专题04 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）
构造函数法解决导数不等式问题
①构造或(，且)型
②构造或(，且)型
③构造或型
④构造或型
⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数
①构造或(，且)型
1．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知定义在R上的函数满足，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
令，可得，所以在R上是增函数，
可得，， ，
由，可得，
可得：，所以，
所以不等式的解集为：，
故选：．
2．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知定义在上的偶函数，在时满足：，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
令，
所以
所以是奇函数，
在时，，则在时，单调递增，
由，可得，，
所求，等价于或，
解得或，
所以解集为：．
故选：A．
3．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
构造函数，其中，则，
所以，函数为上的奇函数，
当时，，所以，函数在上为增函数，
因为，则，
由得，可得，解得.
故选：C
4．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
设，，则，则在上单调递减，
由，得：，而，
所以，则．
故不等式的解集为．
故选：A
5．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）若是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
设，则的定义域为
而，故为上的奇函数，
且，
当时，因为，故，
故在上为减函数，故为上的减函数，
而，故，所以
又即为，故或，
故或，
故或，
故选：C.
6．（2022·宁夏吴忠·高二期中（理））是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
设函数，则，
由题知，当时，，
∴在上单调递减，
∵函数是定义在上的奇函数，
∴，
∴函数是定义在上的偶函数，
∴的单调递增区间为，
∵，∴，
∴当或时，，
当或时，，
∴的解集为.
故选：C.
7．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
设，则，
∵ 当时，，
当时，，即在上单调递减.
由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递增.
又，所以当或时，；
当或时，.
所以当或时，.
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，图象关于y轴对称，且当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解：∵当时，恒成立，∴，∴，
令，∴，∴，∴在上单调递减，
∵，∴，∴为奇函数，在上单调递减．
∵比较，，的大小，
∴，，
∵，∴，
∴，
.
∴，∴，
∴，
即．
故选：B．
9．（2022·四川雅安·三模（理））定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
令，因为是偶函数，所以为偶函数，
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
则，即，则，故A错误；
，即，故B错误；
，即，故C错误；
，即，则，故D正确.
故选：D.
②构造或(，且)型
1．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）设定义在R上的函数的导函数为，已知，且，则满足不等式的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设，则，
因为，，所以，是减函数，
，
不等式化为，即，
所以．
故选：C．
2．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知定义在上的函数满足，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
构造函数，其中，则，
所以，函数为上的增函数，
所以， ，即，因此，.
故选：A.
3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为______．
【答案】
设，，所以函数单调递增，
且，不等式，所以.
故答案为：.
4．（2022·甘肃·玉门油田第一中学高二期中（理））已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______．
【答案】
设，则，又，
所以，即在R上是减函数，
因为为偶函数，所以图象关于y轴对称，而向右平移3个单位可得，
所以对称轴为，则，
所以，不等式等价于，故，
所以不等式的解集为.
故答案为：
5．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数的导函数为，，，则的解集为___________.
【答案】
因为，
所以，
令，
则，
，
所以是减函数，
又，
即，，
所以，
所以，
则的解集为
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________________．
【答案】
构造，则，
函数满足，则，故在上单调递增．
又∵，则，
则不等式 ，即，
根据在上单调递增，可知．
故答案为：
③构造或型
1．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）若函数的导函数为，对任意，恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为任意恒成立，
即任意恒成立，
所以，
所以在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，
故选：B
2．（2022·江苏江苏·高二阶段练习）函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
变形为，
变形为，
故可令g(x)＝f(x)sinx，，
则，
∴g(x)在单调递减，
不等式即为g(x)＜g()，
则，
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为_____________.
【答案】
解：
，
构造函数，
则，
当时，，
在单调递增，
不等式，
即
即，
故不等式的解集为.
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，,则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
设，∴，
∵是定义在上的奇函数，∴，
∴是定义在上的偶函数，
∵当时，，
∴，∴在上单调递减，在上单调递增，
∵，∴，
∵，
∴，，或，，
∴或.
∴关于x的不等式的解集为.
④构造或型
1．（2022·重庆·高二阶段练习）已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
构造函数，其中，则，
所以，函数为奇函数，
当时，，
所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数，
由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数.
对于A选项，，即，则，A错；
对于B选项，，即，则，B对；
对于C选项，，即，则，C错；
对于D选项，，即，则，D错.
故选：B.
2．（2022·福建龙岩·高二期中）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，所以设，
则，
所以在上为增函数，
又因为，，，
，
所以，
即
故选：C
3．（2022·广东·广州市第四中学高二阶段练习）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：设，
则，
又因为，
所以，
所以在上单调递增，
又，
，
，
因为，
所以，
所以.
