高二二项式定理章节综合检测（基础卷）
第I卷（选择题）
选择题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．二项式的展开式所有项的系数和为243，则展开式中的常数项为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．50
2．已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中的常数项为（ ）
A．－20 B．30 C．－10 D．10
4．设，且，若能被17整除，则等于（ ）
A．0 B．1 C．13 D．16
5．已知多项式，则（ ）
A．－960 B．960 C．－480 D．480
6．在的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．15 C．120 D．30
7．若二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）
A． B． C．1792 D．1120
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第三项
10．在二项式的展开式中（ ）
A．常数项是第4项 B．所有项的系数和为1
C．第5项的二项式系数最大 D．第4项的系数最小
11．已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中第项的系数为
D．展开式中含项的系数为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）
14．已知的展开式中含项的系数为120，则______.
15．若，则___________.
16．的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
18．已知展开式的二项式系数和为128，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；
条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式，若______，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项；
(3)展开式中所有项的系数之和．
20．在二项式的展开式中，
(1)若，求展开式中的有理项；
(2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
21．若，其中.
(1)求m的值；
(2)求.
22．已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求其展开式中所有的有理项．高二二项式定理章节综合检测（基础卷）
第I卷（选择题）
选择题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．二项式的展开式所有项的系数和为243，则展开式中的常数项为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．50
【答案】A
【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】展开式所有项的系数和为243，
所以令则有，，n＝5，
所以展开式通项公式为，
令解得，
所以展开式的常数项为，
故选:A
2．已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据第项与第项的二项式系数相等列出等式，解出，再用赋值法即可得出结果.
【详解】解：因为，且第项与第项的二项式系数相等，
所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：.
故选：C
3．的展开式中的常数项为（ ）
A．－20 B．30 C．－10 D．10
【答案】D
【分析】先将展开写为,写出的通项,求出及的系数,代入中即可.
【详解】解:因为
的展开式的通项公式为,
令,得;
令,得,
所以的展开式中的常数项为:
.
故选:D
4．设，且，若能被17整除，则等于（ ）
A．0 B．1 C．13 D．16
【答案】D
【分析】将利用二项式定理展开，通过能被整除可得能被整除，进而可得的值.
【详解】，
能被17整除，
且能被17整除，
故能被17整除，
观察选项可得.
故选：D.
5．已知多项式，则（ ）
A．－960 B．960 C．－480 D．480
【答案】A
【分析】将写为，是第8项的系数，计算即可.
【详解】解：因为，所以第8项为，
所以.
故选：A
6．在的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．15 C．120 D．30
【答案】A
【分析】方法1：运用分步乘法原理计算可得结果.
方法2：运用二项式定理的通项公式计算可得结果.
【详解】方法1：可以看作6个相乘，从中选2个y，有种选法；再从剩余的4个括号中选出3个x，最后一个括号选出，有种选法；所以的系数为．
方法2：因为，所以其展开式的通项公式为，
令，得展开式的通项公式为，再令，得，
所以的系数为．
故选：A.
7．若二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ）
A． B． C．1792 D．1120
【答案】D
【分析】由二项式系数的性质求得，然后二项展开式通项公式求得结论．
【详解】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以.
通项为，
令，得，所以展开式中项的系数为．
故选：D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用换元，转化为，再去绝对值后，赋值求和.
【详解】令，可得，
则，
二项式的展开式通项为，
则且．
当为奇数时，，当为偶数时，，因此，．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第三项
【答案】ABD
【分析】根据组合数的性质即可判断AB；根据二项式之和即可判断C；对于D，先求出展开式的通项，不妨设第项的系数最大，则有，从而可得出答案.
【详解】对于A，由组合数的性质可得，故A正确；
对于B，由组合数的性质可得，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，展开式的通项为，
不妨设第项的二项式系数最大，
则，解得，
所以展开式中二项式系数最大的项为第三项，故D正确.
故选：ABD.
10．在二项式的展开式中（ ）
A．常数项是第4项 B．所有项的系数和为1
C．第5项的二项式系数最大 D．第4项的系数最小
【答案】BCD
【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用赋值法求所有项系数和可判断B选项；利用二项式系数的性质可判断C选项；先求系数绝对值最大的项，然后利用符号即可判断D选项.
【详解】二项式的展开式的通项为，
对于A，令，得，故常数项是第5项，故A错误；
对于B，令，则所有项的系数和是，故B正确；
对于C，二项式展开式共9项，则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大，故C正确；
对于D，设第项的系数的绝对值最大，则，解得，
又，所以或，
当时，；当时，，
所以第4项的系数最小，故D正确.
