2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改平驮盟字夜期中联考
高二数学试卷
考试时间：2023年4月10日下午15：00-17：00试叁满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，
1.已知函数f)可导，且满足imB+A)-/=2.则函数y=闪在x=3处的导数为(
11-◆0
△r
A.2
B.I
C.-1
D.-2
2.已知A:=C-3.则m=（)
A.6
B.7
C.8
D.9
3.下列导数运算正确的是()
A.(6my=cos了
B.(log,x)=-log,e
c.(e)'=e
4.已知直线I是曲线y=e的切线，切点横坐标为-】，直线/与x轴和y钩分别相交于A、B两点，
则△OAB面积为()
月
B.1
c.2
D.
e
5.某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期)，若年利率为2%保持不变，且
每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月】日将之前所有存款及利息全部取回，他可
取回的线数约为()（单位：万元）参考数据：1.02￥1.195,1.02°≈1.219.1.02”≈1.243
A.2.438
B.19.9
C.223
D.24.3
6。学枚音乐团共有10人，其中4人只会单者他，2人只会打鼓，3人只会唱歌，另有1人既能弹吉他
又会打鼓，现需要1名主昭，2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队，则不同的组合方案共有()
A,36种
B.78种
C.87种
D.90种
7.已知定义在R上的可游汤数八x)的导函数为(x),满足(x)<(x)且(x+2)为偶函数，
(o) c,别不等式八x)A.（,4）
B.(0,+oo)
c.（2.+o)）
D.（4,+o)
2023年春邪东雨教放秋旦学校新中联考高二数学认卷（共4页)弟1页
8.已知函数∫(x)=x-+k,有且只有一个负整数o,使(x)s0成立，则k的取值范围
是()
B.(0,
二、选择题：本题共4小愿，每小题5分，共20分。在每小愿给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在2x+
的二项展开式中，下列说法正确的有()
A.常数项为第三项
B.展开式的二项式系数和为729
C.展开式系数最大项为第三项
D.展开式中系数最大项的系数为240
10.对于数列{a,}.把它连续两项a与a,的差记为b.=a1-a.,得到一个新数列{b.},称数列b,}
为原数列{a}的一阶差数列.若c=b1-b,则数列{c}是{a}的二阶差数列，以此类推，可
得数列{a,}的p阶差数列.如果某数列的p阶差数列是一个非多的常数列，则称此数列为p阶
等差数列.如数列1,3,6,10，它的前后两项之差组成新数列2,3,4，新数列2,3,4的崩
后两项之差再组成薪数列1,1,1，新数列1,1,1为非罗常数列，则数列1,3,6,10称为
二阶等差数列，已知数别a,}满起a=2且S,-,n+2).则下列结论中正确的有（）
A.数列a.}为二阶等差数列
B.数列{S}为三阶等差数列
C.数列
n-1
的前n项和为
a,
D.若数列{b}为k阶等差数列，则{b,}的谢n项和{T}为+1)阶答差数列
1.已知函数∫(x)=x+3px+2g,其中p+9=0且p9±0，则下列说法正确的有(）
A.(x)的对称中心为02g)
B.(x)怡有两个零点
C.若方程(x)=k有三个不练的实根，则0D.若方程()=k的三个不等实根分别为，，的，则++了=-6g+3狄
12.建筑师高油曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵忠来源于自然和幻想。灵活生动
的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美$。我们可以利用曲线和直线写出
2023年春环东南教数联盟学牧朔中联考高二牡学议卷（共4夏）第2页2023 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 对数列 Tn ，它的一阶差数列为 bn 1 ，为 k 阶等差数列，故 Tn 为(k+1)阶等差数列，
高二数学参考答案 故 D 正确．
故选：ABD
11. 【详解】由于 f (x) f ( x) x3 3px 2q x3 3px 2q 4q ，故对称中心为(0,2q)，A 选
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
项正确；
A C B C C B D A CD ABD ABD BC
f'(x) 3x2 3p，当 f'(x) 0 时， x p ，其中 p 为极小值点， p 为极大值点，其
13. 0 14. 16 20 15. 45 16. , 4 中 f ( p ) 2p p 2q ， f ( p ) 2p p 2q ， 由 于 p
3 q2 0 ， 当 q 0 时
或
8. 【详解】已知函数 f x xex 1 kx k f x 0 xe x 1 kx k . f ( p ) 0 ，当 q 0 时 f ( p ) 0 ，两种情况下均只有两个零点，B 选项正确；， 则 有且只有一个负整数解
x 1 x 1 当 q 0时 0 k 4q，当 q 0 时 4q k 0 ，C 选项错误；令 g x xe ，则 g x (x 1)e ，当 x 1时， g x 0，当 x 1时， g x 0 ，
由于 f (x) k 的三个零点分别为 x1, x2, x3
所以 g x 在 , 1 上递减，在 1, 上递增，当 x 1时， g x 取得最小值 1.
