2022—2023学年北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系 复习练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022—2023学年北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系 复习练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 735.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-12 07:54:10 | ||
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文档简介
初中数学试卷 第一章直角三角形的边角关系
一、单选题
1．tan30°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值是( )
A． B．2 C． D．
3．某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的 处测得楼顶的仰角为 ，则楼房 的高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
5．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米．
A．10 B．10 ﹣12 C．12 D．10 +12
6．如图，菱形ABCD中，sin∠BAD＝ ，对角线AC，BD相交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AD于点E，已知DE＝1cm；菱形ABCD的周长为( )
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
7．如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是（ ）
A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在 中， ，垂足为D，则下列比值中不等于 的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE·OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．某水库大坝高20米，背水坡的坡度为 ，则背水坡的坡长为 ．
12．在 中， ，若 ，则 ．
13．如图，在边长为3的菱形 中， ， 是 边上的一点，且 ， 是 边上的一动点，将 沿 所在直线翻折得到 ，连接 ．则 长度的最小值是 ．
14．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为 米．
15．如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与二个正方形拼成的．如果大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25，则 cosθ 的值为 .
三、解答题
16．随着无人机的应用范围日益广泛，无人机已走进寻常百姓家，如图，小明在我市体训基地试飞无人机.为测量无人机飞行的高度AB，小明在C点处测得∠ACB＝45°，向前走5米，到达D点处测得∠ADB＝40°.求无人机飞行的高度AB.（参考数据： ≈1.4，sin40°≈0.6，cos40°≈0.6，tan40°≈0.8.）
17．如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01， ≈1.732， ≈1.414）
18．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
19．某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 ， ，求出点D到AB的距离．（参考数据 ， ， ）
20．如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与反比例函数 的图象交于点B，过点B作 轴于C，点D在该反比例函数的图象上，点D在点B的右侧.
请从以下三个选项中选择两个作为已知条件，剩下一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程.① ；② ；③ .
你选择的条件是 ▲ ，结论是 ▲ .（填序号）
四、综合题
21．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 ， ，直角三角形面积为 ，请判断 ， ， 的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形 的边长为定值 ，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知 ，则当 变化时，回答下列问题：（结果可用含 的式子表示）
① ；
②b与c的关系为 ，a与d的关系为 .
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】tan30°＝ ，
故答案为：D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求解即可．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接AB．
在直角△AOB中，∵∠OBA=90°，AB=2，OB=4，
∴tan∠AOB=．
故答案为：A．
【分析】连接AB，利用正切的定义可得tan∠AOB=。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，∠ABC=90°，
∵BC=35，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出∠ABC=90°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：点 化简得 ，
∴关于y轴对称的点的坐标是 ；
故答案为：A．
【分析】先求出点 化简得 ，再求解即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，
，
由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．
设BE＝x，CE＝2x．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12 ）2，
解得x＝12（米），
∴BE＝12（米），CE＝24（米），
DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），
由tan30°＝ ，得
，
解得AE＝10 ．
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝（10 ﹣12）（米），
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
6．【答案】D
【解析】【解答】连接BE，
∵BD是直径，
∴∠BED=90°，∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，sin∠BAE==，设BE=4x，则AB=5x，AE=3x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
即5x=3x+1，
∴x=，
∴AB=
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×=10。
故答案为：D。
【分析】连接BE后，根据直径所对的圆周角是直角可判断∠AED、∠AEB是直角，再由sin∠BAD可得到BE、AB之间关系，利用勾股定理可表示出AE。根据菱形的四边都相等列方程即可求出菱形的边长，继而求出周长。
7．【答案】D
【解析】【解答】如图，连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交AB于点E，
∵，∠COD=60°，
∴△COD、△AOB为等边三角形，
∴∠COF=30°，
∴，
∴EF=2OF=60cm，
即点A到地面的距离为60cm．
故答案为：D．
【分析】连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交AB于点E，先求出∠COF=30°，解直角三角形求出OF的长，即可得到EF=2OF=60cm，从而得解。
8．【答案】D
【解析】【解答】根据网格得：Rt△ABC中，BC＝4，AB＝3，
则tanA＝ ，
故答案为：D．
【分析】由tanA=即可得解。
9．【答案】D
【解析】【解答】在Rt△ABC中，sinA＝ ，
在Rt△ACD中，sinA＝ ，
∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝ ，
故答案为：D.
