7.1.2 全概率公式 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
第七章 随机变量及其分布
人教A版2019必修第三册
7.1.2 全概率公式
1.条件概率
3.概率的乘法公式
复习导入：
通过上一节的学习，我们知道，在求一个复杂事件的概率时，可以先将其表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 下面，我们再看一个求复杂事件概率的问题.
思考：从有 a 个红球和 b 个篮球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为 . 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
分析：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 .但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导过程.
用 Ri 表示事件“第 i 次摸到红球”，Bi 表示事件“第 i 次摸到篮球”，i =1，2. 如图所示，事件 R2 可按第1次可能的摸球结果表示为两个互斥事件的并，即 .
P(R2 | R1)
P(B2 | R1)
P(R2 | B1)
P(B2 | B1)
利用概率的加法公式和乘法公式，得
上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
一般地，设A1，A2，···，An是一组两两互斥的事件，
，且 ， ，则对任意的事件 ，有
全概率公式
我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
对全概率公式的理解
使用全概率公式计算目标事件 B 的概率，必须是找到样本空间 Ω 的一个事件组 A1，A2，…，An，它们满足：①两两互斥；② ，而这一事件组恰恰可以理解为是事件 B 产生的几个原因．全概率公式相当于将产生 B 的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是“全”的含义所在．
直观解释为如图，B 发生的概率与P(B│Ai)(i=1,2, ,n)有关，且 B 发生的概率等于所有这些概率的和，即
例4 某学校有 A，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去 A 餐厅，那么第2天去 A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去 B 餐厅，那么第2天去 A 餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去 A 餐厅用餐的概率.
设A1＝“第1天去A餐厅”, B1＝“第1天取B餐厅”, A2＝“第2天去A餐厅”, 则
解：
两个事件的全概率公式
全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成对立的两部分，如A1，A2(或 A 与 )；
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；
(3)求和：所求事件的概率就是各种可能情形 Ai 发生的可能性与已知在 Ai发生的条件下事件 B 发生的可能性的乘积之和，即
．
例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
设B＝“任取一个零件为次品”, Ai＝“零件为第i台车床加工” (i＝1, 2, 3), 则
解：
多个事件的全概率公式
例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%.
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床加工的概率
如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床加工的概率，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率，即
解：
“化整为零”求全概率问题
(1)已知事件 B 的发生有各种可能的情形Ai(i =1，2，3)，事件 B 发生的可能性，就是各种可能情形 Ai 发生的可能性与已知在 Ai 发生的条件下事件 B 发生的可能性的乘积之和，即 .
(2)在上例中，P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第 i 台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率. 当已知抽到的零件是次品( B 发生)，
是这件次品来自第 i 台车床加工的可能性大小，通常称为后验概
率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 ， ， 就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额.
将上例中的问题一般化，就可以得到贝叶斯公式.
贝叶斯公式：设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，
，且 ，则对任意的事件 ，
，有
注意：选讲内容，不作考试要求。
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的
干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
(1) 分别求接收的信号为0和1的概率；
解：
解：
1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题
完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.
设A＝“选到有思路的题”, B＝“选到的题做对”, 则由全概率公式, 可得
解：
2. 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件.
(1) 求这件产品是合格品的概率；
设A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的产品来自第i批”(i＝1, 2), 则
课堂小结：
1. 全概率公式：
2. 贝叶斯公式：