2022—2023学年北师大版数学九年级下册 第二章二次函数　复习练习（含解析）

初中数学试卷 第二章二次函数
一、单选题
1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y=x–3
B．y=x2–（x+1）2
C．y=x（x–1）–1
D．
2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
3．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛物线 的顶点坐标为(　　)
A． B． C． D．
5．抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（　　）
A．±1 B．0 C．1 D．﹣1
6．将拋物线先向左平移2个单位， 再向下平移1个单位， 得到的新拋物线必经过(　　)
A． B． C． D．
7．下列关于二次函数（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而增大；④该函数的图象与函数的图象的对称轴相同.其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②④
8．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3
9．抛物线y＝ ，y＝﹣2018x2+2019，y＝2018x2共有的性质是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．都有最低点
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1.以下结论：①2a＞－b；②4a＋2b＋c＞0；③m（am＋b）＞a＋b（m是大于1的实数）；④3a＋c＜0其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．将抛物线 先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的解析式为　 　．
12．抛物线 的顶点坐标是　 　。
13．若A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是　 　
14．若点(2，5)，(4，5)是抛物线 上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是　 　
15．已知，，都在二次函数的图象上，则、、从小到大排序为　 　．
三、解答题
16．某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个，商场想了两个方案来增加利润:
方案一提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；
方案二:售价不变，但发资料做广告，已知这种商品每月的广告费用m（千元）与销售量倍数p关系为p=-0.4m2+2m，
试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案 请说明你判断的理由.
17．已知二次函数的顶点坐标为（2，4），且其图像与x轴的交点在正方向3个单位处，求此二次函数的解析式．
18．定义｛a，b，c｝为函数y=ax +bx+c的“特征数”.如：函数 的“特征数”是｛1，-2，3｝.将“特征数”为｛1，-4，1｝的函数图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到一个新函数图象，求这个新函数图象的解析式．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).
(I)求抛物线的解析式及它的对称轴；
(Ⅱ)点 在线段OB上，点Q在线段BC上，若 ，且 ,求n的值；
(Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
20．复习课中，教师给出关于x的函数 （k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图像经过（1，0）点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当 时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
四、综合题
21．已知一抛物线 和抛物线 的形状及开口方向完全相同，且经过点
（1）求此抛物线解析式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A.是一次函数，故本选项错误；
B.整理后是一次函数，故本选项错误；
C.整理后是二次函数，故本选项正确；
D.y与x2是反比例函数关系，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据形如“y=kx+b （k≠0）”的函数就是一次函数，形如“ (k≠0）”的函数就是反比例函数，形如“y=ax2+bx+c （a≠0）”的函数就是二次函数，根据定义判断各选项即可得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
则x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1或3.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解进行解答即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x= ＜0，∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，（故①符合题意）；
∵﹣1＜ ＜0，∴2a﹣b＜0，（故②符合题意）；
∵当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，（故③符合题意）；
∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④符合题意）．
综上所述，正确的个数有4个．
故答案为：D．
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴、与y轴的交点判断a，b，c的符号，即可判断abc＞0；
②根据﹣1＜ ＜0，即可求出2a﹣b＜0；
③根据图象可知，当x=﹣2时，y＜0，即可求出4a﹣2b+c＜0；
④根据图象可知，当x=﹣1时，y＞0，得出a﹣b+c＞0，当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，从而求出（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即可求得（a+c）2﹣b2＜0，即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵解析式为
∴顶点为
故答案为：D.
