湖南省邵阳市邵东市名校2022-2023学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

邵东市名校2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为R,集合P={x|x2-4x>0},Q={x|log2(x-1)<2},则( RP)∩Q=(　　)
A.[0,4] B.[0,5) C.(1,4] D.[1,5)
2.函数f(x) = 的图象大致为(　　)
3.某次坐议组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为(　　)
A.198 B.268 C.306 D.378
4.已知两条不同的直线l,m和一个平面α,下列说法正确的是(　　)
A.若l⊥m,m∥α,则l⊥α B.若l⊥m,l⊥α,则m∥α
C.若l⊥α,m∥α,则l⊥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m
5.在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,n∈N*),则a2 020=(　　)
A. B.1 C. -1 D.2
6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6,则|AB|=(　　)
A.5 B.7 C.10 D.14
7.在△ABC中,=0,=2, ||=λ||, 若 =9,则实数λ=(　　)
A. B. C. D.
8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)<1-f '(x), f (0)=4,则不等式f(x)<1+的解集为(　　)
A.(1,+∞) B.(-∞,1)　 C.(0,+∞) D.(-∞,0)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.函数f(x)=cos2x --2sinx+cosx+,下列四个命题正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)在-上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x
10.在的展开式中,下列说法正确的是(　　)
A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大
C.第3项的系数最大 D.所有项的系数和为64
11.已知数列{an}满足a1=1, an+1=(n∈N*),则下列结论正确的有(　　)
A.+3为等比数列 B.{an}的通项公式为an=
C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn=2n+2-3n- 4
12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=.则下列结论正确的是(　　)
A.三棱锥A-BEF的体积为定值
B.当E向D1运动时,二面角A-EF-B逐渐变小
C.EF在平面ABB1A1内的射影长为
D.当E与D1重合时,异面直线AE与BF所成的角为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.有三台车床加工同一型号的零件,第一台加工的次品率为0.06,第二、三台加工的次品率均为0.05,加工出来的零件混放在一起.已知第一、二、三台车床加工的零件数分别占总数的0.25, 0.3, 0.45,任取一个零件,是次品的概为　　　　　.
14.在各项均为正数的等比数列{an}中,a5a6=8,则数列{log2an}的前10项和等于　　　.
15. 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若＝，则C的离心率为　　
16.已知函数f(x)=2ln x, g(x)=ax2-x-(a>0).若直线y=2x-b与函数y=f(x), y=g(x)的图象均相切,则a的值为　　　　　;若总存在直线与函数y=f(x), y=g(x)的图象均相切,则a的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,　　　　,DC=2.
在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.
① 3AB=4BC,sin∠ACB=;
② tan∠BAC+=;
③ 2BCcos∠ACB=2AC-AB.
(1)求∠DAC的大小; (2)求△ADC面积的最大值.
18. (12分)如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥菱形ABCD所在的平面,∠ABC=60°,点E,F分别是BC,PC的中点,M是线段PD上的点(不包含端点).
(1)求证:平面AEM⊥平面PAD;
(2)当AB=AP时,是否存在点M,使直线EM与平面ABF所成角的正弦值为 若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
19. (12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,
在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个
20.(12分)设Sn是等比数列{an}的前n项和,满足S3,S2,S4成等差数列,已知a1+2a3+a4=4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=, n∈N*,记Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1, n∈N*,若对于任意n∈N*,都有aTn21. (12分) 已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆E的离心率为,过焦点且垂直于长轴的弦长为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线l与椭圆E交于M,N两点(点M,点N在x轴的同侧),当F1M∥F2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值.
22. (12分) 已知函数（其中，为自然对数底数）．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围．
邵东市名校2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学试卷答案
一、单选
1.C　由P={x|x2-4x>0}={x|x>4,或x<0},得 RP={x|0≤x≤4},集合Q={x|12.A　f(1)=>0,排除选项C,D;由f(x)=0,得函数没有零点,排除选项B.
3.A　分两种情况,若选两个国内媒体一个国外媒体,有=90(种)不同提问方式;若选两个外国媒体一个国内媒体,有=108(种)不同提问方式,
所以共有90+108=198(种)提问方式.故选A.
