3 3 2 ．
360 2 2
21．【答案】 1 17、20； 2 2次、2次； 3 72 ； 4 120人．
【详解】
1 被调查的总人数为13 26% 50人，
a 50 7 13 10 3 17， b% 10 100% 20%，即 b 20，
50
故答案为 17、20；
2 由于共有 50个数据，其中位数为第 25、26个数据的平均数，
而第 25、26个数据均为 2次，
所以中位数为 2次，
出现次数最多的是 2次，
所以众数为 2次，
故答案为 2次、2次；
3 扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360 20% 72 ；
4 3估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为 2000 120人．
50
5 9
22 3．【答案】（1） y ；（2）x＞1；（3）P（﹣ ，0）或（ ，0）
x 4 4
【详解】
（1）把 A（1，m）代入 y1=﹣x+4，可得 m=﹣1+4=3，
∴A（1，3），
k
把 A（1，3）代入双曲线 y= ，可得 k=1×3=3，
x
3
∴y与 x之间的函数关系式为：y= ；
x
（2）∵A（1，3），
3 k
∴当 x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集为：x＞1；
4 x
（3）y1=﹣x+4，令 y=0，则 x=4，
∴点 B的坐标为（4，0），
3 3
把 A（1，3）代入 y2= x+b，可得 3= +b，4 4
9
∴b= ，
4
3 9
∴y2= x+ ，4 4
令 y2=0，则 x=﹣3，即 C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成 1：3两部分，
1 7 1 7
∴CP= BC= ，或 BP= BC=
4 4 4 4
7 5 7 9
∴OP=3﹣ = ，或 OP=4﹣ = ，
4 4 4 4
5 9
∴P（﹣ ，0）或（ ，0）．
4 4
23．【答案】（1）①四边形 CEGF 是正方形；② 2；（2）线段 AG与 BE之间的数量关系为
AG= 2 BE；（3）3 5
【详解】
（1）①∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形 CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形 CEGF是正方形；
②由①知四边形 CEGF 是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
CG
∴ 2 ，GE∥AB，
CE
AG CG
∴ 2，
BE CE
故答案为 2；
（2）连接 CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在 Rt△CEG和 Rt△CBA中，
CE 2 CB= 2、 = ，
CG 2 CA 2
CG CA
∴ = 2，
CE CB
∴△ACG∽△BCE，
AG CA
∴ 2，
BE CB
∴线段 AG与 BE之间的数量关系为 AG= 2 BE；
（3）∵∠CEF=45°，点 B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
AG GH AH
∴ ，
AC AH CH
设 BC=CD=AD=a，则 AC= 2 a，
AG GH
6 2 2则由 得 ，
AC AH 2a AH
2
∴AH= a，
3
1
则 DH=AD﹣AH= a，CH= CD2
10
3 DH
2 = a，
3
2 a
AG AH 6
∴由
3
得
AC CH 2a 10
，
a
3
解得：a=3 5，即 BC=3 5，
故答案为 3 5．