【分析】根据抛物线顶点式的性质进行求解即可得答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：把（0，0）代入y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1得﹣m2+1=0，解得m1=1，m2=﹣1，
而m﹣1≠0，
所以m=﹣1．
故答案为：D．
【分析】抛物线经过原点则c=0且a≠0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解： 将拋物线先向左平移2个单位， 再向下平移1个单位，得到的函数解析式为y=（x-1+2） 2-3-1=（x+1）2-4，
当x=1时，y=4-4=0
∴抛物线经过点（1，0），故A符合题意；抛物线不经过（1，2）和（1，-2），故C，D不符合题意；
当x=0时，y=1-4=-3≠5
∴抛物线不经过点（0，5），故B不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m；根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式；再分别将x=1和x=0代入平移后的函数解析式，求出对应得y的值，据此可作出判断.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由二次函数可知：，抛物线的对称轴为直线，
①由函数可知：，
所以该函数的图象与函数的图象形状相同，故正确；
②把代入该函数解析式得：，
所以该函数的图象一定经过点，故正确；
③由抛物线的对称轴为直线，开口向下，
所以当时，y随x的增大而增大，故错误；
④由函数可知对称轴为直线，
所以该函数的图象与函数的图象的对称轴相同，故正确；
∴综上所述：正确的结论有①②④；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得a=-1，对称轴为直线x=m，根据二次项系数相同的两个二次函数的图象相同可判断①；将x=0代入求出y的值，据此判断②；根据开口方向以及对称轴可判断③；根据对称轴方程可得二次函数y=2x2-4mx-1的对称轴，据此判断④.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝3；
当x＝3时，y＝﹣12；
函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4；
∴﹣12＜t≤4.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b的值，表示出抛物线的解析式，一元二次方程-x2+bx+3-t＝0的实数根可以看作y＝-x2-2x+3与函数y＝t的图象有交点，求出x=-2、3以及函数在-2＜x＜3上的最大值，据此可得t的范围.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线y＝ ，y＝﹣2018x2+2019，y＝2018x2共有的性质是对称轴都是y轴，故答案为：B正确；
y＝ 的开口向上，y＝﹣2018x2+2019的开口向下，y＝2018x2的开口向上，故答案为：A错误；
在y＝ 中，当x＞0时，y随x的增大而增大，在y＝﹣2018x2+2019中，当x＞0时，y随x的增大而减小，在y＝2018x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故答案为：C错误；
抛物线y＝ 和y＝2018x2有最低点，抛物线y＝﹣2018x2+2019有最高点，故答案为：D错误；
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的性质，根据三个函数的解析式及a的值，可得到抛物线的开口方向，对称轴，增减性进行判断，可得答案。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：由图象可得： ，则2a+b=0，故①2a＞－b错误；
由图象可得：抛物线与x轴正半轴交点大于2，故4a+2b+c＜0，故②4a＋2b＋c＞0错误；
∵x=1时，二次函数取到最小值，∴m（am+b）=am2+bm＞a+b，故③m（am＋b）＞a＋b（m是大于1的实数）正确；
∵b=-2a，∴当x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，故④3a＋c＜0错误.
综上所述，只有③正确
故答案为：A
【分析】根据图象得出函数及对称轴信息，分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系的大小关系.
11．【答案】
【解析】【解答】解：将抛物线 先向左平移1个单位后所得到的新抛物线的解析式为
．
故答案为： ．
【分析】根据二次函数左家右减，上加下减的平移规律进行解答即可。
12．【答案】（-1，2）
【解析】【解答】由二次函数的顶点公式y=a(x-h)2+k可知顶点坐标为（h，k），可知抛物线y=-2(x+1)2+2中的h=-1，k=2，所以抛物线的顶点坐标为（-1，2）。
故答案为：（-1，2）
【分析】根据二次函数的顶点公式y=a(x-h)2+k可得顶点坐标。
13．【答案】y2＜y1＜y3
【解析】【解答】解：抛物线对称轴直线为 ，开口向上
点A、B、C三个点与对称轴的水平距离分别为2、1、3，且点C在对称轴右侧，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为y2＜y1＜y3．
【分析】根据函数解析式的特点，对称轴为X=-2，图像开口向上；利用y随X的增大而减小，可判断y2y1，即可得出答案。
14．【答案】x=3
【解析】【解答】解：∵点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．
∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x= =3．
故答案为：x=3.
