2022—2023学年北师大版数学九年级下册第三章圆　复习练习（含解析）

初中数学试卷 第三章圆
一、单选题
1．已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（　　）
A． B．2π C．3π D．12π
2．如图，已知点 、 、 都在 上， ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，如图，点 C、D 在⊙O 上，直径 AB=6 cm，弦 AC，BD 相交于点 E．若 CE=BC， 则阴影部分面积为(　　)
A．p - B． p -
C． p - D． p -
4．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图， 为 的外接圆，已知 为130°，则 的度数为（　　）
A．50° B．80° C．100° D．115°
6．如图，⊙O的半径为3， 是⊙O的内接三角形，过点A作AD垂直BC于点D.若 ， ，则 长是（　　）
A． B．4 C． D．
7．下列说法正确的是（　　）
A．圆的任意一条直径都是它的对称轴
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆中最长的弦是直径
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆O上，且OC DB，连接AD、CD，若∠C=28°，则∠A的大小为(　　)
A．30° B．28° C．24° D．34°
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝，则BC的长为（　　）
A． B．3 C． D．
10．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从 地走到 地有观赏路（劣弧 ）和便民路（线段 ）.已知 、 是圆上的点， 为圆心， ，小强从 走到 ，走便民路比走观赏路少走（　　）米.
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长为　 　．
12． 150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是　 　cm.
13．如图，在 中， ， ， ，以 为圆心， 为半径画弧交 的延长线与点 ，则弧 的长为　 　．
14．如图，圆心都在 轴正半轴上的半圆 ，半圆 ，……半圆 与直线l相切．设半圆 ，半圆 ，……，半圆 的半径分别是 ， ，……， ，则当直线l与x轴所成锐角为 ，且 时， 　 　．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为　 　 cm.
三、解答题
16．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD为直径，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），设∠DAB＝α，∠ACB＝β，小明同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α 30° 35° 40° 50° 60° 80°
β 120° 125° 130° 140° 150° 170°
猜想：α关于β的函数表达式，并给出证明．
17．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）
18．如图所示，扇形OAB从图①无滑动绕着点A旋转到图②（∠O’AO=90°）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知∠O=60°，OA=2。
（1）求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留）
（2）点O所走过的路径与直线l 围成的面积是多少？（结果保留π）
19．如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE=1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G。
（1）证明∠EFG=90°．
（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积。
（3）在点F整个运动过程中，
①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长。
②连接EG，若 时，求⊙O的半径(请直接写出答案)。
20．已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）若tanE= ，⊙O的半径为3，求OA的长．
四、综合题
21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD=4， ，求AB的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：根据弧长公式：l= =3π，
故答案为：C．
【分析】根据弧长计算公式l=即可直接算出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可知∠C是弧AB所对的圆周角，
故 的度数是2×∠C=70度.
故选B.
【分析】根据圆心角，圆周角的关系即可解答.
3．【答案】B
【解析】【解答】连接OD、OC，
∵AB是直径，AB=6
∴∠ACB=90°，OD=OC=3
∵CE=BC，
∴∠DBC=∠CEB==45°，
∵
∴∠DOC=2∠DBC=2×45°=90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴S阴影=S扇形DOC S△ODC=
故答案为：B
【分析】连接OD、OC，利用圆周角定理可证∠ACB=90°，根据CE=BC，可证得∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，然后根据S阴影=S扇形DOC S△ODC即可求求解。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴的长为：
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠OCA=∠A=50°，由圆周角定理可得∠BOC=2∠A=100°，然后根据弧长公式进行计算.
5．【答案】C
【解析】【解答】如图，在优弧 上取一点D，连接AD、CD，则四边形ABCD是 内接四边形，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】如图，在优弧 上取一点D，连接AD、CD，则四边形ABCD是 内接四边形，可得
，利用圆周角定理即得.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：连接AO，OB，过点O作OM⊥AB，
∴∠AOM= ∠AOB，AM=BM= AB，
又∵∠C= ∠AOB，
∴∠AOM=∠C，
∵ ， ，AD⊥BC，
∴sin∠AOM=sin∠C= ，
又∵AO=3，
∴AM= AO×sin∠AOM=3× = ，
∴AB=2× = .
故答案为：D.
