参考答案
1．A
【必备知识】向量的加减运算
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】设O为坐标原点，
OP OA AP OA 2 PB OA 2 OB OP ,
整理得OP 2OB OA 2,8 2,3 0,5 .故选：A
2．C
【必备知识】复数的运算
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】由 z 3 i得： z 3 i
z 3 i (3 i)i
所以 2 1 3ii i i
z
所以 在复平面内对应的点为 ( 1, 3)，位于第三象限故选：C.
i
3．D
【必备知识】立体几何的直观图
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
1 sin
【解析】还原平面图形为平行四边形OABC，OA CB 2 ,OA,CB 6之间距离为 2 2 ，
sin(π )
4
A O C 30 ,O C 1 OC 2 2 OA ,所以平面图形为非菱形的平行四边形，因此原图形的面
积是 2 2，故选：D
4．C
【必备知识】正弦定理
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】
— 1—
2 3 2
解：在
a b
ABC中，BC 2 3 ，AC 2， A ，由正弦定理可得 ，即 ，解得3 sin A sin B sin sin B
3
sin B 1 ，因为B 0, 5 ，所以 B 或B ，又 a b，所以 A B ，所以 B 6 6 ；故选：C2 6
5．C
【必备知识】确定平面
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】对于 A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，
故 A错误；
对于 B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故 B错误；
对于 C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可
以确定一个平面，故 C正确；
下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．
证明：如图为四边形 ABCD，其中 E， F ，G，H分别为 AD， AB， BC，CD的中点，
连接 BD， FE，GH，
1 1
由 E， F 为 AD， AB，则 FE∥BD，且 FE= BD，同理GH∥BD，且GH = BD，
2 2
所以 FE GH，且 FE=GH，所以四边形 EFGH 为平行四边形．
对于 D，当点A， B，C在一条直线上时，平面 和与平面 也可能相交，故 D错误．故选：C．
6．C
【必备知识】向量的共线
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】因为 a / /b ，所以 x1y2 x2 y1，即：m2 2,m 2故选：C
7．B
【必备知识】三棱柱的外接球
【关键能力】数学运算能力、直观想象
【核心素养】数学运算、直观想象
— 2—
【难度】1
【解析】设 AC x,BC y,B1 A1C1B的外接球半径为 r，
4π 8 2π
则 B 31 A1C1B的外接球的体积为 r , r 2．
3 3
x2 y2 4 (2r )2 8, x2 y2 4 ．
B ACC A V 1 S BC 1 1 2 2 4又阳马 1 1的体积为 B ACC1A ACC A 2 xy x y ，1 3 1 1 3 3 3
B ACC A 4所以阳马 1 1体积的最大值为 ．故选：B．3
8．D
【必备知识】外接球
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】
设 PA PB PC 2x， E,F分别为 PA, AB中点，
1
EF / /PB，且 EF PB x， ABC为边长为 2的等边三角形，
2
CF 3又 CEF 90 CE 3 x2 , AE
1
PA x
2
x2 4 3 x2
AEC 中余弦定理 cos EAC ，作 PD AC 于 D ，
2 2 x
PA PC，
2 2
D为 AC中点， cos
AD 1
EAC x 4 3 x 1， ，
PA 2x 4x 2x
2x2 1 1 2 2 x2 x ， PA PB PC 2，又 AB=BC=AC=2， PA , PB , PC两两垂直，
2 2
2R 6 4 4 6 6 2 2 2 6 ， R ， V R3 6 ，故选 D.
2 3 3 8
9．AC
【必备知识】向量的加法运算
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】
对于 A:棱柱的所有侧面都是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,故 A正确.
对于 B:只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥,以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体.故 B
错误.
对于 C:正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱,所以必然是长方体,故 C正确.
对于 D:只有截面与底面平行时,截面与底面之间的部分才是棱台,故 D错误.故选:AC.
— 3—
10．BD
【必备知识】向量的相关概念
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】
A a
解：对于 ：若 / /b，b / /c ， (b 0)，则 a / /c，故A错误；
1 3
对于 B：向量 e1 (2,3)，e2 , ，所以 e1与e2 不共线， 2 4
所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故 B正确；
r
对于C：已知 a (1,2)，b (1,1) r，则 a b (1 , 2 )，
r r r
所以： a (a b ) 0，且 a和 a b 不共线．
即 (1 ) 2(2 ) 0 ，且 2 1 2
5解得 且 0，故C错误；
3
对于D：非零向量 a和b 满足 | a | | b | | a b |，
则以 a,b ,a b为边长的三角形为等边三角形，
所以 a与 a b的夹角为30 ，故D正确．故选： BD．
11．BCD
【必备知识】解三角形
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】选项A. 在 ABC中, 若 sin 2A sin 2B ,则2A 2B或 2A 2B
所以 A B或 A B
，所以 ABC为等腰或直角三角形. 故A 不正确.