【分析】根据点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等，计算求解即可。
15．【答案】
【解析】【解答】解：二次函数，则，开口向下，对称轴为，
则二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小，
，，到对称轴的距离分别为、、
∵，
∴
故答案为：
【分析】利用二次函数的性质求解即可。
16．【答案】解：设涨价x元,利润为y元，则①;y=(50十x-40)(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x-20)2+9000,
∴方案一的最大利润为9000元②y=(50-40)×500p-1000m=-2000m2+9000m=-2000(x-2.25)2+10125,∴方案二的最大利润为10125元;
∴选择方案二能获得更大的利润.
【解析】【分析】根据利润y=每一件的利润×销售量，可得到y与x的函数解析式，再利用方案一求出最大利润；然后求出方案二的利润，比较大小可得答案。
17．【答案】解：∵顶点坐标为（2，4），
设二次函数表达式为 ，
由题意可得：二次函数与x轴交于（3，0），代入，
得： ，
解得：a=-4，
∴二次函数的解析式为 ．
【解析】【分析】根据顶点坐标设出函数表达式 ，再根据题意得到点（3，0)，代入即可。
18．【答案】解：由题意得： “特征数”为｛1，-4，1｝的函数是y=x2-4x+1，
配方得：y=(x-2)2-3 ，
则图象先向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到一个新函数为，
y=(x-2+3)2-3-2=x2+2x-4.
【解析】【分析】根据函数“特征数”的定义写出“特征数”为｛1，-4，1｝的函数式，然后配方，再通过“横坐标左加右减，纵坐标上加下减”的方法得出平移后的函数式即可.
19．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线经过原点O，
∴抛物线解析式为 .
∵抛物线与x轴交于点(5，0)，
∴ ，解得 .
∴抛物线解析式为 .
，
∴抛物线的对称轴为直线 .
（Ⅱ）∵点C在抛物线 上，
∴ ，解得 (舍)， .
∴点C坐标为(8，4).
过C作 轴，垂足为E，连接AB.
在 中， .
同理，可求得 ， .
∴ .
∴ .
在 和 中， ， ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ， .
∴ ，
解得 .
（Ⅲ）∵抛物线的对称轴为 ，
∴设点M的坐标为 .
①当 ， 为顶角时，
，解得 .
②当 ， 为顶角时，
，解得 .
③当 ， 为顶角时，
，解得 .
此时点 为AB的中点，与点A，B不构成三角形.
综上可得，点M的坐标为 ， ， ， .
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可，根据x=- 得出对称轴即可；
（2）把C（m，4）代入解析式求出m的值,可得C点坐标,过C作 轴,垂足为E,连接AB.根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，根据勾股定理逆定理可得∠BCA=90°，利用HL可证明Rt△AOP≌Rt△ACQ， 即可得出OP=CQ，根据OP=2BQ列方程求出n的值即可；
（3）分别讨论AB=AM、BM=BA、MA=MB三种情况，设点M的坐标为 ，利用勾股定理列方程求出t的值即可.
20．【答案】解：①真，②假，③假，④真.理由如下：
①将（1，0）代入 ，得 ，解得 .
∴存在函数 ，其图像经过（1，0）点.
∴结论①为真.
②举反例如，当 时，函数 的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.
③∵当 时，二次函数 （k是实数）的对称轴为 ，
∴可举反例如，当 时，二次函数为 ，
当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大.
∴结论③为假.
④∵当 时，二次函数 的最值为 ，
∴当 时，有最小值，最小值为负；当 时，有最大值，最大值为正.
∴结论④为真.
【解析】【分析】①将（1，0）代入函数解析式中，求出k值，然后判断即可；
②先考虑函数是一次函数时即可判断真假；
③先求出对称轴，然后举出反当 时的函数解析式，利用二次函数的增减性即可判断；
④先求出函数的最值，分别求出当k＞0，k＜0时的最值的符号，然后判断即可.
21．【答案】（1） 抛物线 的形状和开口方向与 相同，
，
，
图象经过点 代入得： ，
解得： ，
抛物线的解析式是 ；
（2） ，
即抛物线的顶点坐标是 .
【解析】【分析】（1）由抛物线 的形状和开口方向与 相同，可得 ，然后把 代入求解即可；（2）把 配方为 求解即可.