故选：BCD
11．已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案.
【详解】，
展开式的通项为，
对选项A：令，可得，正确；
对选项B：，所以，正确；
对选项C：令，可得，错误；
对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．
故选：ABD
12．已知的展开式的二项式系数和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中第项的系数为
D．展开式中含项的系数为
【答案】ABD
【分析】由展开式的二项式系数和为求出，即可判断A，令即可得到展开式各项系数和，从而判断B，利用展开式的通项判断C、D.
【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确；
对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为1，故B正确；
对于C，因为的展开式通项为，
令可得第4项的系数为，故C不正确；
对于D，在选项C中的通项公式中，
令，得，则，所以含项的系数为，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）
【答案】0
【分析】由，再利用通项公式求解.
【详解】解：，
展开式的通项公式为，
所以展开式中的系数为，
故答案为：0
14．已知的展开式中含项的系数为120，则______.
【答案】-1
【分析】根据二项式展开式的通项公式可分别求得含项，再相加，从而可解.
【详解】因为的通项公式为，
所以的展开式中含项为.
因为的通项公式为，
所以的展开式中含项为.
则的展开式中含项为
，得
故答案为：-1
15．若，则___________.
【答案】0
【分析】先令，求出，再令，得，进一步计算得出结果.
【详解】令，得.
令，得，
则.
故答案为：0.
16．的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
【答案】
【分析】的展开式的通项为，取，计算得到答案.
【详解】的展开式的通项为，
则的系数为：
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由排列数和组合数公式求出的值，再通过赋值法，求和的值即可.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∴，
∴，解得（舍）或，
∴.
（2）由第（1）问，，
∴①，
令①式中，则，
∴，
令①式中，则，即，
∴.
（3）令第（2）问①式中，则，
∴②，
由第（2）问，③，
②，③两式相加，得
，
∴.
18．已知展开式的二项式系数和为128，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）二项式系数和公式可求得n，再由展开可得；
（2）由赋值法，令、，即可组合求值.
【详解】（1）由展开式的二项式系数和为128，
可得，即n＝7．
由，得．
（2）令，得，
令，得，所以．
19．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；
条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式，若______，求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项；
(3)展开式中所有项的系数之和．
【答案】(1)；
(2)，，，
(3).
【分析】（1）利用二项展开式的性质求出，再求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设第项为有理项，，求出即得解；
（3）利用赋值法进行求解即可.
【详解】（1）解：选①，由，得（负值舍去）．
选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．
由得．
选③，设第项为常数项，，由，得．
由得展开式的二项式系数最大为，
则展开式中二项式系数最大的项为．
（2）解：设第项为有理项，，
因为，，，
所以，
则有理项为，，，．
（3）在中，令，即，
所以展开式中所有项的系数之和为.
20．在二项式的展开式中，
(1)若，求展开式中的有理项；
(2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
【答案】(1)
(2)①64；②1
【分析】（1）根据已知得出二项展开式的通项，即可根据条件列式得出的值，即可代入通项得出答案；
（2）根据通项结合已知得出的值，即可根据二项展开式中的各项的二项式系数之和与各项的系数之和的求法得出答案.
【详解】（1）若，则，（）
由，得，
有理项为：．
（2），
由题意得，即，解得或（舍）
①二项式系数之和为；
②令，得各项的系数之和为．
21．若，其中.
(1)求m的值；
(2)求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）展开式的通项为，，解得答案；
（2）取得到，代入计算得到答案.
【详解】（1）因为展开式的通项为，，
解得；
（2）因为，
取得到，
所以.
22．已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求其展开式中所有的有理项．
【答案】(1)
(2)，，，，.
【分析】（1）先确定前三项系数，根据题意列出等量关系，求得，再根据二项式系数性质确定二项式系数最大的项数，代入通项公式求对应项，
（2）根据二项式定理得通项公式，根据的次数为整数，求得项数，再代入通项公式求有理项.
【详解】（1）前3项的系数分别为，，，
由题意知：，且，解得或（舍去）
所以，
∴时，二项式系数最大，
即二项式系数最大项为.
（2）由，知，
∴有理项为，，，，.
【点睛】二项式系数最大项的确定方法
①如果是偶数，则中间一项(第 项)的二项式系数最大；
②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大
