专题复习：四边形 训练（含答案）
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专题：四边形
一 ：折叠中的方程思想及数形结合思想
类型一 折叠中求角度
1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
第1题图 第2题图
2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
类型二 折叠中求线段长
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
第3题图 第4题图
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )
A．3 B. C．5 D.
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．
类型三 折叠中求面积
6．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．
二.正方形中的最值及旋转变化模型问题
类型一 利用正方形的旋转性质解题
如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.
求证：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP.
求证：BP＋CP＝OP.
类型二 利用正方形的对称性解题
4．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )
A. B．2 C．2 D.
第4题图 第5题图
5．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF＋PE的最小值为________．
6．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，AC，BE交于点F，MF∥AE交AB于M.
求证：DF＝MF.
三．特殊平行四边形中的解题方法
类型一 特殊四边形中求最值、定值问题
一、利用对称性求最值【方法10】
1．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．
第1题图 第2题图
2．如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．
二、利用面积法求定值
如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．
【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和
(1)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．
变式题(1)图 变式题(2)图
(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．
类型二 正方形中利用旋转性解题
如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.
求证：BP＋CP＝OP.
四．特殊四边形中的综合性问题
类型一 特殊平行四边形的动态探究问题
一、动点问题
1．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6，∠BAD＝60°，且AB>6.
(1)求∠EPF的大小；
(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；
(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．
二、图形的变换问题
2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
类型二 四边形间的综合性问题
3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)
四．四边形中的探究与创新
1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为( )
A．28 B．24
C．32 D．32－8
第1题图 第2题图
2．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)．
易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
3．如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
4．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①， ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则 ABCD为1阶准菱形．
(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是________阶准菱形；已知 ABCD的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出 ABCD是________阶准菱形；
(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把 ABCD沿BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE是菱形．
参考答案与解析
一
1．B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.
2．B 3.C 4.C
解析：如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝5.∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BH，∴BH＝，则BF＝2BH＝.∵E是BC的中点，∴FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得CF＝＝＝.
6．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，∴∠F＝∠B，AB＝AF，∴AF＝CD，∠F＝∠D.在△AFE与△CDE中，∴△AFE≌△CDE.
(2)解：∵AB＝4，BC＝8，∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4.∵△AFE≌△CDE，∴EF＝DE.在Rt△CED中，由勾股定理得DE2＋CD2＝CE2，即DE2＋42＝(8－DE)2，∴DE＝3，∴AE＝8－3＝5，∴S阴影＝×4×5＝10.
7．解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM中，∵AD＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝.
(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝S△NAQ＝××AN·NQ＝××3×4＝.
二．
1．3
2．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合．∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.
3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝＝＝OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP.
4．B 解析：连接PB.∵点P在正方形ABCD的对角线AC上，∴PD＝PB，∴PD＋PE的最小值就是PB＋PE的最小值，∴PD＋PE的最小值就是BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB.∵S正方形ABCD＝12，∴BE2＝AB2＝12，即BE＝2，故选B.
5.
6．证明：∵B，D关于AC对称，点F在AC上，∴BF＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE和△BCE中，∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE.∵MF∥AE，∴∠BAE＝∠BMF，∴∠BMF＝∠ABE，∴MF＝BF.∵BF＝DF，∴DF＝MF.
三．
解析：如图，过点Q作QE⊥AC交AB于点E，则PQ＝PE.∴DP＋PQ＝DP＋PE.当点D，P，E三点共线的时候DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，且DE即为所求．当DE⊥AB时，DE最小．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝5.∵S菱形ABCD＝AC·BD＝AB·DE，∴×8×6＝5·DE，∴DE＝.∴DP＋PQ的最小值为.
2．6 解析：如图，设BE与AC交于点P，连接BD.∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P为AC与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．∵正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6.故所求最小值为6.故答案为6.
解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OB＝OC＝AC＝5.如图，连接OP，∵S△OBP＋S△OCP＝S△OBC，∴＋＝S△OBC，∴＋＝S△OBC.∵S△OBC＝S矩形ABCD＝AB·BC＝×6×8＝12，∴＋＝12，∴PE＋PF＝.
【变式题】(1) 解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB＝AD＝10，S△ABD＝.连接AP，则S△ABD＝S△ABP＋S△ADP，∴×10(PE＋PF)＝，∴PE＋PF＝.
(2) 解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴＋＝.又∵BE＝BC，∴＋＝，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝，∴PM＋PN＝EH＝.