4.C
5．A　a2=1-=1-2=-1,a3=1-=1+1=2,a4=1-=1-,可得数列{an}是以3为周期的周期数列,
∴a2020=a3×673+1=a1=故选A.
6.C　由题意可知抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),直线AB的斜率一定存在,
故设直线AB的方程为y=k(x-1),点A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2==2+,
故AB中点的横坐标为=1+,|AB|=x1+x2+p=4+
由已知得=32+1+2,即2+2=32+1+2,解得k2=所以|AB|=10
7.D　由=0,知O为△ABC的重心,所以)=).又因为=2,
所以所以9=3()·()
=-2+3,所以2=3,λ=故选D.
8.C　解析由f(x)<1+得exf(x)0,所以F'(x)<0,故函数F(x)在R上单调递减,由F(0)=e0f(0)-e0-3=4-1-3=0,故当x>0时,F(x)<0,即f(x)<1+的解集是(0,+∞),故选C.
二、多选
9.BD　f(x)=cos2x--sin2x+=sin2x-cos2x=sin2x-,所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;当x∈-时,2x--,函数y=sin2x-在此区间不单调,故C错误;当将函数f(x)的图象向左平移单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+=sin2x,故D正确.故选BD.
10.BC　解析展开式的通项为Tr+1=(-x)r=26-r(-1)rx2r-6.
由2r-6=0,得r=3,所以常数项为23×(-1)3×=-160,故A错误;
展开式共有7项,所以第4项二项式系数最大,故B正确;
由通项公式可得r为偶数时,系数才有可能取到最大值,
当r=2时,该项系数最大为240,故C正确;
令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=(2-1)6=1,所有项的系数和为1,故D错误.
故选BC.
11.ABD　因为+3,所以+3=2+3).又因为+3=4≠0,所以+3是以4为首项,2为公比的等比数列,+3=4×2n-1,即an=,{an}为递减数列,的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2(21+22+…+2n)-3n
=2-3n=2n+2-3n-4.故选ABD.
12.AC　连接BD,AC,交于点O,由正方体性质知BDD1B1是矩形,
∴S△BEF=EF·BB1=1=,由正方体性质知AO⊥平面BDD1B1,
∴AO是点A到平面BDD1B1的距离,即AO=,∴VA-BEF=S△BEF×AO=,∴VA-BEF是定值,故A正确;
连接A1C1与B1D1交于点M,连接AD1,AB1,
由正方体性质知AD1=AB1,M是B1D1中点,∴AM⊥EF,又BB1⊥EF,BB1∥AA1,∴二面角A-EF-B的平面角即为∠A1AM,在直角三角形AA1M中,tan∠MAA1=为定值,故B不正确;
如图,作FH⊥A1B1,EG⊥A1B1,FT⊥EG,垂足分别为点H,G,T.在直角三角形EFT中,FT=cos45°×EF=,∴HG=FT=,故C正确;
当E与D1重合时,F与M重合,连接AC与BD交于点R,连接D1R,D1R∥BM,
异面直线AE与BF所成的角,即为直线AD1与D1R所成的角,
在△AD1R中,AD1=,D1R=MB=,AR=,
由余弦定理得cos∠AD1R=,则∠AD1R=,故D不正确,故选AC.
三、填空
13. 答案0.052 5　
解析依题意,任取一个零件,它是次品的概率为0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.
14.　答案15
∵数列{an}为各项均为正数的等比数列,且a5a6=8,∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=8,
log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9+log2a10=log2(a1a10)+log2(a2a9)+log2(a3a8)+log2(a4a7)+
log2(a5a6)=5log2(a5a6)=5log28=15.
15. 答案e＝
由题可知＝b，＝c，
所以＝a，
在Rt△POF2中，cos ∠PF2O＝＝，
因为在△PF1F2中，cos ∠PF2O
＝＝，
所以＝ c2＝3a2，所以e＝.