【分析】利用垂直的定义及三角形的内角和定理可证得∠A=∠BCD，再利用锐角三角函数的定义可得到不等于sinA的选项.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ
∴AP=BQ
在△DAP和△ABQ中，
∴△DAP≌△ABQ（SAS）
∴∠P=∠Q
∵∠Q+∠OAP=90°，
∴∠P+∠OAP=90°
∴∠AOP=90°即AQ⊥DP，故①正确；
∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠OAP=90°，
∴∠ADO=∠OAP
∵∠DOA=∠AOP=90°
∴△AOD∽△AOP
∴AO2=OD·OP
∵在Rt△ABE中，AE＞AB，
∴AE＞AD即AE≠AD
∴DO≠OE
∴ OA2≠OE·OP ，故②错误；
在△QCP和△PBE中，
∴△QCP≌△PBE（AAS）
∴CF=BE
∴DF=BC，
∴S△ADF=S△DCE，
∴S△ADF-S△DOF=S△DCE-S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF，故③正确；
∵BP=CQ=1，AB=BC=3
∴AP=1+3=4，
∵BE∥AD
∴△BPE∽△APD，
∴即
∴;
∴QE=BC+CQ-BE=;
在Rt△ADP中
，
∵△QOE∽△PAD，
∴
∴
∴AO=5-QO=,
∴，故④正确；
∴正确结论有①③④.
故答案为：C.
【分析】利用正方形的性质易证AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°及AP=BQ；再利用SAS证明△DAP≌△ABQ，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠P=∠Q；然后利用直角三角形的两锐角互余去证明∠AOP=90°，即可对①作出判断；利用同角的余角相等，可证得∠ADO=∠OAP，由此可证△AOD∽△AOP，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AO2=OD·OP，利用直角三角形的斜边最长，可证得OE≠OD，可对②作出判断；易证△QCP≌△PBE，利用全等三角形的性质，去证明DF=BC，由此可以推出S△ADF=S△DCE，据此可对③作出判断；利用已知求出AP的长，利用相似三角形的判定和性质求出BE，QE的长；再利用勾股定理求出PD的长，再由△QOE∽△PAD，可求出OQ，OE，AO的长，然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠OAE的值，可对④作出判断，综上所述可得正确结论的个数。
11．【答案】40米
【解析】【解答】解：如图所示：
∵大坝高DF为20米，背水坝的坡度为1： ，
∴水平距离CF=20× =20 （米），
根据勾股定理可得背水坡的坡长CD= =40（米），
故答案为：40米．
【分析】利用“背水坡的坡度为 ”解直角三角形求出CF的长，再利用勾股定理求出CD即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
．
故答案为： ．
【分析】 设 ， 利用 ，可得AB，BC的长，然后利用正切的定义即可得到结果。
13．【答案】
【解析】【解答】解：过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
∵将 沿 所在直线翻折得到 ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
∴当点 在线段 上时， 长度有最小值
∴ 长度的最小值
故答案为：
【分析】过点 作 交 延长线于点 ，连接 。由已知条件以及平行的性质，在直角三角形MHD中，可求HD，既而求出MH。即得HC=4，在直角三角形MHC中，勾股定理求出CM，又两点之间线段最短，故在线段MC上时， 长度有最小值。
14．【答案】180
【解析】【解答】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．
则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=270．
在Rt△ACD中，tan∠CAD ，∴AD 90 ．
在Rt△ABD中，tan∠BAD ，∴BD=AD tan30°=90 90，∴BC=CD﹣BD=270﹣90=180．则这栋大楼的高为180米．
故答案为：180．
【分析】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．利用∠CAD的正切函数求出邻边AD的长，进而可在Rt△ABD中，利用已知角的三角函数求出BD的长，由BC=CD﹣BD即可求出高度。
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，取点A、B、C、D，
AB==5，CD==5，
设BC=AD=x，
∴AC=x+5,
∵AB2=AC2+BC2，
∴25=(x+5)2+52,
解得x=5,
∴AC=AD+DC=10，
∴cos θ= ；
故答案为： .