4．3
5．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.
6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝＝＝OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP.
四．
1．解：(1)如图①，过点P作PG⊥EF于点G，H为PE的中点，连接GH，∴∠PGE＝90°，GH＝PH＝HE＝PE＝3.∵PF＝PE，∴∠FPG＝∠EPG，FG＝GE＝EF＝3.在Rt△PGE中，由勾股定理得PG＝＝＝3.∴PG＝GH＝PH，即△GPH为等边三角形，∴∠GPH＝60°，∴∠FPE＝∠FPG＋∠GPE＝2∠GPE＝2×60°＝120°.
(2)如图①，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，∴∠ANP＝∠AMP＝90°.∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝30°，PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME＝NF.∵∠PAM＝30°，AP＝10，∴PM＝AP＝5.由勾股定理得AM＝＝5.在△ANP和△AMP中，∴△ANP≌△AMP，∴AN＝AM＝5.∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＋ME－NF＝10.
(3)如图②，△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动．P1O＝PO＝PE＝3，AE＝EF＝6，AO＝＝9.∴AP的最大值为AO＋OP＝12，AP的最小值为AO－OP1＝6.
2．(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.∵四边形ABCD与OEFG均为正方形，∴OA＝OD，OG＝OE，∠AOG＝∠DOE＝90°，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG；
(2)解：①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：
a．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，∴∠AG′O＝30°，∠AOG′＝60°.∵OA⊥OD，∴∠DOG′＝90°－∠AOG′＝30°，即α＝30°；
b．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求的∠AOG′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG′＝150°.综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°；
②AF′长的最大值是2＋，此时α＝315°.
3．(1)证明：如图①中，连接BD.∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD.∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．
(2)解：四边形EFGH是菱形．理由如下：如图②中，连接AC，BD.∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠APC＝∠BPD.在△APC和△BPD中，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD.∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∴EF＝FG.∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．
(3)解：四边形EFGH是正方形．理由如下：如图②中，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与EH交于点N.∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP.∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°.∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．
一 ：折叠中的方程思想及数形结合思想
类型一 折叠中求角度
1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
第1题图 第2题图
2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
类型二 折叠中求线段长
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
第3题图 第4题图
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )
A．3 B. C．5 D.
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．
类型三 折叠中求面积
6．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．
二.正方形中的最值及旋转变化模型问题
类型一 利用正方形的旋转性质解题
如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.
求证：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP.
求证：BP＋CP＝OP.
类型二 利用正方形的对称性解题
4．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )
A. B．2 C．2 D.
第4题图 第5题图
5．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF＋PE的最小值为________．
6．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，AC，BE交于点F，MF∥AE交AB于M.
求证：DF＝MF.
三．特殊平行四边形中的解题方法
类型一 特殊四边形中求最值、定值问题
一、利用对称性求最值【方法10】
1．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．
第1题图 第2题图
2．如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．
二、利用面积法求定值
如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．
【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和
(1)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．
变式题(1)图 变式题(2)图
(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．
类型二 正方形中利用旋转性解题
如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.
求证：BP＋CP＝OP.
四．特殊四边形中的综合性问题
类型一 特殊平行四边形的动态探究问题
一、动点问题
1．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6，∠BAD＝60°，且AB>6.
(1)求∠EPF的大小；
(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；
(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．
二、图形的变换问题
2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
类型二 四边形间的综合性问题
3．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)
四．四边形中的探究与创新
1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P、P′分别是EF、E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为( )
A．28 B．24
C．32 D．32－8
第1题图 第2题图
2．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(______________＋______________)．
易知S△ADC＝S△ABC，______________＝______________，______________＝______________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.
3．如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
4．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图①， ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则 ABCD为1阶准菱形．
(1)猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是________阶准菱形；已知 ABCD的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b＋r，b＝5r，请写出 ABCD是________阶准菱形；
(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把 ABCD沿BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.求证：四边形ABFE是菱形．
参考答案与解析
一
1．B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.
2．B 3.C 4.C
解析：如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝5.∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BH，∴BH＝，则BF＝2BH＝.∵E是BC的中点，∴FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得CF＝＝＝.
6．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，∴∠F＝∠B，AB＝AF，∴AF＝CD，∠F＝∠D.在△AFE与△CDE中，∴△AFE≌△CDE.
