山东省济宁市梁山一中2013-2014学年高二下学期期中考试 数学理

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梁山一中2013—2014学年高二下学期期中检测
数学（理）
一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分；每小题给出选项中，有且只有一项是正确的)
1．设是虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
2.用数学归纳法证明“时，从 “到”时，左边应增添的式子是 （ ）
A. B. C. D.
3．若，则“”是“”的 （ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
4．已知的单调递增区间是 （ ）
A. B. C. D.
5．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6．已知函数是定义在区间-2，2上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围 （ ）
A. B. 1，2 C. D.
7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0 B．a＜1 C．a＜0 D．a≤1
8.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)
A. B. C. D.
9.下列命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，ex≤0
B． x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
10．下列函数求导运算正确的个数为(　　)
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.21cnjy.com
A．1 B．2 C．3 D．4
11．①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；21·cn·jy·com
②在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想an＝2n－2；
③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；www.21-cn-jy.com
上述三个推理中，正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为(　　)
A． B． C． D．
二．填空题（本题4个小题，共20分）
13．（1）若函数，且当且时，猜想的表达式　　　　　　　　　　　．
　 （2）用反证法证明命题＂若能被３整除，那么中至少有一个能被３整除＂时，假设应为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
14．已知定义域为Ｒ的奇函数的导函数为，当时，若，，，则的大小关系是　　 　　　．
15．已知若的定义域和值域都是，则 ．
16．下列命题中：（1）若满足，满足，则；
（2）函数且的图象恒过定点Ａ，若Ａ在 上，其中则的最小值是； （3）设是定义在Ｒ上，以１为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为； （4）已知曲线与直线仅有２个交点，则； （5）函数图象的对称中心为（2，1）。
其中真命题序号为 ．
三.解答题（本题6个小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈[－，]，求f(x)的值域和单调递增区间．
18.（本小题满分12分）
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，
要求版心面积为128dm2 ，上、下两边各空2dm，
左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能
使四周空白面积最小？
19．（本小题满分12分）
已知函数其中在中，分别是角的对边，且．
（1）求角Ａ；
（2）若，，求的面积．
20．（本小题满分12分）
（1）已知函数,过点Ｐ的直线与曲线相切，求的方程；
　 （2）设，当时，在１,４上的最小值为，求在该区间上的最大值．
21．（本小题满分12分）
设函数
（1）已知在区间上单调递减，求的取值范围；
（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值．
22.（本小题满分12分）
已知函数
若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使，
求实数a的取值范围？
参考答案:
1-5 CCADB 6-10 AACDB 11-12 CC
13.（1）；（2）假设都不能被3整除； 14.； 15.5； 16.（2），（3），（5）。21世纪教育网版权所有
17.(1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2x)－2sinxcosx
＝－cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋)，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈[－，]，∴－≤2x＋≤π，
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴f(x)的值域为[－2，]．
当y＝sin(2x＋)递减时，f(x)递增，
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[－，]，∴≤x≤.
故f(x)的单调递增区间为[，]．
18.解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm，
此时四周空白面积为
求导数得：
令，解得x=16,x=-16(舍去)
于是宽为
当时，；当时，
因此，x＝16是函数的极小值点，也是最小值点。
所以当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
19．解：（1）
=
=
因为 ， 所以 2 即或，
也即（舍）或。
（2）由余弦定理得，整理得分
联立方程 解得 或。
所以 。
20．解：（1）设切点为（，切线的斜率，
则切线的方程为：
因为过点P（1，，所以 ，
解得 或
故L的方程为 或 ，
即 或 。
（2）令 得，，
故在上递减，在上递增，在上递减。
当时，有，所以在上的最大值为
又，即。
所以在上的最小值为，得
故在1，4上的最大值为
21．（1）由题意得所以
（2）显然，对称轴
讨论：（1）当时，在上单调递增，
所以要使恒成立，只需满足
由及得与矛盾。分
（2）当时，在上单调递减，要使恒成立，
只需满足
由得，
所以与矛盾。
（3）当时，在上递减，在上递增，要使恒成立，只需满足由前二式得，由后二式得 又 得 即，故 所以。当时，时满足题意。综上的最大值为3，此时21教育网
22.解：
/(x)=1+ ∴在【0,1】上单调递增
∴
根据题意可知存在x∈【1，2】，使得
即能成立，
令，则要使，在能成立，
只需使a＞h(x)min ，又函数 在上单调递减，
所以，故只需。
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