高二计数原理章节单元检测
第I卷（选择题）
选择题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176 B．2352 C．1722 D．1302
2．将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
3．已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中的系数为（ ）
A．5 B． C．15 D．
5．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的）所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有（ ）
A．96 B．114 C．168 D．240
6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
… … … …
A．220 B．186 C．120 D．96
7．已知，则（ ）
A．10935 B．5546 C．5467 D．5465
8．某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（ ）
A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．在二项式展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为20 B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有4项 D．常数项为第五项
10．设，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（ ）
A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种
B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
12．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________.
14．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）
15．某地举办党史知识竞赛，已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁4支参赛队伍，其中1支队伍分配有7个名额，余下3支队伍都有参赛名额，则这4支队伍的名额分配方案有______种．
16．用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有_________种不同的涂色方法.（用数字回答）
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）一场班级元旦晚会有2个唱歌节目和；2个相声节目1和2.要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目.列出所有可能的排列.
（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示）
（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
18．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；
（2）求的展开式中项的系数．
19．已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
20．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法个数.
(1)甲、乙两人相邻；
(2)甲、乙之间隔着2人；
(3)原7人顺序不变，再加入3人；
(4)甲、乙、丙3人中从左向右看从高到低（3人身高不同）；
(5)甲、乙两人不相邻且都不在排头或排尾.
21．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7．
(1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数；
(2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01）
22．在二项式的展开式中，______．给出下列条件：
①所有偶数项的二项式系数之和为256；
②前三项的二项式系数之和等于46．
试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题：
(1)求展开式的常数项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项．高二计数原理章节单元检测
第I卷（选择题）
选择题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176 B．2352 C．1722 D．1302
【答案】A
【分析】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区
【详解】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区；
当按照3，3，1的方法分配则有；
当按照2，2，3的方法分配则有；
当按照1，1，5的方法分配则有；
把三组成员分配到A，B，C三个小区的方法为
所以根据分步计数原理可得一共有：种不同的安排方式.
故选：A
2．将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
【答案】D
【分析】将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解.
【详解】解：将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有方法，
故2个8不相邻的情况有种.
故选：D
3．已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令可得展开式中所有项的系数之和求出，再利用展开式的通项公式即可求解．
【详解】令可得展开式中所有项的系数之和为，故，
又，即展开式的通项为，
则展开式中含有的系数为．
故选：C．
4．的展开式中的系数为（ ）
A．5 B． C．15 D．
【答案】C
【分析】根据给定的多项式，利用组合的意义分析项的构成，列式计算作答.
【详解】可看作5个相乘，展开式中可由2种情况获得：
从5个式子中取2个式子提供，余下3个式子提供，则可得到；
从5个式子中取1个式子提供，另4个式子提供，则可得到，
所以的展开式中的系数为.
故选：C
5．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的）所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有（ ）
A．96 B．114 C．168 D．240
【答案】C
【分析】依据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求得不同种植方法的种数.
【详解】先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在b中种植，有3种不同的种植方法，
再在c中种植，分两类：
第一类：若c与b同色，则d中有3种不同的种植方法，
第二类：若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，
最后在e中种植，有2种不同的种植方法.
所以不同种植方法的种数共有（种）．
故选：C．
6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
… … … …
A．220 B．186 C．120 D．96
【答案】A
【分析】根据题意，由杨辉三角与二项式系数的关系及组合数性质可解.
【详解】
.
故选：A.
7．已知，则（ ）
A．10935 B．5546 C．5467 D．5465
【答案】D
【分析】令得，进而再结合赋值法求解即可.
【详解】解：令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
所以，
所以．
故选:D．
8．某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（ ）
A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种
【答案】D
【分析】根据每天考试科目的数量进行分类讨论，由此求得不同的考试安排方法数.
【详解】若三天考试科目数量为，则安排方法数为：
.
若三天考试科目数量为，则安排方法数为：
，
若三天考试科目数量为，则安排方法数为：
，
所以不同的考试安排方案共有种.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．在二项式展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为20 B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有4项 D．常数项为第五项
【答案】BCD
【分析】先写出二项式展开式的通项公式,再逐个判断选项即可.
【详解】二项式展开式通项公式为,
对于:第三项的二项式系数为,故错误;
对于:所有项的二项式系数之和为,故正确;
对于:展开式中当时,共有4项有理项,故正确;
对于:当展开式通项为常数项时, ,令,
则,则常数项为第五项,故正确.
故选:
10．设，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据二项展开式系数性质，逐个选项判断即可得到答案．
【详解】对于选项A，令得，所以选项A错误；
分别令和得和，
所以选项B和选项C正确；
对于选项 D，
，选项D正确；
故：BCD．
11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（ ）
A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种
B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
【答案】BC
【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；
对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；
对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确.
故选：BC
12．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
【答案】BCD
【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D
【详解】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，
则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共（种）.判断正确.
故选：BCD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________.
【答案】7
【分析】由展开式中只有第5项最大，得，写出展开式的通项，求常数项.
【详解】由题意，所以展开式第项为，
令，得，故常数项为.
故答案为：7.
14．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）
【答案】
【分析】先把5人分成3组，再对3个村进行全排列.
