湖南省衡阳市衡阳县第四中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（含解析）

衡阳县第四中学2022-2023学年高一下学期4月月考
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 下列与角的终边一定相同的角是( )
A. B.
C. D.
3. 若,且,则( )
A. B. C. D. 无法确定
4. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间(如图).现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为,肩宽约为,“弓”所在圆的半径约为,则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:)( )
A. B. C. D.
5. 已知,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 若,则等于( )
A. B. C. D.
7. 已知,且,则( )
A. B. C. D.
8. 已知命题角为第二或第三象限角,命题,命题是命题的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在中,下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是( )
A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B. 圆的一条弦长等于半径,则这条弦所对的圆心角等于
C. 经过小时,时针转了
D. 若角和角的终边关于对称,则有
11. 下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 若终边上有一点,则
D. 若一扇形弧长为,圆心角为,则该扇形的面积为
12. 已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,下列说法正确的有( )
A. 若角的终边位于第二象限,则位于第一象限或第四象限
B. 若角满足,则
C. 若角的终边过点,则
D. 若角是三角形中一个内角且满足,则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 角的终边经过点且,则__________.
14. 化简:若,则__________.
15. 若,则__________.
16. 已知,则__________.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知一扇形的圆心角为,所在圆的半径为.
(1)若,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;
(2)若扇形的周长为,当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大
18.已知函数.
(1)化简；
(2)若,求的值.
19. 已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
20. 已知第一象限角的顶点在坐标原点,始边与轴非负半轴重合,终边经过点,且.
(1)求及的值;
(2)求的值.
21. 已知连续不断函数,
.
(1)求证:函数在区间上有且只有一个零点;
(2)现已知函数在上有且只有一个零点(不必证明),记和在上的零点分别为,试求的值.
22. 已知函数.
(1)求在上的值域;
(2)当时,已知,若，使得
,求的取值范围.
衡阳县第四中学2022-2023学年高一下学期4月月考
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】
B
【解析】
,则与终边相同,它是第二象限角.
故选：B.
2. 下列与角的终边一定相同的角是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】与角终边相同角可以表示为,
对A,由找不到整数让,所以A错误
对B,表达有误,角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制,B错误,
C项正确,
对D 项,当时,角为,当时,角为,得不到角,故D错误,
故选：C.
3. 若,且,则( )
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】,所以,
由,消去并化简得,
即,
所以解得或,
所以或.
故选：C.
4. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间(如图).现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为,肩宽约为,“弓”所在圆的半径约为,则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据:)( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示,由题意知“弓”所在的弧的长,其所对圆心角,则两手之间的距离.
故选:B.
5. 已知,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在上单调递增,所以,即,又,所以,所以.
故选：C.
6. 若,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,可得
.
故选：D.
7. 已知,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以,因为,
所以,
则.
故选：B.
8. 已知命题角为第二或第三象限角,命题,命题是命题的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当角为第二象限角时,,
所以,
当角为第三象限角时,,
所以,
所以命题是命题的不充分条件.
当时,显然,角可以为第四象限角,命题是命题的不必要条件.所以命题是命题的既不充分也不必要条件.
故选:D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在中,下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A、B、C
【解析】在中,有,则,A正确;
,B正确;
,C正确;
,D错误;
故选：ABC.
10. 下列说法正确的是( )
A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B. 圆的一条弦长等于半径,则这条弦所对的圆心角等于
C. 经过小时,时针转了
D. 若角和角的终边关于对称,则有
【答案】A、B、D
【解析】对于A,因为角终边在第二象限或第四象限,此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号,故;
因为,所以或
故角终边上点坐标对应为:或即或
,所以角终边在第二象限或第四象限,综上,角终边在第二象限或第四象限的充要条件是,故A正确，对于B,圆的一条弦长等于半径,故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形,所以弦所对的圆心角为,故B正确;
对于C,钟表上的时针旋转一周是,其中每小时旋转,
所以经过小时应旋转,故C错误;
对于D,角和角终边关于直线对称,则,,故D正确.
故选：ABD.
11. 下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 若终边上有一点,则
D. 若一扇形弧长为,圆心角为,则该扇形的面积为
【答案】B、D
【解析】对于A,,故A错;对于B,,故B正确;
对于C,若终边上有一点,则,故C不正确;
对于D,若一扇形弧长为,圆心角为,则该扇形的半径为,面积为,故D正确.
故选：BD.
12. 已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,下列说法正确的有( )
A. 若角的终边位于第二象限,则位于第一象限或第四象限
B. 若角满足,则
C. 若角的终边过点,则
D. 若角是三角形中一个内角且满足,则
【答案】C、D
【解析】若角的终边位于第二象限,若,则位于第三象限,A错误;
若角满足,则,B错误;
若角的终边过点,则,C正确;
若角是三角形中一个内角且满足,则为钝角,于是,
由解得：,D正确.
故选：CD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 角的终边经过点且,则__________.
【答案】或
【解析】∵角的终边经过点,且,
∴,即或,
∴或,
故答案为：或.
14. 化简:若,则__________.
【答案】
【解析】
.
因为,所以,
所以,原式.
故答案为:.
15. 若,则__________.
【答案】
【解析】
.故答案为:.
16. 实数满足,则__________.
【答案】
【解析】由方程组可得,
因为,所以,
所以解得所以,
当时,可得,且,所以,
所以.
故答案为: .
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知一扇形的圆心角为,所在圆的半径为.
(1)若,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;
(2)若扇形的周长为,当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大
【答案】见解析；
【解析】(1)设扇形的弧长为,弓形面积为,则
,
.
(2)设扇形弧长为,则,即,
∴扇形面积,
∴当时,有最大值,此时.
因此当时,这个扇形面积最大.
18. 已知函数.
(1)化简；
(2)若,求的值.
【答案】见解析
【解析】(1)
.所以
(2)由,平方可得,
即. 所以,
因为,
又,所以,所以,
所以.
19. 已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】见解析
【解析】(1)由,得,
分子分母同除得：.
(2)
,
分子分母同除得：.
20. 已知第一象限角的顶点在坐标原点,始边与轴非负半轴重合,终边经过点,且.
(1)求及的值;
(2)求的值.
【答案】见解析；
【解析】(1)依题意，
整理得,解得或
因为为第一象限角,则,故，∴.
(2)由(1)知,则,
则.
21. 已知连续不断函数,
.
(1)求证:函数在区间上有且只有一个零点;
(2)现已知函数在上有且只有一个零点(不必证明),记和在上的零点分别为,试求的值.
【答案】见解析
【解析】(1)证明：函数,
因为,所以,
记和在区间上单调递增,故函数在区间上单调递增,
由零点的存在性定理可得函数在区间上有且只有一个零点;
(2)因为函数在区间上有且只有一个零点,
所以,即,
即,因为函数在上有且只有一个零点,
所以,则.
22. 已知函数.
(1)求在上的值域;
(2)当时,已知,若，使得
,求的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1),
令,则,
由于函数在上单调递增,故当时,取得最小值;当时,取得最大值，∴的值域为;
(2)设的值域为集合的值域为集合,则依题意有,
,由(1)知:
,
又,所以在上单调递增,
当时,;当时,
,
由得：的取值范围是.
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