【分析】根据正方形面积公式分别求出两个正方形边长，取点A、B、C、D，利用勾股定理列式求出AC的长，再利用余弦三角函数定义即可求解.
16．【答案】解：设AB＝xm，
在Rt△ABC中，由tan45°＝ ，得BC＝AB＝xm，
在Rt△ABD中，由tan40°＝ ，得BD＝ x，
∵BD﹣BC＝CD，
∴ x﹣x＝5，
∴x＝20，
答：无人机飞行的高度AB为20米.
【解析】【分析】 设AB＝xm，在Rt△ABC中，由等腰三角形的性质可将BC用含x的代数式表示；在Rt△ABD中，根据tan∠ADB=可将BD用含x的代数式表示，然后根据BD-BC=CD可得关于x的方程，解方程可求解。
17．【答案】解：如图，延长MB交CD于E，连接BD，
由于AB=CD=30m，AB⊥AC，CD⊥AC,
∴四边形ACDB是矩形，
∴NB和BD在同一直线上，∠DBE=∠MBN=30°
∴AC=BD=24m，∠BDE=90°，
在Rt△BED中tan30°= ，
DE=BD tan30°=24× ，
∴CE=30﹣8 ≈16.14(m)，
答：甲楼投到乙楼影子高度是16.14m．
【解析】【分析】 如图，延长MB交CD于E，连接BD， 首先判断出 四边形ACDB是矩形， 根据矩形的性质得出 AC=BD=24m，∠BDE=90°， 进而根据平角的定义判断出 NB和BD在同一直线上，根据对顶角相等得出∠DBE=∠MBN=30° ， 在Rt△BED中 ，根据正切函数的定义，及特殊锐角三角函数值，由 DE=BD tan30° 算出DE，从而得出答案。
18．【答案】解: 过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20 ×2）2，
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，
∴∠BCF=90°﹣15°=75°，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，
在Rt△BCM中，tanB=tan30°= ，即 = ，
∴BM=40 ，
∴AB=AM+BM=40+40 ≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
【解析】【分析】过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长， 在Rt△ACM中 ，利用 勾股定理 求出AM、CM的值， 在Rt△BCM中，利用锐角三角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
19．【答案】解：如图，过点D作 于E，过D作 于F，则四边形EBFD是矩形，
设 ，
在Rt△ADE中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
在Rt△CDF中， ， ，
∴ ，
又 ，
即： ，
解得： ，
故：点D到AB的距离是214m
【解析】【分析】过点D作 于E，过D作 垂直于F，则四边形EBFD是矩形， 设DE=x,根据角的正切值定义可得到， ，则 ，再根据题意算出 ，又BE=CF,即 解出答案即可
20．【答案】解：①②；③；
证明过程如下：
， 都在反比例函数图象上，
，
，
， ，
在一次函数 上，
，
，
，
，
， ，
作 于 ，
， ，
， ，
，
，
.
【解析】【分析】条件是①②，结论③；由B、D都在反比例函数图象上，可求出B、D坐标，再将点B坐标代入中，求出b值，从而求出A坐标，即得AC、BC的长，作 于 ，由B、D坐标可得BE、DE的长，分别求出∠ABC、∠DBE的正切值，据此即得结论.
21．【答案】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为 ，斜边为c，那么 .
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）
②证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.
即 ，
化简得 .
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.
即 ，化简得 .
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.
即 ，化简 .
（2）3;解：结论 ； ， ；
（3）；b=c；a+d=m
【解析】【解答】解：（2）①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得 ，
∴ ；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴满足 的有3个，
故答案为：3；
（ 3 ）①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M，
∴ ， ， ，
∴
故答案为： ；
②∵ ，
∴ ， ，
由解直角三角形和正方形的性质，则
， ，
∴ ；
同理： ；
；
；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为： ； .
