山东省济宁市梁山一中2013-2014学年高二下学期期中考试 数学文

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梁山一中2013—2014学年高二下学期期中检测
数学（文）
一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题选项中，有且只有一项是正确的)
1．设是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
2．“=1”是“函数f(x)=在区间上为增函数”的 （ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3．已知的单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
4．用数学归纳法证明1+2+3+，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上 （ ）21教育网
A． B．
C． D．
5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A． 向左平移个长度单位 B． 向右平移个长度单位
C． 向左平移个长度单位 D． 向右平移个长度单位
6．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)．
A．－11 C．a>0 D．a<－1或a>1
7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0 B．a＜1 C．a＜0 D．a≤1
8．下列命题中，真命题是(　　)
A． x∈R，ex≤0 B． x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：
广告费用x(万元) 4 2 3 5
销售额y(万元) 49 26 39 54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.6万元　　　　B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
10．下列说法中正确的有(　　)
①若r>0，则x增大时，y也相应增大； ②若r<0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上．
A．①②　　　　　　　　　B．②③ C．①③ D．①②③
11.已知定义域为R的函数，且对任意实数x，总有/（x）＜3
则不等式＜3x－15的解集为(　　)
A． (﹣∞，4） B. （﹣∞，﹣4）
C. （﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞） D. （4，﹢∞）
12.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)
A． 设数列﹛an﹜的前n项和为sn ，由an=2n﹣1，求出s1 =12 ， s2=22，
s3=32，…推断sn=n2
B．由cosx，满足对x∈R都成立，推断为奇函数。
C．由圆的面积推断：椭圆（a＞b＞0)的面积s=πab
D．由（1+1）2＞21，（2+1）2＞22，（3+1）2 ＞23，…，
推断对一切正整数n，（n+1)2＞2n
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知则　　 　　　．
14．函数
若在区间上单调递减，则的取值范围　　 　　　．
15．若函数，且当且时，
猜想的表达式　　　　　　　　　　　．
16．定义在R上的奇函数满足 ．
三.解答题（本题6个小题，共70分）
17.（本小题满分10分）
求函数的极值
18.（本小题满分12分）
证明不等式ｅx＞x+1＞㏑x,x＞0
19.（本小题满分12分）
某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，
统计数据如下表所示：
积极参加班级工作 不太积极参加班级工作 合计
学习积极性高 18 7 25
学习积极性一般 6 19 25
合计 24 26 50
试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级的态度是否有关系？
说明理由。
附：K2=
P(K2≥k0 ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.（本小题满分12分）
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，
要求版心面积为128dm2 ，上、下两边各空2dm，
左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸才能
使四周空白面积最小？
21．（本小题满分12分）
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份 2004 2006 2008 2010 2012
需求量(万吨) 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．
22.（本小题满分12分）
已知：0＜a＜b＜c＜d 且a+d=b+c
求证： ＜
参考答案:
1-5 CBCDB 6-10 AADBC 11-12 DA
13. 1 14. 15. 16. -2
17.因为
所以/（x)=x2-4=(x+2)(x-2)
令/（x)=0，得x=2或x=-2
当x变化时，/（x)，的变化情况如下表：
x (-∞,-2) -2 (-2,2） 2 （2，+∞）
/（x) + 0 - 0 +
↗ ↘ ↗
由上表可知，当x=-2时，有极大值且极大值为；
当x=2时，有极小值且极小值为
18.证明：①令，x>0
则/（x)= ＞0，∴ 在（0，）上单调递增。
对任意，有
而　　
即
②令，x>0
则
令，得x=1
当x变化时，，的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1,)
- 0 +
↘ 2 ↗
即对任意有 g(x)≥g(2)＞0
x+1>lnx
综上当x>0时，有
19.解：由 题意知：a=18，b=7，c=6，d=19
∴a+b=25，c+d=25，a+c=24，b+d=26
n=50
∴
因 K2=11.54＞10.828
故可以有99.9％的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系。
20.解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm，
此时四周空白面积为
求导数得：
令，解得x=16,x=-16(舍去)
于是宽为
当时，；当时，
因此，x＝16是函数的极小值点，也是最小值点。
所以当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
21． (1)由所给数据可以看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：21cnjy.com
年份－2008 －4 －2 0 2 4
需求量－257 －21 －11 0 19 29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2，
＝＝＝6.5，
＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为－257＝b(x－2008)＋a＝6.5(x－2008)＋3.2，即＝6.5(x－2008)＋260.2.　　①21世纪教育网版权所有
(2)利用直线方程①，可预测2014年的粮食需求量为
6．5(2014－2008)＋260.2＝6.56＋260.2＝299.2(万吨)．
22.证明：因为和都是正数，
所以为了证明＜
只需证 （）2＜ （）2
只需证
而a+d=b+c
即证
即证 ad＜bc
又a+d=b+c 所以d=b+c-a
即证：a(b+c-a)＜bc
即证： a2 -(b+c)a+bc＞0
即证：(a-b)(a-c)＞0
而 0＜a＜b＜c＜d
所以（a-b)(a-c)＞0显然成立
所以原不等式成立。
2
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