四川省仁寿县高中2014届高三5月冲刺卷 数学文

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数 学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）2·1·c·n·j·y
1、已知集合A=，B=，则A∩CNB=（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知是虚数单位，则复数所对应的点落在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、“是真命题”是“是假命题”的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
4、若＜＜是R上的偶函数，则（ ）
A、 B、 C、 D、
5、一个几何体的三视图如图
所示，主视图与侧视图都是边长为
2的正三角形，俯视图为正方形，
则该几何体的全面积为（ ）
A、4
B、8
C、12
D、4+4
6、某程序框图如图所示，若，则该
程序运行后，输出的值为（ ）
A、7 B、15
C、31 D、63
7、一组数据从小到大的顺序排列为1，
2，2，，5，10，其中，已知该数据的
中位数是众数的倍，则该组数据的标准差
为（ ）
A、3 B、4
C、5 D、6
8、已知点M（），若的最小值为3，则的值为（ ）
A、－4 B、4 C、－3 D、3
9、如图，F1、F2是双曲线C1：
与椭圆C2的公共焦点，点A是C1 、C2在第一
象限的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率
是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、定义在R上的函数的单调增区间为（－1，1），若方程恰有4个不同的实根，则实数的值为（ ）
A、 B、 C、1 D、－1
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、经过点（2，－1），且与直线垂直的直线方程是 .
12、在△ABC中，B=90°，AB=BC=1，点M满足于，则有= .
13、已知函数
为常数A＞0，＞0）在闭区间[]上的
图象如图所示，则 .
14、在边长为2的正方形ABCD内部
任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为 .
15、过函数（0＜＜1）图象上一点M作切线与轴和直线分别交于点P、Q，点N（0，1），则△PQN面积的最大值为 .21cnjy.com
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）.
16、（本小题满分12分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.
（1）求角C的大小;
（2）求的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.
17、（本小题满分12分）已知是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为的前项和.
（1）求通项及前项的Sn；
（2）设数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和Tn.
18、（本小题满分12分）交通指数是交通 ( http: / / www.21cnjy.com )拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念.记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵.晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）请补全直方图，并求出轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵路段各有多少个；
（2）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；21·世纪*教育网
（3）从（2）中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率.
19、（本小题满分12分），如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.www.21-cn-jy.com
（1）证明：AD⊥C1E；
（2）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1—A1B1E的体积.
20、（本小题满分13分）已知椭圆C：＞＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（4，0），A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q.www-2-1-cnjy-com
21、（本小题满分14分）已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意，都有＜成立，求实数的取值范围；
（3）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围.
数学（文理）参考解答
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A C B A D A B
二、填空题
11、±1（理），（文）
12、3
13、（理）， 3（文）
14、（理），（文）
15、①③（理），（文）
三、解答题
16、（理）（1）由已知和正弦定理得
从而
即
因为 所以 又
故
（2）由可得 又 故
又
∴
解得
（文）（1）由条件及正弦定理得
从而 即
∵0＜c＜ ∴
（2）由（1）知
∴
∵0＜A＜ ∴＜A+＜
当时，取得最大值1。
此时
17、（理）（1）设等差数列的公差为，则
∴数列的通项公式
（2）∵数列是首项为1，公比为c的等比数列
∴，即
∴
∴
当时，
当时，
（文）（1）因为是首项为，公差为的等差数列，所以，所以。
（2）由题意知
所以
所以
18、（理）（1）由直方图得，轻度拥堵的路段个数是，中度拥堵的路段个数是
（2）X的可能值为0，1，2，3。
则
∴X的分布置列为
X 0 1 2 3
p
∴
（文）（1）补全直方图（纵轴为0.2）（略）
由直方图可知：(0.1+0.2)×1×20=6
(0.25+0.2)×1×20=9
(0.1+0.05)×1×20=3
∴轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别为6个、9个、3个
（2）由（1）知拥堵路段共有18个
三个级别路段中分层抽样的个数分别为
（3）设（2）中选取2个轻度拥堵路段为A1、A2，选取3个中度拥堵路段为B1、B2、B3，选取1个严重拥堵路段为C1。21世纪教育网版权所有
则从6个路段选取2个路段的可能情况为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种可能，其中至少有1个轻度拥堵的情况有9种可能，∴所选2个路段中至少有1个轻度拥堵的概率为21教育网
19、(理)（1）如图，取AB的中点O，连接OC
OA1，A1B
∵CA=CB，∴OC⊥AB
∵AB=AA1，∠BAA1=60°
∴△AA1B为正三角形
∴OA1⊥AB
∵OC∩OA1=o，∴AB⊥平面OA1C
又A1C平面OA1C，∴AB⊥A1C
（2）由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB
又∵平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，∴OC⊥平面AA1B1B
∴OA，OA1，OC两两垂直
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，由题设知A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（－1，0，0），21·cn·jy·com
则
设是平面BB1C1C的法向量。
则： 即： 取
∴
∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为
（文）（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC
又在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD平面ABC
∴AD⊥BB1
故AD⊥平面BB1C1C
由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C
∴AD⊥C1E
（2）∵AC∥A1C1，∴∠A1C1E是异面直线AC、C1E所成的角
由题设∠A1C1E=60°，∵∠B1A1C1=∠BAC=90°
∴A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1
从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E
故C1E= 又
∴
∴×A1C1=
20、（1）由题意知 ∴，即∴
又，∴
∴椭圆C的方程为
（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 得 ①
设
直线AE的方程为
令，得
将，代入整理
得 ②
由①得，代入②整理
得
∴直线AE与轴交于定点Q（1，0）
（理）（3）当过点Q的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，且在椭圆C上，
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 得
可知△＞0。 ∴
则
∵≥0，∴≤＜0
∴）
当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为
解得
此时
综上的取值范围是
21、（1）当时，函数
得
∴当1＜＜2时，＞0，函数单调递增
当＜1或＞2时＜0，函数单调递减
∴函数的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（－∞，1）和（2，+∞）
（2）由，得
∵对于，都有＜成立
即对于，都有[]max＜
∵，其图象开口向下，对称轴为
①当≤1，即≤2时，在[1，+∞）上单调递减
∴
由＜，得＞-1，此时－1＜≤2
②当＞1，即＞2时，在[1,]上单调递增，在()上单调递减
∴
由＜，得0＜＜8，此时2＜＜8
综上，实数的取值范围为（－1，8）
（3）设点是函数图象上的切点，则过点P的切线的斜率
∴过P点的切线方程为
∵点在该切线上
∴
即
若过点可作函数图象的三条不同切线
则方程有三个不同的实数解
令，则函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点
令，解得或
∵
∴必须＜0，即＞2
∴实数的取值范围为（2，+∞）
主视图
侧视图
俯视图
开始
n=1,x=a
n=n+1
x=2x+1
n≤3
输出x
结束
是
否
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