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沪科版数学七年级下册9.1分式及其基本性质同步练习
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2022八上·东阿期中）下列代数式中是分式的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·内江期末）若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
3．（2022七下·定远月考）若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·平南期末）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．2
5．（2022八上·右玉期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·南充期末）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·蓬江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七上·高坪期末）若且，则的值为（ ）.
A．11 B． C． D．
9．（2021八上·房山期中）如果将分式（x，y均为正数）中字母的x，y的值分别扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不改变 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍
10．（2021八上·莱州期中）对于下列说法，错误的个数是（ ）
① 是分式；②当x≠1时， 成立；③当x=﹣3时，分式 的值是零；④a ；⑤ ；⑥2﹣x ．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022七下·浙江）如果分式 能变形为 ，那么 应满足的条件是 .
12．（2022八上·东阿期中）约分： ．
13．（2022八下·安庆期中）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（2022九上·蓬安期中）若的值为整数，则正整数a的值为 ．
15．分式 , , 的最简公分母是 .
三、计算题（共18分）
16．将下列分式化为最简分式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
四、解答题（共5题，共47分）
17．（2021八上·新化期中）计算：
（1）当x为何值时，分式 的值为0
（2）当x=4时，求 的值
18．给出4个整式：2，x＋2，x-2，2.x+1.
（1）从上面的4个整式中选择2个整式，写出一个分式；
（2）从上面的4个整式中选择2个整式进行运算，使运算结果为二次三项式.请你列出一个算式，并写出运算过程.
19．今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为p.求今年3月该厂的生产总值与1、2月份这两个月生产总值之和的比.当p=5%时，这个比值是多少
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意，得＞0
则有（1）或（2）
解不等式组（1）得：＜x＜1；解不等式组（2）得：不等式组无解
∴不等式的解集是：＜x＜1
∴当＜x＜1时，分式的值为正
问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？
21．（2023八上·扶沟期末）材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：选项中只有分母中有字母，符合题意．
故答案为：B
【分析】根据分式的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，
解得且，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分式的分母不能为0，列出不等式组，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】分式的值；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵＜0，
∴
解得：．
故答案为：B.
【分析】根据题意列出不等式，再求解即可。
4．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴|x| 1＝0，x＋1≠0，
解得：x＝1.
故答案为：A.
【分析】分式的值为0的条件是：分式的分子等于0且分母不为0，据此列出混合组，求解即可.
5．【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A. ，不能再化简，为最简分式，符合题意；
B.可化简为，不是最简分式，不符合题意；
C.可化简为，不是最简分式，不符合题意；
D. 可化简为，不是最简分式，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项符合题意；
B、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项不符合题意；
C、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项不符合题意；
D、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别用3a、3b分别替换原分式中的a、b，然后分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而约分化简，然后与原分式比较即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：A、，故A不是“和谐分式”；
B、，故B不是“和谐分式”；
C、，故C是“和谐分式”；
D、，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；
故答案为：C．
【分析】根据“和谐分式”的定义逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得x=3y，然后代入中化简即可.
9．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：，
则分式的值不改变，
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
10．【答案】B
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式的值为零的条件；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：① 不是分式，本选项错误；
②当x≠1时， ==x+1，本选项正确；
③当x=﹣3时，分式分母为0，没有意义，错误；
④a÷b× ，本选项错误；
⑤ ，本选项错误；
⑥2-x ，本选项错误，
则错误的选项有5个．
故答案为：B
【分析】根据分式的定义、分式的的值为0的条件、分式的乘除法及分式的混合运算逐项判断即可。
11．【答案】n≠0
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵分式 能变形为 ，
∴n≠0.
故答案为：n≠0.
【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时除以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，可得到n的取值范围.
12．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：．
故答案为．
【分析】利用分式约分的计算方法求解即可。
13．【答案】x＞3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数≥0，得出x≥3，
根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，得出x≠3，
所以自变量x的取值范围是x＞3．
故答案为：x＞3．
【分析】根据二次根式的意义和分式有意义的条件可得≥0，x﹣3≠0，解之即可。
14．【答案】1、2或5
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：分式的值是整数，，
∴为整数，
∵a是正整数，
∴可以为2、3或6，
∴a的值为1、2或5，
经检验，当，或，分母，
∴a的值为1、2或5.
故答案为：1、2或5.
【分析】对分式进行变形可得，由分式的值为整数可得为整数，推出a+1可能为2、3、6，求出a的值即可.
15．【答案】12
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：∵在3ab2，4a2c3, 2a2c中,
3、4、2的最小公倍数是12，字母a的指数最大是2，字母b的指数最大是2，字母c的指数最大是3，
∴最简公分母是12a2b2c3.