2
选项B. 在 ABC中, 若 A B ,则 a b，
由正弦定理可得 2Rsin A 2Rsin B ,即 sin A sin B，故B正确.
选项C. 若 ABC为锐角三角形，则 A B
2
所以 A B 0 ，所以 sin A sin B cos B ,故C正确.2 2 2
选项D. 在 ABC中,若sin A sin B
a b
，由正弦定理可得 ，
2R 2R
即 a b，所以 A B ，故D正确.故选：BCD
12．ABC
【必备知识】解三角形
【关键能力】数学运算能力
— 4—
【核心素养】数学运算
【难度】2
【解析】因为 ABC满足 sin A : sin B : sinC 2 :3 : 7 ，
所以由正弦定理得 a :b : c 2 :3: 7，
设 a 2m，b 3m， c 7m m 0 ，
因为 ABC的面积 S△ABC 6 3，
1 7m2 4m2 9m2
2
3 3
所以 S 7m 2 4m 2 m
2 6 3 ，
4 2 2
解得m 2，即 a 4，因此A正确；
2
cosC a b
2 c2 16 36 28 1
对于B，由余弦定理得 ，
2ab 2 4 6 2
又C π是三角形内角，因此C ，因此B正确；
3
2R c 2 7 4 21
对于C，由正弦定理知外接圆直径为 sinC sin π 3 ，
3
2 21
则外接圆半径为 ，因此C正确；
3
1
对于D，因为CD是 ABC的中线，所以CD CA CB ，2
2
CD 1
2 1
结合选项A得 CA CB 62 42 2 6 4 cos60 19，4 4
即CD 19，因此D不正确．故选：ABC．
13．-1
【必备知识】复数的运算
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
4
2 2 i 1
2
1 i 2 1 2【解析】 2i 1 ,故答案为：-1 2 2 4 4
14．2
【必备知识】向量的数量积
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】∵ |b|2= | a (a b) |2 | a |2 (a b)2 2a (a b)
— 5—
| a
|2 | a b |2 2 | a | | a b | cos
3
4 4 2 2 2 1 4，
2
所以 |b|=2.故答案为：2.
15．π
【必备知识】圆锥的侧面展开图
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】设圆锥底面半径为r，由题意知母线为 2r，圆锥的底面周长为2 r，
则它的侧面展开图的弧长为： 2 r，
2 r
∴它的侧面展开图的圆心角： .故答案为：π.
2r
16 1． 2
【必备知识】正弦定理
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】因为 3asin B bcos
A
，
3
由正弦定理得 3 sin Asin B sin B sin A
3
．
因为0 B ，得 sinB 0，
所以 3sin A cos A
，
3
1 3
化简得 3sin A cos A sin A，
2 2
解得 tan A 3 ，
3
又因为 0 A ，所以 A ．
6
所以
1
ABC的面积 S bc sin A
1
1．故答案为：
2 2 2
17．(1)2 (2)2
【必备知识】复数的运算
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
2
【解析】（1）解：∵ z1 (a i) ， z2＝4 3i， z1＝iz2，
— 6—
a2 1 3
∴（a i）2＝a2 1 2ai＝3 4i，从而 ，解得 a＝2，
2a 4
所以实数a的值为 2．
2 a2 2ai 1 4 3i 4a2 6a 4 3a2z (a i) 8a 3 i
（2）依题意得： 1 ，
z2 4 3i 25 25
z1 4a2 6a 4 0 1
因为 z 是纯虚数，所以： 2 ，解得： a＝2或 a ；2 3a 8a 3 0 2
又因为a是正实数，所以a＝2．
18 2 5 5 2 5 5．（1） a 3b (10,6)， 4a 2b ( 2, 4)；（2） ( , )或 ( , ) .
5 5 5 5
【必备知识】向量的
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】
a (1,0),3b (9,6), a 3b (10,6) 4a (4,0), 2a
解：（1） ， (6, 4), 4a 2b ( 2, 4).