【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知， ；②由 ，则 ，同理可得 ，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案.
一、单选题
1．tan30°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值是( )
A． B．2 C． D．
3．某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的 处测得楼顶的仰角为 ，则楼房 的高为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．点 关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
5．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米．
A．10 B．10 ﹣12 C．12 D．10 +12
6．如图，菱形ABCD中，sin∠BAD＝ ，对角线AC，BD相交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AD于点E，已知DE＝1cm；菱形ABCD的周长为( )
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
7．如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是（ ）
A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在 中， ，垂足为D，则下列比值中不等于 的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE·OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．某水库大坝高20米，背水坡的坡度为 ，则背水坡的坡长为 ．
12．在 中， ，若 ，则 ．
13．如图，在边长为3的菱形 中， ， 是 边上的一点，且 ， 是 边上的一动点，将 沿 所在直线翻折得到 ，连接 ．则 长度的最小值是 ．
14．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为 米．
15．如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与二个正方形拼成的．如果大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25，则 cosθ 的值为 .
三、解答题
16．随着无人机的应用范围日益广泛，无人机已走进寻常百姓家，如图，小明在我市体训基地试飞无人机.为测量无人机飞行的高度AB，小明在C点处测得∠ACB＝45°，向前走5米，到达D点处测得∠ADB＝40°.求无人机飞行的高度AB.（参考数据： ≈1.4，sin40°≈0.6，cos40°≈0.6，tan40°≈0.8.）
17．如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01， ≈1.732， ≈1.414）
18．如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
19．某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 ， ，求出点D到AB的距离．（参考数据 ， ， ）
20．如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与反比例函数 的图象交于点B，过点B作 轴于C，点D在该反比例函数的图象上，点D在点B的右侧.
请从以下三个选项中选择两个作为已知条件，剩下一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程.① ；② ；③ .
你选择的条件是 ▲ ，结论是 ▲ .（填序号）
四、综合题
21．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 ， ，直角三角形面积为 ，请判断 ， ， 的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形 的边长为定值 ，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知 ，则当 变化时，回答下列问题：（结果可用含 的式子表示）
① ；
②b与c的关系为 ，a与d的关系为 .
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】tan30°＝ ，
故答案为：D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求解即可．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接AB．
在直角△AOB中，∵∠OBA=90°，AB=2，OB=4，
∴tan∠AOB=．
故答案为：A．
【分析】连接AB，利用正切的定义可得tan∠AOB=。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，∠ABC=90°，
∵BC=35，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出∠ABC=90°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：点 化简得 ，
∴关于y轴对称的点的坐标是 ；
故答案为：A．
【分析】先求出点 化简得 ，再求解即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，
，
由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．
设BE＝x，CE＝2x．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12 ）2，
解得x＝12（米），
∴BE＝12（米），CE＝24（米），
DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），
由tan30°＝ ，得
，
解得AE＝10 ．
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝（10 ﹣12）（米），
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．
6．【答案】D
【解析】【解答】连接BE，
∵BD是直径，
∴∠BED=90°，∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，sin∠BAE==，设BE=4x，则AB=5x，AE=3x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
即5x=3x+1，
∴x=，
∴AB=
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×=10。
故答案为：D。
【分析】连接BE后，根据直径所对的圆周角是直角可判断∠AED、∠AEB是直角，再由sin∠BAD可得到BE、AB之间关系，利用勾股定理可表示出AE。根据菱形的四边都相等列方程即可求出菱形的边长，继而求出周长。
7．【答案】D
【解析】【解答】如图，连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交AB于点E，
∵，∠COD=60°，
∴△COD、△AOB为等边三角形，
∴∠COF=30°，
∴，
∴EF=2OF=60cm，
即点A到地面的距离为60cm．
故答案为：D．
【分析】连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交AB于点E，先求出∠COF=30°，解直角三角形求出OF的长，即可得到EF=2OF=60cm，从而得解。
8．【答案】D
【解析】【解答】根据网格得：Rt△ABC中，BC＝4，AB＝3，
则tanA＝ ，
故答案为：D．
【分析】由tanA=即可得解。
9．【答案】D
【解析】【解答】在Rt△ABC中，sinA＝ ，
在Rt△ACD中，sinA＝ ，
∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝ ，
故答案为：D.