【分析】连接AO，OB，过点O作OM⊥AB，由等腰三角形的性质可得∠AOM=∠AOB，AM=BM=AB，由圆周角定理可得∠C=∠AOB，推出∠AOM=∠C，然后根据等角的同名三角函数值相等可得sin∠AOM=sin∠C= ，据此即可求出答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，不符合题意；
D、圆中最长的弦是直径，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据圆的定义，弧，弦等的定义对每个选项一一判断即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵OC//BD，
∴∠BDC=∠C=28°，
∴∠BOC=56°，
∵OC//BD，
∴∠B=∠BOC=56°，
∵AB是⊙O的直径，
∵∠ADB=90°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；
故答案为：D
【分析】证明∠B=∠BOC=56°，再证明∠ADB=90°，即可求出答案。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：连接CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC，
∴sin∠BDC＝，
∵BD＝4，
∴BC＝3.
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC，然后根据正弦函数的概念进行计算.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B= （180°-∠AOB）=30°，
在Rt△AOC中，OC= OA=9，
AC= ，
∴AB=2AC= ，
又∵ = ，
∴走便民路比走观赏路少走 米，
故答案为：D.
【分析】作OC⊥AB于C，由垂径定理可得AC=BC，由等边对等角和三角形内角和定理可得∠A=∠B=（180°-∠AOB），在Rt△AOC中，用勾股定理可求得AC的值，再根据AB=2AC可求得AB的值，用弧长公式l=可求得弧AB的值，再求差即可求解.
11．【答案】
【解析】【解答】解：圆的半径为2，则60°圆心角所对的弧长＝＝．
故答案为：．
【分析】直接根据弧长公式“”列式计算，即可得出结果.
12．【答案】6
【解析】【解答】解：设圆的半径为x，由题意得：
=5π，解得：x=6，故答案为：6.
【分析】设圆的半径为x，根据弧长公式列出方程，求出x的值即可.
13．【答案】
【解析】【解答】∵ 中， ， ，
∴ ，
∴
结合题意，得弧 的长为：
故答案为： ．
【分析】结合题意，根据直角三角形两锐角互余、含 的直角三角形性质，得 ， ；根据补角的性质计算，得 ；再根据弧长公式计算，即可得到答案．
14．【答案】
【解析】【解答】解：过点 分别作 交l于点A，B，C，
∵半圆 ，半圆 ，……半圆 与直线 相切，设半圆 ，半圆 ，……，半圆 的半径分别是 ， ，……， ，
．
∵ ，
．
在 中， ，
，
．
在 中， ，
，
．
同理可得 ，
故答案为： ．
【分析】根据图形找出规律求解即可。
15．【答案】
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB是O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE= CD=3cm，
∵弧BC=弧BC， ∠CAB=22.5°
∴∠COE=2∠CAB=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC= CE= cm，
故答案为： .
【分析】连接OC，利用垂径定理可求出CE的长，利用圆周角定理可求出∠COE的度数；由此可证得△COE是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长.
16．【答案】解：结论是：β﹣α＝90°， 证明：连接BD， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠DBA＝90°， ∵∠DAB＝α， ∴∠D＝90°﹣α， ∵B、D、A、C四点共圆， ∴∠ACB+∠D＝180°， ∵∠ACB＝β， ∴90°﹣α+β＝180°， ∴β﹣α＝90°
【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠DA＝90°，根据三角形内角和定理求出∠D＝90°﹣α，根据圆内接四边形的性质得出∠ACB+∠D＝180°，代入后求出即可．
17．【答案】解：连AC，则AC为直径，即AC=20，
∵正方形ABCD中，
AB=BC，∠B=90°，
∴在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，
2AB2=202，
∴AB2=200，
= =（25π﹣50）米2．
【解析】【分析】连AC，易证AC是圆的直径，利用勾股定理，在Rt△ABC中，求出AB2，再由，计算可求解。
18．【答案】（1）解：由图①到图②：LO= ×2π
= ×2π×2
=π
（2）解：
答：点O所走过的路径与直线l围成的面积是 π。
【解析】【分析】（1）扇形OAB一共转动了3次，从图①到图②，点O运的的轨迹是一个以A为圆心，OA为半径的四分之一圆弧，从图②开始到图②结束，即从O'A垂直与l旋转到O'B'垂直于l，点O运动的轨迹是一段直线段，长度与弧AB的长度相等，从图②旋转到图③，点O运动的轨迹是一个以B''为圆心，O''B''为半径的四分之一圆弧，把三次运动的轨迹相加即可求出由图①到图③点O所运动的路径长；
（2）点O所走过的路径与直线l围成的面积是一个半圆与长为，宽为2的矩形的面积的和。
19．【答案】（1）证明：连结 EG，
在正方形 ABCD 中，得∠C=90°
∴EG 为⊙O 的直径
∴∠EFG=90°
（2）解：如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADF=45°，MN=AD，
∴ND=NF，
∴AN=FM，
∵∠MFG=∠AFN，∠MFG+∠MFE=∠AFN+∠FAN，
∴∠MFE=∠FAN，
∴△AFN≌△FEM（AAS），
∴FN=AM，EM=FN，
设AN=x, 则ND=EM=BM-BE=x-1,
∵AN+ND=4，
∴x+x-1=4,
∴x=,
∴FN=EM=BM-BE=-1=，
∴S△AFD=AD×FN=×4×=3.