故答案为：12a2b2c3.
【分析】分别找出在三个分母中，系数的最小公倍数，每个字母的指数的最大数，则它们的积就是公分母.
16．【答案】（1）解：
=
.
（2）解：
.
（3）解：
.
（4）解：
.
（5）解：
.
（6）解：
.
【知识点】分式的约分；最简分式
【解析】【分析】将分式的分子和分母分别分解因式，再根据分式的性质约分化简，即可求出结果；
17．【答案】（1）解：根据题意，
∵分式 的值为0，
∴当x+1=0，即 时，分式值为0；
（2）解：当x=4时， = = ；
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【分析】（1）根据分式值为0的条件：分子等于0，且分母不为0，列出方程与不等式，求解即可；
（2）直接将x=4代入分式中进行计算即可.
18．【答案】（1）解：答案不唯一，如 .
（2）解：答案不唯一，如 .
【知识点】多项式；多项式乘多项式；分式的定义
【解析】【分析】(1)形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。根据定义任意写一个分式即可；
(2)两个一次二项式的乘积是二次三项式，但符合平方差公式的除外，则可解答.
19．【答案】解：设1月份的生产总值为α，则2月份的生产总值为a(1＋p)，
3月份的生产总值为 ，
故今年3月份该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比为 .
当 时，
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】 设1月份的生产总值为α，则2月份的生产总值为a(1＋p)，3月份的生产总值为 ， 然后作比，根据分式的性质约分化简，最后代值计算，即可求出结果.
20．【答案】解：依题意，得＜0，则有（1）或（2）解不等式组（1）得：无解；解不等式组（2）得：＜x＜2，∴不等式的解集是：＜x＜2，∴当＜x＜2时，分式的值为负．
【知识点】分式的值
【解析】【分析】由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集．
21．【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2，理由如下：
∵，
随着的增大，的值越来越小，
∴随着a的增大，分式的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；；
故答案为：；；
（2）当时，，
当时，，
当时，，……
∵
∴当a增大时，的值越来越小.
故答案为：减小；
【分析】（1），，化简即可；
（2）分别求出a=2、3、4时分式的值，然后进行比较即可解答；
（3），随着a的增大，的值越来越小，据此解答.
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沪科版数学七年级下册9.1分式及其基本性质同步练习
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2022八上·东阿期中）下列代数式中是分式的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：选项中只有分母中有字母，符合题意．
故答案为：B
【分析】根据分式的定义逐项判断即可。
2．（2023九上·内江期末）若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，
解得且，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分式的分母不能为0，列出不等式组，求解即可.
3．（2022七下·定远月考）若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的值；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵＜0，
∴
解得：．
故答案为：B.
【分析】根据题意列出不等式，再求解即可。
4．（2023八上·平南期末）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．2
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴|x| 1＝0，x＋1≠0，
解得：x＝1.
故答案为：A.
【分析】分式的值为0的条件是：分式的分子等于0且分母不为0，据此列出混合组，求解即可.
5．（2022八上·右玉期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A. ，不能再化简，为最简分式，符合题意；
B.可化简为，不是最简分式，不符合题意；
C.可化简为，不是最简分式，不符合题意；
D. 可化简为，不是最简分式，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
6．（2023八上·南充期末）若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项符合题意；
B、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项不符合题意；
C、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项不符合题意；
D、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别用3a、3b分别替换原分式中的a、b，然后分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而约分化简，然后与原分式比较即可得出答案.
7．（2021八上·蓬江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：A、，故A不是“和谐分式”；
B、，故B不是“和谐分式”；
C、，故C是“和谐分式”；
D、，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；
故答案为：C．
【分析】根据“和谐分式”的定义逐项判断即可。
8．（2023七上·高坪期末）若且，则的值为（ ）.
A．11 B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得x=3y，然后代入中化简即可.
9．（2021八上·房山期中）如果将分式（x，y均为正数）中字母的x，y的值分别扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不改变 B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：，
则分式的值不改变，
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
10．（2021八上·莱州期中）对于下列说法，错误的个数是（ ）
① 是分式；②当x≠1时， 成立；③当x=﹣3时，分式 的值是零；④a ；⑤ ；⑥2﹣x ．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【知识点】分式的定义；分式有意义的条件；分式的值为零的条件；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：① 不是分式，本选项错误；
②当x≠1时， ==x+1，本选项正确；
③当x=﹣3时，分式分母为0，没有意义，错误；
④a÷b× ，本选项错误；
⑤ ，本选项错误；
⑥2-x ，本选项错误，
则错误的选项有5个．
故答案为：B
【分析】根据分式的定义、分式的的值为0的条件、分式的乘除法及分式的混合运算逐项判断即可。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2022七下·浙江）如果分式 能变形为 ，那么 应满足的条件是 .