故 f (x) k (x x1)(x x2)(x x3) ，
设 h x kx k k x 1 ，则 h x 恒过点 即 x3 3px 2q k x3 (x1 x2 x3)x2 (x1x2 x2x3 x3x1)x x1x2x3
1,0 . 故 x1 x2 x3 0
在同一坐标系中分别作出 y g x 和 y h x 的 因此 x31 x32 x33 3px1 3px2 3px3 6q 3k ，D选项正确. 故选：ABD
简图，显然 x0 1，
12．【详解】令 f x x 1 ln x，则 f x 1 x 1 1 ，
x x
依题意得 g 1 h 1 且 g 2 h 2 即
当 x 1时， f x 0，当 0 x 1时， f x 0，
2 2 1
1 2a且 3a，解得 a .
e 3e 2 故 f x x 1 ln x在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
故选：A. 故 f x x 1 ln x在 x 1处取得极小值，也是最小值， f x min 0 ，
S 1 a (n 2) S 110．【详解】因为 ，所以， 故 ln x x 1，当且仅当 x 1时等号成立，n 3 n n 1
a
3 n 1
(n 3)，两式相减得：
A 选项：n=1 时不等式左右两端相等，故 A 错误；
a 1 1n 1 an 1(n 3) a (n 2) a
n 2
，即 a ， B 选项：将 ln x x 1中的 x替换为1 x，可得 ln 1 x 1 x 1 x ， x 1，
3 3 n n 1 n n
当且仅当 x 0时等号成立，
n 1 n 4 3
故 an 2 n(n 1) ，n 1 n 2 2 1 x 1 0 ln 令 ，可得 1
1
1
n n
，
n
bn an 1 an (n 1)(n 2) n(n 1) 2n 2 ，故数列 an 为二阶等差数列，故 A 正确；
所以 ln n ln n 1 1 ，
对数列 Sn ，它的一阶差数列为 an 1 ，为二阶等差数列，故 Sn 为三阶等差数列，故 B 正确； n
1 1 1 1 故 ln 2 ln1 ln 3 ln 2
1 1 1
ln n ln n 1 ，
1 n 2 3 n
an n(n 1) n n 1
，故 的前 n 项和为 ，故 C 错误；
a
n n 1 其中 ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln n ln n 1 ln n ln1 ln n，
2023 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 8页）第 1页 2023 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 8页）第 2页
ln n 1 1 1 4 a
2 4
所以 ，B 正确； g x g 2 3 n 的最小值为 ln a 4ln 4， 4 a
i i 2 2
C 选项：将 ln x x 1中的 x替换为1 ，显然1 1， a 4ln 4 4 0 h(a) a 4n2 n2 成立，令 4ln 4 ，4 a 4 a
ln 1 i i则 ， h(a) 在 (0, )上单调递增且 h(4) 0，故0 a 4 .
n2 n2
综上： a 4 .