故选：C．
4．（2022·广西玉林·高二期中（文））函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为，所以，
由可得，即，
令，则，
所以函数在上为减函数，则，
则，
所以.
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵且，∴是奇函数，
设，则时，，∴在是减函数．
又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，
从而在上是减函数，
不等式为，即，∴．
故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
设 ，则
当时，有成立，此时
所以在上单调递增.
又为奇函数，则，则为奇函数，又
则在上单调递增，所以在上单调递增.
当，恒有
可化为，即，
由在上单调递增，所以
故选：A
⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数
1．（2022·重庆·高二阶段练习）定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
构造函数，则，
因为，所以，所以单调递减，
又，所以，
不等式变形为，即，
由函数单调性可得：
故选：D
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：不等式，等价于不等式，
构造函数，则，
若对任意实数都有，
则，在上单调递增，
又，
故即，
故不等式的解集是，
故选：B．
3．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设，则.
因为定义在上的函数满足，所以，
所以函数在上单调递增.
又不等式可化为，
即，所以，解得.
所以不等式的解集为.
故选：D.
4．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：令，
则，
又的导数在上恒有，
恒成立，
是上的减函数，
又，
当时，，即，
即不等式的解集为；
故选：C．
5．（2022·陕西渭南·二模（理））设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数的定义域为，则，
令，，则，即在上单调递增，
对于A，，即，A正确；
对于B，，即，B不正确；
对于C，，即，C不正确；
对于D，，即，有，D不正确.
故选：A
6．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，即，
令，由题意得在上单调递增，
即，即在上恒成立
由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，则
故选：B
7．（2022·安徽·高二阶段练习）已知，求满足条件的最小正整数n的值为___________.
【答案】3
解：由，
两边取对数得，
因为n是正整数，所以，
令，则，
令，则，
所以在上递减，则，
即，所以在上递减，
所以，解得，
因为，
所以最小正整数n的值为3.
故答案为：3
8．（2022·浙江·高二期中）已知定义在上的可导函数是奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为_______________．
【答案】
，
因为，所以，即函数在时单调递增的．
因为的定义域是，且在上都有意义，所以的定义域也是，
所以在时，
而在小于0恒成立，即在时．
因为是奇函数，所以在时恒成立．
所以的解集为．
故答案为：．
9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））已知定义在R上的可导函数为偶函数，且满足，若当时，，则不等式的解集为___________.
【答案】
设，则，时，是增函数，
又是偶函数，所以，是偶函数，
,
不等式即为，
由是偶函数，得，
又时，递增，所以，．
故答案为：．
10．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））已知定义在R上的可导函数满足，且的导函数满足：，则不等式的解集为___________.
【答案】
因为，
所以
构造，则，
即在R上单调递增，
因为，
所以
变形为，
即，
由的单调性可知：.
故答案为：专题04 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）
构造函数法解决导数不等式问题
①构造或(，且)型
②构造或(，且)型
③构造或型
④构造或型
⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数
①构造或(，且)型
1．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知定义在R上的函数满足，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知定义在上的偶函数，在时满足：，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）若是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·宁夏吴忠·高二期中（理））是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，图象关于y轴对称，且当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2022·四川雅安·三模（理））定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A． B．
C． D．
②构造或(，且)型
1．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）设定义在R上的函数的导函数为，已知，且，则满足不等式的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知定义在上的函数满足，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））记定义在上的可导函数的导函数为，且，，则不等式的解集为______．
4．（2022·甘肃·玉门油田第一中学高二期中（理））已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______．
5．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数的导函数为，，，则的解集为___________.
6．（2022·全国·高三专题练习）若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________________．
③构造或型
1．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）若函数的导函数为，对任意，恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏江苏·高二阶段练习）函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为______．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为_____________.
4．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，,则关于的不等式的解集为 ．
④构造或型
1．（2022·重庆·高二阶段练习）已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·福建龙岩·高二期中）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·广州市第四中学高二阶段练习）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广西玉林·高二期中（文））函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数
1．（2022·重庆·高二阶段练习）定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·陕西渭南·二模（理））设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·安徽·高二阶段练习）已知，求满足条件的最小正整数n的值为___________.
8．（2022·浙江·高二期中）已知定义在上的可导函数是奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为_______________．
9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））已知定义在R上的可导函数为偶函数，且满足，若当时，，则不等式的解集为___________.
10．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））已知定义在R上的可导函数满足，且的导函数满足：，则不等式的解集为___________.