【答案】n≠0
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵分式 能变形为 ，
∴n≠0.
故答案为：n≠0.
【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时除以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，可得到n的取值范围.
12．（2022八上·东阿期中）约分： ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：．
故答案为．
【分析】利用分式约分的计算方法求解即可。
13．（2022八下·安庆期中）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x＞3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数≥0，得出x≥3，
根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，得出x≠3，
所以自变量x的取值范围是x＞3．
故答案为：x＞3．
【分析】根据二次根式的意义和分式有意义的条件可得≥0，x﹣3≠0，解之即可。
14．（2022九上·蓬安期中）若的值为整数，则正整数a的值为 ．
【答案】1、2或5
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：分式的值是整数，，
∴为整数，
∵a是正整数，
∴可以为2、3或6，
∴a的值为1、2或5，
经检验，当，或，分母，
∴a的值为1、2或5.
故答案为：1、2或5.
【分析】对分式进行变形可得，由分式的值为整数可得为整数，推出a+1可能为2、3、6，求出a的值即可.
15．分式 , , 的最简公分母是 .
【答案】12
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：∵在3ab2，4a2c3, 2a2c中,
3、4、2的最小公倍数是12，字母a的指数最大是2，字母b的指数最大是2，字母c的指数最大是3，
∴最简公分母是12a2b2c3.
故答案为：12a2b2c3.
【分析】分别找出在三个分母中，系数的最小公倍数，每个字母的指数的最大数，则它们的积就是公分母.
三、计算题（共18分）
16．将下列分式化为最简分式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） .
【答案】（1）解：
=
.
（2）解：
.
（3）解：
.
（4）解：
.
（5）解：
.
（6）解：
.
【知识点】分式的约分；最简分式
【解析】【分析】将分式的分子和分母分别分解因式，再根据分式的性质约分化简，即可求出结果；
四、解答题（共5题，共47分）
17．（2021八上·新化期中）计算：
（1）当x为何值时，分式 的值为0
（2）当x=4时，求 的值
【答案】（1）解：根据题意，
∵分式 的值为0，
∴当x+1=0，即 时，分式值为0；
（2）解：当x=4时， = = ；
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【分析】（1）根据分式值为0的条件：分子等于0，且分母不为0，列出方程与不等式，求解即可；
（2）直接将x=4代入分式中进行计算即可.
18．给出4个整式：2，x＋2，x-2，2.x+1.
（1）从上面的4个整式中选择2个整式，写出一个分式；
（2）从上面的4个整式中选择2个整式进行运算，使运算结果为二次三项式.请你列出一个算式，并写出运算过程.
【答案】（1）解：答案不唯一，如 .
（2）解：答案不唯一，如 .
【知识点】多项式；多项式乘多项式；分式的定义
【解析】【分析】(1)形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。根据定义任意写一个分式即可；
(2)两个一次二项式的乘积是二次三项式，但符合平方差公式的除外，则可解答.
19．今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为p.求今年3月该厂的生产总值与1、2月份这两个月生产总值之和的比.当p=5%时，这个比值是多少
【答案】解：设1月份的生产总值为α，则2月份的生产总值为a(1＋p)，
3月份的生产总值为 ，
故今年3月份该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比为 .
当 时，
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】 设1月份的生产总值为α，则2月份的生产总值为a(1＋p)，3月份的生产总值为 ， 然后作比，根据分式的性质约分化简，最后代值计算，即可求出结果.
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意，得＞0
则有（1）或（2）
解不等式组（1）得：＜x＜1；解不等式组（2）得：不等式组无解
∴不等式的解集是：＜x＜1
∴当＜x＜1时，分式的值为正
问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？
【答案】解：依题意，得＜0，则有（1）或（2）解不等式组（1）得：无解；解不等式组（2）得：＜x＜2，∴不等式的解集是：＜x＜2，∴当＜x＜2时，分式的值为负．
【知识点】分式的值
【解析】【分析】由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集．
21．（2023八上·扶沟期末）材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2，理由如下：
∵，
随着的增大，的值越来越小，
∴随着a的增大，分式的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；；
故答案为：；；
（2）当时，，
当时，，
当时，，……
∵
∴当a增大时，的值越来越小.
故答案为：减小；
【分析】（1），，化简即可；
（2）分别求出a=2、3、4时分式的值，然后进行比较即可解答；
（3），随着a的增大，的值越来越小，据此解答.
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