ln 1 1 ln 1 2 ln 1 n n(n 1)故 ， 17．(1)40 (2)30240
n2 n2 n2 2n2 1
【详解】(1)八个人坐两台车，只需要考虑 A 车坐的人，先选一位老师坐入 A 车，共C2 种选法，再选
n(n 1) 1 1 3
n 2 1
1
2 n 3
当 时， ，故
2n2 2 2n 4 n2
1 2 1 2 e 4 成立； 3 1 3n n 三 名 学 生 坐 入 A 车 ， 共 C6 种 选 法 ， 因 此 共 有 C2C6 40 种 分 配 方
1 1 3 式； …………5 分
当 n 1时， 2 164 (e3) 4 e 4 显然成立， (2) 6 A6 7 2先让 名学生排队，共 6 种方法，然后两名老师插入 个空隙，共 A7 种方法，因此共有
1 1 1 2 n
3
6 2
故 n2 n2
1 2 e 4 ，C 正确； A6A7 30240 种站法. ……………10 分 n
n 1 x x
2 a x2 2x a
D选项：将 ln x x 1中的 x替换为 ，其中， n N* ln
n 1 1
n 2 18．【详解】（1） f ' x ，且 ，则 ， x x
n n n e e
2
n ln n 1 1 n 1
n
1 f x 有一个极值点是 1 . 1 2 1 a 0 a 3 ，
则 ，故
n n
，
e x2 3
2
x 2x 3 x 1 x 3即 f x 又 f ' x ，
2 3 n 1 2 3 x x x
1 2 n n 1 2 1 1
e e e
则 ，又 ，D 错误.
2 3 n 1 e 2 3 2 e x , 1 1 1，3 3 3,
故选：ABC f ' x 0 + 0
15. 【详解】设 a *1,a2 ,a3 对应个位到百位上的数字，则 a3 N ， ai N(i 1,2)且 a1 a2 a3 9，
f x
2 单调递减 f 1 2e 单调递增 f 3
6
单调递减
相当于将 9 3个表示 1的球与 2个表示 0的球排成一排，即 10个空用 2个隔板将其分开，故共C10 e
种. 故答案为：45. 当x 1时，f x 有极小值，极小值为 f 1 2e .
a2 a2
16.【详解】函数 f x ln(a e x 4x 8) 的值域是实数集 R，则 g x a ex 4x 8 能 当 x = 3 时， f x 6有极大值，极大值为 f 3 . ……………6 分
4 4 e3
取遍 (0, ) x内所有的数. g' x a e 4 ， （2）由（1）知， f x 在 2，-1 上递减，[-1，3]上递增，[3，4]上递减，
当 a 0时， g' x 0，函数值域恒为 R； f 2 6 13又 e2 ， f 4
e3 e4
2e ，
当 a 0时，令 g' x a ex 4 0 4，则 x ln ，
a f x 在 2,4 上的最大值为 f 2 e2 .