【分析】利用垂直的定义及三角形的内角和定理可证得∠A=∠BCD，再利用锐角三角函数的定义可得到不等于sinA的选项.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ
∴AP=BQ
在△DAP和△ABQ中，
∴△DAP≌△ABQ（SAS）
∴∠P=∠Q
∵∠Q+∠OAP=90°，
∴∠P+∠OAP=90°
∴∠AOP=90°即AQ⊥DP，故①正确；
∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠OAP=90°，
∴∠ADO=∠OAP
∵∠DOA=∠AOP=90°
∴△AOD∽△AOP
∴AO2=OD·OP
∵在Rt△ABE中，AE＞AB，
∴AE＞AD即AE≠AD
∴DO≠OE
∴ OA2≠OE·OP ，故②错误；
在△QCP和△PBE中，
∴△QCP≌△PBE（AAS）
∴CF=BE
∴DF=BC，
∴S△ADF=S△DCE，
∴S△ADF-S△DOF=S△DCE-S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF，故③正确；
∵BP=CQ=1，AB=BC=3
∴AP=1+3=4，
∵BE∥AD
∴△BPE∽△APD，
∴即
∴;
∴QE=BC+CQ-BE=;
在Rt△ADP中
，
∵△QOE∽△PAD，
∴
∴
∴AO=5-QO=,
∴，故④正确；
∴正确结论有①③④.
故答案为：C.
【分析】利用正方形的性质易证AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°及AP=BQ；再利用SAS证明△DAP≌△ABQ，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠P=∠Q；然后利用直角三角形的两锐角互余去证明∠AOP=90°，即可对①作出判断；利用同角的余角相等，可证得∠ADO=∠OAP，由此可证△AOD∽△AOP，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AO2=OD·OP，利用直角三角形的斜边最长，可证得OE≠OD，可对②作出判断；易证△QCP≌△PBE，利用全等三角形的性质，去证明DF=BC，由此可以推出S△ADF=S△DCE，据此可对③作出判断；利用已知求出AP的长，利用相似三角形的判定和性质求出BE，QE的长；再利用勾股定理求出PD的长，再由△QOE∽△PAD，可求出OQ，OE，AO的长，然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠OAE的值，可对④作出判断，综上所述可得正确结论的个数。
11．【答案】40米
【解析】【解答】解：如图所示：
∵大坝高DF为20米，背水坝的坡度为1： ，
∴水平距离CF=20× =20 （米），
根据勾股定理可得背水坡的坡长CD= =40（米），
故答案为：40米．
【分析】利用“背水坡的坡度为 ”解直角三角形求出CF的长，再利用勾股定理求出CD即可。
12．【答案】
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
．
故答案为： ．
【分析】 设 ， 利用 ，可得AB，BC的长，然后利用正切的定义即可得到结果。
13．【答案】
【解析】【解答】解：过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
∵将 沿 所在直线翻折得到 ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
∴当点 在线段 上时， 长度有最小值
∴ 长度的最小值
故答案为：
【分析】过点 作 交 延长线于点 ，连接 。由已知条件以及平行的性质，在直角三角形MHD中，可求HD，既而求出MH。即得HC=4，在直角三角形MHC中，勾股定理求出CM，又两点之间线段最短，故在线段MC上时， 长度有最小值。
14．【答案】180
【解析】【解答】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．
则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=270．
在Rt△ACD中，tan∠CAD ，∴AD 90 ．
在Rt△ABD中，tan∠BAD ，∴BD=AD tan30°=90 90，∴BC=CD﹣BD=270﹣90=180．则这栋大楼的高为180米．
故答案为：180．
【分析】作AD⊥CB，交CB的延长线于D点．利用∠CAD的正切函数求出邻边AD的长，进而可在Rt△ABD中，利用已知角的三角函数求出BD的长，由BC=CD﹣BD即可求出高度。
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图，取点A、B、C、D，
AB==5，CD==5，
设BC=AD=x，
∴AC=x+5,
∵AB2=AC2+BC2，
∴25=(x+5)2+52,
解得x=5,
∴AC=AD+DC=10，
∴cos θ= ；
故答案为： .