【详解】把5人分成三组，有“3，1，1”和“2，2，1”两种情况，
所以不同的分派种数有.
故答案为：.
15．某地举办党史知识竞赛，已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁4支参赛队伍，其中1支队伍分配有7个名额，余下3支队伍都有参赛名额，则这4支队伍的名额分配方案有______种．
【答案】84
【分析】取1支队伍获得7个名额，余下8个名额利用隔板法分给另外3支队伍，列式计算作答.
【详解】依题意，求分配方案数这件事需两步，先取1支队伍获得7个名额，有种方法，
把余下的8个名额分给另外3支队伍，每支队伍至少1个名额，由隔板法有种方法，
由分步乘法计数原理得这4支队伍的名额分配方案种数是.
故答案为：84
16．用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有_________种不同的涂色方法.（用数字回答）
【答案】
【分析】按照使用了多少种颜色涂色分两类计数，再相加即可得解.
【详解】若四种颜色全部用到，则同色或同色，则共有种；
若只用三种颜色涂色，则同色且同色，共有种，
根据分类加法计数原理可得，共有种涂色方法.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）一场班级元旦晚会有2个唱歌节目和；2个相声节目1和2.要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目.列出所有可能的排列.
（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示）
（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
【答案】（1）；（2）432；（3）80.
【分析】（1）利用排列的定义即得；
（2）利用捆绑法，插空法即得；
（3）由题可分选2名男教师与2名女教师，选3名男教师与1名女教师两类，即得.
【详解】（1）歌唱节目记为，相声节目记为1，2，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：.
（2）甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，
故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有（种）.
（3）选2名男教师与2名女教师，共有(种)，选3名男教师与1名女教师，共有(种)，
所以共有60+20=80（种）.
18．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；
（2）求的展开式中项的系数．
【答案】（1）所有有理项为和；（2）164.
【分析】（1）写出通项并化简，进而讨论x的指数为整数的情况，最后得到答案；
（2）写出每一项中x2项的系数并求和，进而通过组合数的性质得到答案.
【详解】（1）由题意得，2n＝1 024，∴n＝10，
∴展开式的通项为，
由或k=6，
所以有理项为.
（2）由，
∴x2项的系数为
19．已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
【答案】(1)49
(2)301
(3)179
【分析】（1）由二项式定理求解
（2）由赋值法求解
（3）由赋值法求解
(1)
就是项的系数，所以．
(2)
令，得，
令，得，
所以．
(3)
令，得， ①
令，得， ②
由②－①可得，所以．
20．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法个数.
(1)甲、乙两人相邻；
(2)甲、乙之间隔着2人；
(3)原7人顺序不变，再加入3人；
(4)甲、乙、丙3人中从左向右看从高到低（3人身高不同）；
(5)甲、乙两人不相邻且都不在排头或排尾.
【答案】(1)1440;
(2)960;
(3)720;
(4)840;
(5)1440.
【分析】（1）(捆绑法),把甲乙二人捆绑在一起,再和其他5人全排列;
（2）(捆绑法),先从5人选2人放着甲乙二人之间,并捆绑在一起,再和其他3人全排列;
（3）(插空法),原先7人排列形成8个空,先插入1人,再从形成的9个空再插入1人,再从10个空中插入1人;
（4）(定序法),先全排列,再除以顺序数;
（5）(分步计数原理), 先对其余的5人全排列，再对甲插空，对乙插空.
(1)
（捆绑法）把甲乙二人捆绑在一起,再和其他5人全排列,故有种；
(2)
（捆绑法）先从5人选2人放着甲乙二人之间,并捆绑在一起,再和其他3人全排列,故有种；
(3)
（插空法）原先7人排列形成8个空,先插入1人,再从形成的9个空再插入1人,再从10个空中插入1人,故有种；
(4)
（定序法）先全排列,再除以顺序数,故有种;
(5)
（分步计数原理）先对其余的5人全排列，再对甲插空，再对乙插空，故有.
21．已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7．
(1)求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数；
(2)利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01）
【答案】(1)，或，，的系数为5
(2)
【分析】（1）由x的系数为7得，的系数为，消元讨论最小值即可求；
（2），考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可
【详解】（1）根据题意得，即．①
的展开式中的系数为．
将①变形为代入上式，得的系数为，
故当，或，时，的系数取得最小值且为9；此时的系数均为；
（2）当，或，时，
22．在二项式的展开式中，______．给出下列条件：
①所有偶数项的二项式系数之和为256；
②前三项的二项式系数之和等于46．
试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题：
(1)求展开式的常数项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，常数项即，可得k的值，即得常数项；
（2）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，解不等式可得r的值，即得系数绝对值最大的项
【详解】（1）的二项展开式的通项为．
选①，所有偶数项的二项式系数之和为，可得．
选②，前三项的二项式系数之和为，解得．
由上知，展开式的通项为，
常数项即当时，，∴常数项为．
（2）由（1）得，的二项展开式的通项为，
故第项的系数的绝对值为：．
由题设，令，解得，
∴，即第7项系数的绝对值最大，且系数绝对值最大的项为．