4a
（2）设与 2b垂直的单位向量的坐标为 (x, y),
2 5 2 5
2x 4y 0, x x 5 5
则 x2
y2 1,
或
y 5 y 5 5 5
2 5
所以与 4a 2b垂直的单位向量的坐标为 ( , 5 )或 ( 2 5 , 5 ) .
5 5 5 5
3
19．(1)a 2 a (2) 3 15或
2 4
【必备知识】正弦定理、余弦定理
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】（1）∵ sin B 2sin A，∴由正弦定理得b 2a，
b2cos A c
2 a2
由余弦定理得 ，
2bc
cos A 7 c 3 7 4a
2 9 a2
∵ ， ，∴ ，化简得 2a2 7a 6 0 ，
8 8 2 2a 3
3
解得 a 2或 a ．
2
3
（2）由（1）知， a 2或 a ，
2
a 3当 时， b 2a 3 c，与题意不符；当 a 2时，b 2a 4 c，符合题意，
2
— 7—
∴b 4
7
，∵ cos A ， A 0, π ，∴ sin A 1 cos2 A 15 ，
8 8
1 1 15 3 15
∴ ABC的面积 S bc sin A 4 3 ．
2 2 8 4
20．(1)高为 6，斜高为 4 3，侧棱长为2 13 (2)表面积是72 3，体积是 48 3
【必备知识】正六棱锥
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】
（1）因为正六棱锥的底面周长为 24，所以正六棱锥的底面边长为 4．
在正六棱锥 S ABCDEF中， SB SC，H为 BC中点，所以 SH BC ．
因为O是正六边形 ABCDEF的中心，所以 SO为正六棱锥的高．
OH 3 BC 2 3，在 Rt△SOH中， SHO 60 ，所以 SO OH tan 60 6．
2
在Rt SOH中， SH SO2 OH 2 4 3．
在Rt SHB中， SH 4 3， BH 2，所以 SB SH 2 BH 2 2 13．
故该正六棱锥的高为 6，斜高为 4 3，侧棱长为2 13．
1 1 1 1
（2）△SBC的面积为 BC SH 4 4 3 8 3，△OBC的面积为 BC OH 4 2 3 4 3，
2 2 2 2
所以正六棱锥的表面积为6 4 3 6 8 3 72 3，
1
体积为 6 4 3 6 48 3 .
3
21 2 6．(1) (2)3 2
8
【必备知识】解三角形
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】
（1）因为 CAE 15 ， AE BC，所以 ACE 75 .
又因为DE DC，所以 DEC 75 ， DEB 180 DEC 105 .
BD DE 4 2
在△BDE中，由正弦定理得 ，即 ，sin BED sin DBE sin105 sin DBE
因为 sin105 sin(60 45 6 2 ) sin 60 cos45 cos60 sin 45 ，
4
sin DBE sin105 2 6所以 .
2 8
— 8—
（2）设 BDE 0 90 ，
因为 S BCD S BDE S
1 1
CDE，所以 4 2sin 2 4 2sin
1
2 2sin ，
2 2 2
整理得3sin 2sin 2 4sin cos .
3
因为 sin 0，所以 cos ，
4
所以 cos BDC cos2 2cos2 1
1
.
8
BDC BC2 BD2 CD2在 中，由余弦定理得 2BD CDcos BDC 16
1
4 2 4 2 18，
8
所以 BC 3 2 .
2
22．（1） k ,k ， k Z ；（2） 3 . 3 6
【必备知识】三角函数和解三角形
【关键能力】数学运算能力
【核心素养】数学运算
【难度】1
【解析】
T 1 2
（1）由题知 A 2， ，则 2
4 4 4
故 f (x) 2sin
2x ．
6
2k 2x 2k 由 ， k Z ，解得 k x k ， k Z
2 6 2 3 6
所以 y f x 的单调递增区间为 k ,k 3 6 ，
k Z ．
（2） f (B) 1 sin 2B
1
6
．
2
B 13 (0, ) 2B
6
, ．
6 6
2B 5 ，B ，
6 6 3
作线段CD的中点 E，因为 AD AC ，故 AE CD．
BE 3
因为 cos a， 即 1 a 2
3 AB 4
．
c 2 c 3
sin BAC a 2
由正弦定理知 ．
sinC c 3
— 9—2022-2023学年高一下学期4月月考
数 学 试 题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．已知点 A(2,3)、B(1, 4)
，且 AP = 2PB ，则点 P 的坐标是（ ）
3 7
A． (0,5) B
． ,2 2
C． (3, 2) D． ( 3,2)
z
2．已知复数 z = 3+ i ，则 （ z 为 z 的共轭复数）在复平面内对应的点位于（ ）
i
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′ = 2，O′C′ =1，∠A′O′C′ = 30° .