(2)解：∵AB＝4，BC＝8，∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4.∵△AFE≌△CDE，∴EF＝DE.在Rt△CED中，由勾股定理得DE2＋CD2＝CE2，即DE2＋42＝(8－DE)2，∴DE＝3，∴AE＝8－3＝5，∴S阴影＝×4×5＝10.
7．解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM中，∵AD＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝.
(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝S△NAQ＝××AN·NQ＝××3×4＝.
二．
1．3
2．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合．∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.
3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝＝＝OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP.
4．B 解析：连接PB.∵点P在正方形ABCD的对角线AC上，∴PD＝PB，∴PD＋PE的最小值就是PB＋PE的最小值，∴PD＋PE的最小值就是BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB.∵S正方形ABCD＝12，∴BE2＝AB2＝12，即BE＝2，故选B.
5.
6．证明：∵B，D关于AC对称，点F在AC上，∴BF＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE和△BCE中，∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE.∵MF∥AE，∴∠BAE＝∠BMF，∴∠BMF＝∠ABE，∴MF＝BF.∵BF＝DF，∴DF＝MF.
三．
解析：如图，过点Q作QE⊥AC交AB于点E，则PQ＝PE.∴DP＋PQ＝DP＋PE.当点D，P，E三点共线的时候DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，且DE即为所求．当DE⊥AB时，DE最小．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝5.∵S菱形ABCD＝AC·BD＝AB·DE，∴×8×6＝5·DE，∴DE＝.∴DP＋PQ的最小值为.
2．6 解析：如图，设BE与AC交于点P，连接BD.∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P为AC与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．∵正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6.故所求最小值为6.故答案为6.
解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OB＝OC＝AC＝5.如图，连接OP，∵S△OBP＋S△OCP＝S△OBC，∴＋＝S△OBC，∴＋＝S△OBC.∵S△OBC＝S矩形ABCD＝AB·BC＝×6×8＝12，∴＋＝12，∴PE＋PF＝.
【变式题】(1) 解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB＝AD＝10，S△ABD＝.连接AP，则S△ABD＝S△ABP＋S△ADP，∴×10(PE＋PF)＝，∴PE＋PF＝.
(2) 解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴＋＝.又∵BE＝BC，∴＋＝，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝，∴PM＋PN＝EH＝.
4．3
5．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.
6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝＝＝OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝OP.
四．
1．解：(1)如图①，过点P作PG⊥EF于点G，H为PE的中点，连接GH，∴∠PGE＝90°，GH＝PH＝HE＝PE＝3.∵PF＝PE，∴∠FPG＝∠EPG，FG＝GE＝EF＝3.在Rt△PGE中，由勾股定理得PG＝＝＝3.∴PG＝GH＝PH，即△GPH为等边三角形，∴∠GPH＝60°，∴∠FPE＝∠FPG＋∠GPE＝2∠GPE＝2×60°＝120°.
(2)如图①，过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，∴∠ANP＝∠AMP＝90°.∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝30°，PM＝PN.在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME＝NF.∵∠PAM＝30°，AP＝10，∴PM＝AP＝5.由勾股定理得AM＝＝5.在△ANP和△AMP中，∴△ANP≌△AMP，∴AN＝AM＝5.∴AE＋AF＝(AM＋ME)＋(AN－NF)＝AM＋AN＋ME－NF＝10.
(3)如图②，△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动．P1O＝PO＝PE＝3，AE＝EF＝6，AO＝＝9.∴AP的最大值为AO＋OP＝12，AP的最小值为AO－OP1＝6.
2．(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.∵四边形ABCD与OEFG均为正方形，∴OA＝OD，OG＝OE，∠AOG＝∠DOE＝90°，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO＝∠DEO.∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠DEO＋∠GAO＝90°，∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG；
(2)解：①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：
a．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，∴∠AG′O＝30°，∠AOG′＝60°.∵OA⊥OD，∴∠DOG′＝90°－∠AOG′＝30°，即α＝30°；
b．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求的∠AOG′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG′＝150°.综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°；
②AF′长的最大值是2＋，此时α＝315°.
3．(1)证明：如图①中，连接BD.∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD.∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．
(2)解：四边形EFGH是菱形．理由如下：如图②中，连接AC，BD.∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠APC＝∠BPD.在△APC和△BPD中，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD.∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∴EF＝FG.∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．
(3)解：四边形EFGH是正方形．理由如下：如图②中，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M，AC与EH交于点N.∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP.∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°.∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．