7.3复数的三角表示 同步练习（含解析）

第七章7.3复数的三角表示同步练习
2022-2023学年下学期高一数学人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列结论中正确的是（ ）．
A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0不能写成三角形式；
D．复数0的辐角主值是0．
2．欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
3．已知复数，则（ ）．
A． B． C． D．
4．设，则复数的辐角主值为（ ）
A． B． C． D．
5．复数化成三角形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．复数的辐角主值是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
8．向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是（ ）
A．负实数 B．纯虚数
C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)
9．已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
10．设z∈C，且|z|＝1，当|（z﹣1）（z﹣i）|最大时，z＝（ ）
A．﹣1 B．﹣i C．﹣﹣i D． +i
11．复数的辐角主值是（ ）
A．－40° B．310° C．50° D．130°
12．若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
14．任何一个复数 (其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（ ）
（1）
（2）当时，
（3）当时，
（4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数
A．1 B．2 C．3 D．4
15．已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（ ）
A．若i，则i
B．若i，则i
C．若i，i，则i
D．若i，i，则i
二、填空题
16．将复数－2表示成三角形式是______．（用辐角主值）
17．复数（i为虚数单位）的辐角主值为______．
18．计算，并用复数的代数形式表示计算结果：______．
19．若（i为虚数单位），则使的的一个可能值是______．
20．欧拉公式（i为虚数单位）可知，当时，______实数．（填写是或否）
三、解答题
21．设非零复数满足关系，且的实部为，其中．
(1)当时，求复数，使在复平面上对应的点位于实轴的下方；
(2)是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，请求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由．
22．设i为虚数单位，n为正整数，．
(1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）；
(2)若复数，利用（1）的结论计算．
23．如果复数，，（其中，，i为虚数单位）．求证：．
24．已知复数z满足，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设在复平面上的对应点分别为A B C，求△ABC的面积.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.
【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误；
B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；
C：其中，故实数0能写成三角形式，错误；
D：复数0的辐角主值不唯一，错误.
故选：B
2．A
【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②
【详解】①
②
则①②均正确
故选：A
3．A
【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果.
【详解】由已知，复数，
故选：A．
4．B
【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．
【详解】解：，
因为，
所以，所以，
所以该复数的辐角主值为．
故选：B.
5．A
【分析】求出复数的模与辐角主值，从而即可求解.
【详解】解：设复数的模为，则，，
所以复数的三角形式为．
故选：A.
6．D
【分析】将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值．
【详解】复数
，
所以复数的辐角主值是．
故选：D
7．C
【分析】由对应的辐角主值可得其三角形式.
【详解】，辐角主值为，则其三角形式为.
故选：C.
8．B
【分析】设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)、z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由可得，
利用复数除法运算的三角表示即可得出结果.
【详解】由题意得，
设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，
由，得或，
.
所以为纯虚数．
故选：B.
9．B
【分析】根据三角形式的表达式知，的三角形式是，根据诱导公式判断选项符合的即可.
【详解】由题知，的三角形式是，
结合诱导公式知，，
故选：B
10．C
【分析】可设出复数的三角函数形式，再结合的三角函数知识进行求解．特别注意：令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝
【详解】解：|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，则|（z﹣1）（z﹣i）|＝2
令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ﹣sinθ﹣cosθ+1＝
∴当t＝即θ＝ 时，|（z﹣1）（z﹣i）|取最大值，此时，z＝﹣﹣i．
故选：C
11．B
【分析】将复数写成（）即可求出所求复数的辐角.
【详解】复数，所以该复数的辐角主值是.
故选：B
12．A
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】当时，，
当时，可以取，此时，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
13．B
【分析】由已知求得复数所对应点的坐标，结合三角函数的象限符号得答案．
【详解】解：由，
所以，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，，
，
所以，，
复数在复平面内所对应的点位于第二象限．
故选：．
14．B
【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可
【详解】解：对于（1），因为，所以，
所以，所以，所以（1）正确，
对于（2），当时，，则，所以（2）错误，
对于（3），当时，，则，所以（3）正确，
对于（4）， 当时，，则当时， ，所以（4）错误，
所以正确的有2个，
故选：B
15．A
【分析】A. ii，所以该选项正确；
B. i，所以该选项错误；
C. i，所以该选项错误；
D. ii.所以该选项错误.
【详解】A. 若i，则ii，所以该选项正确；
B. 若i，则i，所以该选项错误；
C. 若i，i，则i，所以该选项错误；
D. i，i，则ii.所以该选项错误.
故选：A
16．
【分析】直接写出复数－2的三角形式即可.
【详解】
故答案为：
17．##
【分析】将复数写成三角表达形式即可.
【详解】，
故答案为：
18．
【分析】运用三角形式下复数的乘除法则计算即可.
【详解】
故答案为：
19．（答案不唯一）
【分析】 即，可得，，求得．
【详解】解：为虚数单位）， 即，
，，，，.
所以的一个可能值是（满足，）.
故答案为：（满足，）.
20．是
【分析】直接利用欧拉公式求解后即可判断.
【详解】由欧拉公式，
当时，，是实数.
故答案为：是
21．(1)，其中
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意得，在复平面上对应的点位于实轴的下方得，即可解得结果.
（2）根据，可设，，，
，要满足题意需对任意实数均不成立，可推断，进而解得取得最小值的的值.
【详解】（1）因为，且，所以，进而得．
设．
由，得．
又在复平面上对应的点位于实轴的下方，因此．
由此得，其中，
所以，其中．
（2）由，可设，
则，
得
当，即，时，．
因为，所以当时，有最大值，
此时，整理得．
欲使此等式对任意实数均不成立，则，即，
又为正整数，因此只能．
当时，对任意实数，都使无最大值，只有最小值，
此时．
所以，存在，使得只有最小值，而无最大值，
且当取最小值时，的值为．
22．(1)
(2)
【分析】（1）观察规律即可得；
（2）由特殊角三角函数得，结合（1）的结论及诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）由观察得；
（2），
由（1）得
23．证明见解析
【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式即可得证明.
【详解】因为，，
所以
，
故.
24．(1)或
(2)1
【分析】（1）设，根据已知条件列方程求得，由此求得.
（2）求得的坐标，从而求得三角形的面积.
【详解】（1）设，
①，
的虚部为，所以②，
由①②解得或.
所以或.
（2）当时，，，
所以，
，
所以三角形的面积为.
当时，，，
所以，
，所以三角形的面积为.
答案第1页，共2页
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