则下列叙述正确的是（ ）
A．原图形是正方形
B．原图形是非正方形的菱形
C．原图形的面积是2 3
D．原图形的面积是2 2
4．在 ABC
π
中，若BC = 2 3 ， AC = 2，∠A = ，则∠B=（ ） 3
π π
A． B．
2 3
π π
C． D．
6 4
5．下列命题中真命题是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面
C．四边形四边上的中点可以确定一个平面
D．如果点A ， B ，C∈平面α ，且A ， B ，C∈平面β ，则平面α 与平面β 为同一平面
6 ．已知向量a = (1，m)，b = (m，2)，若a∥b ，则实数m =（ ）
A．1 B． 2
C． 2 或 2 D．0
7．在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底
面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵 ABC A1B1C1 中，AC ⊥ BC, AA1 = 2，
B A C B 8 2鳖臑 1 1 1 的外接球的体积为 π，则阳马B ACC1A1体积的最大值为（ ）
3
A. 2
4
B
3 ． 3
C 8． D．4
3
第1页 共 4 页
8．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F
分别是 PA，AB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为
A．8 6π B．4 6π
C．2 6π D． 6π
二、多选题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．下面关于空间几何体的表述,正确的是（ ）
A．棱柱的侧面都是平行四边形
B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥
C．正四棱柱一定是长方体
D．用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台
10．下列说法中正确的为（ ）
A．若 a // b，b//c ，则a//c
1 3
B．向量e1 = (2,3) e
， 2 = , 能作为平面内所有向量的一组基底
2 4
5
C ．已知 a = (1,2),b = (1,1)，，且a与a + λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ,+∞
3
D．非零向量a和b 满足 a = b = a b ，则a与 a + b 的夹角为 30°
11．在 ABC中，如下判断正确的是（ ）
A．若sin 2A = sin 2B ，则 ABC为等腰三角形 B．若A > B ，则sin A > sin B
C．若 ABC为锐角三角形，则sin A > cos B D．若sin A > sin B，则A > B
12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：
“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，
1 2 2 2
2
开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S = c2a2
c + a b
．现有 ABC 满足4 2
sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 7 ，且 S△ABC = 6 3 ，则（ ）
A．a = 4
B．C
π
=
3
C ABC 2 21． 的外接圆半径为
3
D． ABC CD 19中线 的长为
2
三、填空题:本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
4
13 2 2．计算： i =___________．
2 2
π
14 ．设向量a,b 满足 | a b |= 2,| a |= 2,且a b 与 a的夹角为 ，则 |b|= ___ 3
15．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面展开图的中心角为____________.
π16 ．在 ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a，b ，c，若 3a sin B = b cos A ，bc = 2，则 ABC
3
的面积是______．
第2页 共 4 页
四、解答题:本题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分，共 70 分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
17 2．已知复数 z1 = (a + i) ， z2＝4 3i，其中 a 是正实数．
(1)若 z1＝iz2，求实数 a 的值；
z
(2) 1若 z 是纯虚数，求 a 的值． 2
18 ．已知向量a = (1,0),b = (3, 2) .
（1 ）求出向量a + 3b , 4a 2b 的坐标；
2 4a （ ）求与 2b 垂直的单位向量的坐标.
ABC cos A 719．在 中， = ，c = 3，且sin B = 2sin A．
8
(1)求 a的值；
(2)若b ≠ c，求 ABC 的面积．
20．如图所示，正六棱锥的底面周长为 24，H 是BC 的中点，O
为底面中心，∠SHO = 60°，
(1)求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长
(2)求出六棱锥的表面和体积
第3页 共 4 页
21．在 ABC 中，D 为 AC 的中点， AE ⊥ BC 于点 E，BD = 4，DE = DC = 2 .
(1)若∠CAE =15°，求∠DBE 的正弦值；
(2)若 DE 为∠BDC的平分线，求 BC
π
22 ．已知函数 f (x) = Asin ωx + (A,ω > 0)
π
最大值为2，对称中心与对称轴间的最短距离为 ．
6 4
（1）求函数 y = f (x)的单调递增区间；
（2）已知 ABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为a，b ，c， f (B) =1，D为 BC 的中点，且 AD b ，求
sin∠BAC
的值．
sin C
第4页 共 4 页