g x 在 ( , ln 4) 4 f x 在 2,4上单调递减，在 (ln , ) 上单调递增， 上的最小值为 f 1 2e . ……………12 分
a a
2023 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 8页）第 3页 2023 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高二数学参考答案（共 8页）第 4页
T 1 1a 2n 1 Sn 1 2 1 2
2 23 2 n n 2 n 1
19．(1) n (2) 2n 6 2(4n 1)(4n 3) 2 1 2n n 1
(1) n 1 a 1 n 2 a S S n 2 (n 1)2
n 2
【详解】 时显然 1 ， 时 n n n 1 2n 1 1 2
2n 1 2 n 2n 1n 1 ，时也满足该等式，故 an 2n 1， ……………5 分
( 1)n n S n 1 2
n 1
n 2 ，
(2)b ( 1)n
1 ( 1) ( 1 1n ) ，anan 2 (2n 1)(2n 3) 4 2n 1 2n 3 pSn q p n 1 2n 1 2p q n n 2p n
2p q
1 ，n
T 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 1 1
2 2 2
2n )4 5 5 9 4n 3 4n 1 4 3 7 7 11 4n 1 4n 3 pS q
又 n n 1 恒成立，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n
2
4
4n 1 4 3 4n 3
6 4 4n 1 4n 3 6 2 4n . 1 4n 3 2p 1 1
解得：p ,q 1 ，
1 1 2p q 0 2
因此T2n …………12 分6 2(4n 1)(4n 3) 1
存在p ,q 1满足条件. ……………12 分
20. 1 Dk 1 Dk 1 Dk Dk 1【详解】（ ） n 1 n n n . … …………6 分 2
5 2 2
（2）由题意，设 3x2 x 2 a x10 a x9 a x a ， x 2x 1 2ln x0 1 9 10 22. 【详解】（1） f ' x x 4ln x ，4 3
当 x 1时，0 a x x0 a1 a2 a9 a10 ①
5 0 x 1时，ln x 0, f ' x 0, f x 单调递增当 x 1时，2 a0 a1 a2 a9 a
当 ，
10 ②
① ②得： 2 a1 a3 a5 a7 a9 32 当
x 1时，ln x 0, f ' x 0, f x 单调递减，
，
a1 a3 a5 a7 a 16
f x 的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+ ）. ……………4 分
9 ，
2 53x x 2 （2）由（1）知， f x 在 0,1 上递增， 1， 上递减 f x k 的两个零点0 x 1 x即 展开式中 x 的奇次项系数之和为 16. ……………12 分 1 2
2 2 2 2 2 2 下面先证明 x x 2 ：21.【详解】（1） an 1 an 1 an an 1 1 0 ， an 1an ana a
1 2
n 1 n 1 an 0 ，
要证 x x 2， 只需证 x 2 x ， x 1 2 x 1， 只需证f x f 2 x ，
an 1an an 1 an an 1 an an 1 an 0， an 1 a a a a
1 2 2 1 2 1 2 1
n n 1 n n 1 an 0 ，
即证 f x f 2 x ，
an
1 1
为正项数列， an 1an an 1 an 0，
4ln x 4ln 2 x1 1 1 1 n 1 n 1 设 g x f
x f 2 x , 0 x 1 ，
a
g ' x ，
即 a a ， a a ， n . … …………6 分
x3 2 x 3
n 1 n n 1 n
2n 当 x 0,1 时，0 x 2 x, 4ln x 0 ，
（2） n 2n ，
an
g ' x 4ln x 4ln 2 x
4ln x 2 x
，
S 1 2 2 22 3 23 n 2 n 2 x
3 2 x 3 2 x 3
n
2Sn 1 2
2 2 23 n 1 2 n n 2 n 1 x 2 x 1 x 1 2 1 ln x 2 x 0 g ' x 0， ，
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即 g x 在 0,1 上递增， g x g 1 0，
即 f x f 2 x ， f x1 f 2 x1 成立， x1 x2 2 . ……………8分
1 1
下面证明 2x ：1 x2
f x 1 2ln x 1 1 2 2
1 2ln
1
, 是函数F x x 2 1 2ln x 的零点,x x x x
1 1设 F x 零点为m、n， 要证： 2 即证m n 2.x1 x2
又 F ' x 4x ln x在 0,1 上递增， 1, 上递减，则0 m 1 n 则1 n 2 m .
要证m n 2即证F n F 2 m 即F m F 2 m ，
令 h x F x F 2 x 0 x 1 ，
h ' x 4x ln x 4 2 x ln 2 x ，
h '' x 4ln x 4 4ln 2 x 4 4ln 2 x ，
x
0 2 x x 1 1 即h '' x 0 ，
x
即h ' x 单调递增，又h ' 1 0，
h ' x 0， h x 单调递减， h 1 0 ， h x 0 ，
即 F x F 2 x ， F m F 2 m ，
1 1 1 1
m n 2成立 ,即 2成立 综上所述：x x 2 .x x ， 1 2 x x ………12 分1 2 1 2
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