2022—2023下学期人教版（2012）八年级数学下册 第十七章勾股定理综合训练（含解析）

第十七章勾股定理综合训练
2022——2023下学期人教版（2012）八年级下数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．三角形的三边长为a，b，c，且满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形．
2．如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，，，已知，，则的最小值是（　　）
A． B．10 C．9.6 D．
3．如图，一长方体木块长，宽，高， 一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，中，，是边的高线，，则等于（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，把沿直线翻折，使点A落在点处，当平行于的一条直角边时，的长为（ ）．
A．或2 B．或3 C．或2 D．或3
6．如图，在于D，是的平分线，且交于P，如果，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．如图，点在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为3，4，H为线段的中点，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．
8．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，若，则（ ）
A．75 B．100 C．120 D．125
9．如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．在中，，，若点P在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题
11．如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则______°．
12．如图，在中，若将沿折叠，使得点C与上的点D重合，则的面积为_________
13．如图，折叠长方形的一边使点落在边的点处，已知 ， ，则的长为___________．
14．如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为_________．
15．在一个长为 米, 宽为 米的长方形草地 上, 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是______米．
16．如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于，恰有．若，，则_____度， ____．
三、解答题
17．如图，在中，，点D在边上（不与点A，点C重合），连接，．
(1)设时，求的度数；
(2)若，求的长．
18．如图，笔直的公路上，两点相距，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？
19．如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：．
20．如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方处的C点，过了后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
21．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】先利用完全平方公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】解：因为三角形的三边长满足，
所以，
所以这个三角形是直角三角形，
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握完全平方公式化简是解题的关键．
2．A
【分析】过点A作，并使得，连接，构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案．
【详解】解：如图，过点A作，并使得，连接，则，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形．
3．B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析．
【详解】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线．
①如图1，
∵，，，
∴在中，，，
∴；
②如图2，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
②如图3，
∵，，，
∴，，
∴．
∵，
∴蚂蚁所行路程的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．
4．C
【分析】由图中相关线段间的和差关系可知，则在中， 根据勾股定理，
得．
【详解】解：，，
，
，
，
在中， 根据勾股定理， 得．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
．
5．A
【分析】分两种情况：；；利用折叠的性质及直角三角形的性质即可完成完成．
【详解】解：当时，如图，
则，
由折叠的性质得：，，，
，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
；
当时，如图，
则，，
，
，
，
，
，
；
综上，的长为或2．
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握折叠的性质，利用分类讨论思想解题是关键．
6．A
【分析】先利用三角形内角和和角平分线定义计算出，则，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到，然后计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
在Rt△PBD中，，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握角直角三角形斜边和直角边的关系为解题关键．
7．D
【分析】连接,由正方形的性质可得,再应用勾股定理求和，最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得．
【详解】解：如图,连接,
四边形和四边形都是正方形
,
在Rt中,
为线段的中点，
故选：D
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解题关键添加辅助线构造直角三角形．
8．B
【分析】根据角平分线的定义推出为直角三角形，然后根据勾股定理求得．
【详解】解：解：∵平分，平分，
∴为直角三角形，
又∵平分平分，
∴，
∴，
由勾股定理可知．
故选：B
【点睛】本题考查角平分线的计算，等腰三角形的判定及性质以及勾股定理的运用．解决本题的关键是熟练掌握勾股定理．
9．C
【分析】利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵的顶点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键．
10．D
【分析】作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵，，
∴，，
根据垂线段最短可知：当时，最小，
则由，可得，解得；
即线段的最小值是．
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
11．
【分析】根据勾股定理得到，，的长度，再判断是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接，
由题意， ，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出是等腰直角三角形是解决本题的关键．
12．15
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形，由翻折不变性可知：设，在中，根据勾股定理列出方程，求出的值，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形．
由翻折不变性可知：，
设，
在中，∵，
∴，
解得．
∴，
∴=．
故答案为．
【点拨】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，翻折的性质，以及三角形的面积公式等，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
13．3
【分析】由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，的长．
【详解】解：设的长为则
折叠后的图形是，
，，．
，
，
又
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得：，
，
即，
化简，得．
．
即的长为
故答案为：3．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
14．
【分析】先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示，
∵底面圆周长为，
∴，
又∵，
∴在中，．
故答案为．
【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
15．
【分析】如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
长方形的长为米，
长方形的宽为3米，
一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，
米，
故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键．
16． 135
【分析】延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，，，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解．
【详解】解：延长，交于点，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，，
在中，，
，
，
，
．
．
故答案为：135；．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，，则可求出答案；
（2）作于点N，由勾股定理得出，则可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：过点B作于点N，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
18．收购站应建在离点处．
【分析】根据，两村到站的距离相等，可得，再根据，，可得，再根据勾股定理可得，设，则，求解方程即可．
【详解】解： 使得，两村到站的距离相等．
∴，
于A，于B，
，
，，
，
设，则，
，，
，
解得：，
∴收购站应建在离点处．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是解题的关键．
19．(1)证明见详解；
(2)；
(3)证明见详解；
【分析】（1）根据和都是等腰直角三角形，可知，则，，结合已有条件可证（），则；
（2）由（1）得，则，，由此可推出，进而可得，根据，，结合勾股定理可知，则；
（3）连接，，如图所示：根据，，可得，则，结合条件可证，则，进而可知，由（1）得，由（2）得∠°，由此根据勾股定理可证．
【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴（），
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
由（2）得∠°，
∴在中，，
即．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键．
20．(1)
(2)小汽车没超速，理由见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）先计算，段的速度，再与比较即可．
【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
即B，C间的距离为．
（2）这辆小汽车没有超速．
理由：∵，
而，
而，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，利用直角三角形的性质求解是解本题的关键．
21．(1)是，理由见解析
(2)2.5米
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求得x即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴是直角三角形，即，
∴是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）（2）设，则，
∵在中，
∴，即 ，解得，
∴原来的路线AC的长为2.5米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页