16　
由题意,f'(x)=,g'(x)=2ax-1,因为直线y=2x-b与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,所以解得x=1,a=设直线l与y=f(x)的图象相切于点P1(x1,y1),x1>0,则切线方程为y-2lnx1=(x-x1),代入g(x)=ax2-x-(a>0),得x-2+2lnx1=ax2-x-,即ax2-x+=0.所以Δ=-4a=0.
所以a=(x1>0).
令y=(x1>0),
则y'=
令y'=0,解得x1=1.
当x1>1时,y'>0,y单调递增,当0四、解答
17.解若选①:
(1)在△ABC中由正弦定理可得,
又3AB=4BC,sin∠ACB=,可得sin∠BAC=,∴∠BAC=
又AB⊥AD,∴∠BAD=,
∴∠DAC=
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=AC·ADsin∠DAC4
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为
若选②:
(1)由tan∠BAC+=,
可得∠BAC=,
又AB⊥AD,∴∠BAD=,
∴∠DAC=
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=AC·ADsin∠DAC4
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为
若选③:
(1)2BCcos∠ACB=2AC-AB,由正弦定理得
2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ABC-sin∠ACB,
2sin∠BACcos∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-sin∠ACB,
可得cos∠BAC=,
∴∠BAC=
又AB⊥AD,∴∠BAD=,
∴∠DAC=
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=AC·ADsin∠DAC4当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为
18.(1)证明连接AC.因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,
则△ABC是正三角形,
∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.
又AD∥BC,∴AE⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,AE 平面ABCD,∴PA⊥AE.
又PA∩AD=A,∴AE⊥平面PAD.
∵AE 平面AEM,∴平面AEM⊥平面PAD.
(2)解存在.以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,
不妨设AB=AP=2,则AE=.
可知A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),F,1,P(0,0,2),
则=,1,=(,-1,0).
设=λ=λ(0,2,-2)(0<λ<1),
则M(0,2λ,2-2λ).
设平面ABF的一个法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,则y=,z=-,
得n=(1,,-).
设直线EM与平面ABF所成角为θ,=(-,2λ,2-2λ),
则sinθ=,
化简得4λ2-8λ+1=0,则λ=(0<λ<1).
故存在点M满足题意,此时.
.19解(Ⅰ)由柱状图　并以频率代替概率　可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.
从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(Ⅲ)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当n=19时　,
EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.
当n=20时　,
EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.
20.解(1)设数列{an}的公比为q,
由S3+S4=2S2,得S3-S2+S4-S2=0,
即有a3+a4+a3=0,得q=-2.
∵a1+a4=4-2a3,∴a1+(-2)3a1=4-2×4a1,解得a1=4.
故an=4×(-2)n-1=(-2)n+1.
(2)由(1)知bn=,
则bnbn+1=
∴Tn=+++…+=
依题意有即对于任意n∈N*恒成立.
设f(n)==n++6,
由于y=x++6在区间[1,2]上单调递减,在区间[2,+∞)上单调递增,
∴f(n)min=f(3)=,
∴实数a的取值范围为-∞,.
21.解(1)由题可知解得
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)由(1)可知F1(-,0),F2(,0).
延长MF1交E于点M0(图略).
设M(x1,y1),M0(x2,y2),直线MF1的方程为x=my-.
联立得(m2+4)y2-2my-1=0.
因为m2+4>0,Δ=12m2+4(m2+4)>0,
所以y1+y2=,y1y2=-.
设F1M与F2N的距离为d,则四边形F1F2NM的面积S=(|F1M|+|F2N|)d=(|F1M|+|F1M0|)d=|MM0|d=.
又因为|F1F2||y1-y2|=·2|y1-y2|
=
==2,
当且仅当,即m=±时,等号成立,
所以四边形F1F2NM面积的最大值为2.
22.(1)、【小问1详解】
当时，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
当时，由得：
①若，则恒成立，故在R上单调递增；
②若，由得：或，由得:此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，由得：或，由得:
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在R上单调递增;
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
【小问2详解】
不等式恒成立，可得：
对恒成立，即，恒成立.
令，和在均为大于0的增函数，
所以在为增函数，由知，得：，
设，
故当时，单调递增；
当时，单调递减；
故
由题意知解得
故的取值范围为