（3）①1）如图，当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，
∵∠EFH+∠HFG=∠IFG+∠HFG，
∴∠EFH=∠IFG，
∴△EHF≌△GIF（AAS），
∴FH=FI，
又∵FH=BH，
∴BH=FI=HC=2,
∴BF=BH=2.
2）当CG=EF时，
∵EF=CG，
∴FG∥EC，
∵∠C=90°，
∴∠EFG=90°，∠FEC=90°，
∴四边形FECG为矩形，
又∵EF=BE，
∴BF=BE=.
3）当FG=CG，如图，过F点作FN⊥BC，
∵FG=CG，
∴∠FEG=CEG，
∵∠C=∠EFG=90°，
∴∠FGE=∠CGE，
∴EF=EC=BC-BE=4-1=3，
设EN=x,
则FN=BN=x+1,
∵EF2=FN2+EN2，
∴32=(x+1)2+x2,
解得x=,
则BN=，
BF=EN=.
②如图，作FH⊥EC，FK⊥CD，
△FKG∽△FHE，
∴,
设FH=k, 则FK=2k,
∴BH=FH=k,
∴BC=BH+HC=BH+FK=k+2k=4,
∴k=,
∴CG=CK-KG=k-2(k-1)=2-k=2-=,
∴∴EG=，
∴r=.
【解析】【分析】（1） 连结 EG，由90°的圆周角所对的弦为直径，可知EG为圆O的直径，于是根据直径所对的圆周角是直角可得∠EFG=90° .
（2）如图，过F点作FN⊥AD，交BC于点M，利用正方形的性质，结合等角的余角相等，用角角边定理证明△AFN≌△FEN，∴FN=AM，EM=FN，设AN=x, 把ND用含x的代数式表示，根据AN+ND=4，求出x, 则FN可求，于是可求△ADF的面积.
（3） ① 分三种情况讨论，1）当EF=FG时，过F作FH⊥BC，FI⊥CD，利用角角边定理证明△EHF≌△GIF，则对应边FH=FI，BH=FI=HC=2, 于是BF的长度可求；当CG=EF时，易证四边形FECG为矩形，则BF=2BE；当FG=CG，过F点作FN⊥BC，根据同弧所对圆周角相等推得EF=EC，从而求出EF的长，于是利用勾股定理求出FN的长，则BF的长可求.
② 设FH=k, 根据相似的性质，把相关线段用含x的代数式表示，得出BC=k+2k=4, 求出k值，则CG的长度可求，从而利用勾股定理求出直径，则半径可知.
20．【答案】（1）AB与⊙O的位置关系是相切，
证明：如图，连接OC．
∵OA=OB，C为AB的中点，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠ODC=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．
∴ .
∴BC2=BD BE．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
设BD=x，则BC=2x．
又BC2=BD BE，
∴（2x）2=x（x+6）．
解得x1=0，x2=2．
∵BD=x＞0，
∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．
【解析】【分析】（1） AB与⊙O的位置关系是相切 ，理由如下： 连接OC，根据等腰三角形的三线合一得出 OC⊥AB ，故 AB是⊙O的切线；
（2）首先判断出 ED是直径， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ECD=90°，根据等角的余角相等得出 ∠BCD=∠E ，从而判断出 △BCD∽△BEC，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据正切函数的定义得出 ， 故 ， 设BD=x，则BC=2x，根据比例式建立方程，求解并检验即可算出x的值，从而得出BD的长，然后根据 OA=OB=BD+OD 即可算出答案。
21．【答案】（1）证明：如图，连接 ．
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠OCA
∵∠OAC＝∠DAC
∴∠DAC＝∠OCA
∵AD⊥CE
∴
∴ ·
即
∵C为⊙O上一点
∴CE是 的切线·
（2）解：如图，连接 ．
∵AB是 的直径，
，
，
∵∠BAC＝∠CAD
∴△CDA∽△BCA
∴
∴AC=
AB= ．
【解析】【分析】（1）先求出∠OAC＝∠OCA，再求出 ，最后证明求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质，再利用锐角三角函数计算求解即可。