【分析】根据正方形面积公式分别求出两个正方形边长，取点A、B、C、D，利用勾股定理列式求出AC的长，再利用余弦三角函数定义即可求解.
16．【答案】解：设AB＝xm，
在Rt△ABC中，由tan45°＝ ，得BC＝AB＝xm，
在Rt△ABD中，由tan40°＝ ，得BD＝ x，
∵BD﹣BC＝CD，
∴ x﹣x＝5，
∴x＝20，
答：无人机飞行的高度AB为20米.
【解析】【分析】 设AB＝xm，在Rt△ABC中，由等腰三角形的性质可将BC用含x的代数式表示；在Rt△ABD中，根据tan∠ADB=可将BD用含x的代数式表示，然后根据BD-BC=CD可得关于x的方程，解方程可求解。
17．【答案】解：如图，延长MB交CD于E，连接BD，
由于AB=CD=30m，AB⊥AC，CD⊥AC,
∴四边形ACDB是矩形，
∴NB和BD在同一直线上，∠DBE=∠MBN=30°
∴AC=BD=24m，∠BDE=90°，
在Rt△BED中tan30°= ，
DE=BD tan30°=24× ，
∴CE=30﹣8 ≈16.14(m)，
答：甲楼投到乙楼影子高度是16.14m．
【解析】【分析】 如图，延长MB交CD于E，连接BD， 首先判断出 四边形ACDB是矩形， 根据矩形的性质得出 AC=BD=24m，∠BDE=90°， 进而根据平角的定义判断出 NB和BD在同一直线上，根据对顶角相等得出∠DBE=∠MBN=30° ， 在Rt△BED中 ，根据正切函数的定义，及特殊锐角三角函数值，由 DE=BD tan30° 算出DE，从而得出答案。
18．【答案】解: 过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20 ×2）2，
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，
∴∠BCF=90°﹣15°=75°，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，
在Rt△BCM中，tanB=tan30°= ，即 = ，
∴BM=40 ，
∴AB=AM+BM=40+40 ≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
【解析】【分析】过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长， 在Rt△ACM中 ，利用 勾股定理 求出AM、CM的值， 在Rt△BCM中，利用锐角三角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
19．【答案】解：如图，过点D作 于E，过D作 于F，则四边形EBFD是矩形，
设 ，
在Rt△ADE中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
在Rt△CDF中， ， ，
∴ ，
又 ，
即： ，
解得： ，
故：点D到AB的距离是214m
【解析】【分析】过点D作 于E，过D作 垂直于F，则四边形EBFD是矩形， 设DE=x,根据角的正切值定义可得到， ，则 ，再根据题意算出 ，又BE=CF,即 解出答案即可
20．【答案】解：①②；③；
证明过程如下：
， 都在反比例函数图象上，
，
，
， ，
在一次函数 上，
，
，
，
，
， ，
作 于 ，
， ，
， ，
，
，
.
【解析】【分析】条件是①②，结论③；由B、D都在反比例函数图象上，可求出B、D坐标，再将点B坐标代入中，求出b值，从而求出A坐标，即得AC、BC的长，作 于 ，由B、D坐标可得BE、DE的长，分别求出∠ABC、∠DBE的正切值，据此即得结论.
21．【答案】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为 ，斜边为c，那么 .
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）
②证明：
在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.
即 ，
化简得 .
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.
即 ，化简得 .
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.
即 ，化简 .
（2）3;解：结论 ； ， ；
（3）；b=c；a+d=m
【解析】【解答】解：（2）①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得 ，
∴ ；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴满足 的有3个，
故答案为：3；
（ 3 ）①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M，
∴ ， ， ，
∴
故答案为： ；
②∵ ，
∴ ， ，
由解直角三角形和正方形的性质，则
， ，
∴ ；
同理： ；
；
；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为： ； .
【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知， ；②由 ，则 ，同理可得 ，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案.