2022-2023 学年度四月检测
高一数学试题
一、单项选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.sin 1920 ( )
1 1 3 3
A． B. C. D.
2 2 2 2
2．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，若b2 c2 a2 3bc，则角A的大
小为（ ）
5 2
A． B． C． D．
6 3 3 6
2
3．已知扇形的圆心角为 3 弧度,弧长为 6cm,则扇形的面积为( ) cm
A.2 B.3 C.6 D.12
3π
4．已知角 终边经过点 P( 3,2)，则 cos （ ）
2
2 13 2 13 5 5
A． B． C． D．
13 13 5 5
5．已知向量 a 2
， b 1，且 a 3b 7，则向量 a,b 的夹角是 （ ）
5π π 2π π
A． B． C． D．
6 6 3 3
6.函数 y lg(2sin x 1)的定义域为 ( )
{x | k x k 5 A. ,k Z} B.{x | k x 7 k ,k Z}
6 6 6 6
{x | 2k C. x 2k 5 ,k Z} {x | 2k x 2k 7 D. ,k Z}
6 6 6 6
7．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构 建筑物 国旗 绘画 优选法等美的
共性与黄金分割相关，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约 0.618，该值
1
2
也可用三角函数m 2sin18 m 4 m来表示，则 （ ）
sin216
1 1
A．2 B． 2 C． 2 D． 2
f x 2sin 2x 8.若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关
2 6
于 y轴对称,则函数 f x 在 0, 2
上的最大值为 ( )
3
A. 2 B. 3 C. 1 D.
2
二、多项选择题 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分
选对的得 2 分.
9．已知向量 a 3, 9 ,b 1, 2 ，则 （ ）
A． a b 15 B． a 3 2 b
C． a a b 75 D．b与 a b不共线
3
10.下列各式中,值为 的是 ( )
2
2sin15 cos15 A. B.cos215 sin 215
1 2sin 215 C. D. sin 215 cos215
11．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 （ ）
A． a 1，b 2 ， B 45 ； B．a 5，b 15， A 30 ；
C． a 6，b 20， A 30 ； D． a 5， B 60 ，C 45 .
12.已知函数 f（x）的定义域是[0，+∞），若 f（x）满足 2f（x+π）+f（x）＝0，
且当 x∈[0，π]时，f（x）＝sinx，则（ ）
2
f 3 1 5 1A．
B． f
2 2 2 4
C． f x 3 5 有一单调增区间是 , D．f（x）≤1
2 2
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分
13.向量 a 与b 满足 a 2b b 2 ，且 b 2，则 a在b 上投影向量的模为 ．
14.已知 sin cos 4 , (0, ) ,则 sin cos = .
3 4
15.已知 sin π 1 5π π x
,则 sin
2
x sin x 的值为 .
6 3 6 3
16．一艘船在A处看到一个灯塔M 在北偏东60 方向，向东行驶10km后，船到达 B处，
看到灯塔M 在北偏东15 方向，这时船与灯塔的距离为________ km．
四、解答题：本大题共 4 小题，共 40 分．解答应写出文字说明 证明过程
或演算步骤.
17.已知 , 为锐角, cos 1 , cos( ) 11 .
7 14
(1)求 sin( ) 的值;
(2)求 cos 的值.
18.如图，在菱形 ABCD中， BE 1 BC，
2 CF 2FD
.
（1）若 EF xAB yAD，求3x 2y的值；
（2）若 AB 6， BAD 60 ，求 AC EF .
3
19．设两个向量 a,b满足 a 1， b 2.
(1)若 (2a b) (a b) 3，求 a,b的夹角 ；
(2)若 a,b的夹角为60 ，向量2ta b与 2a tb的夹角为钝角，求实数 t的取值范围.
f x sin 2 x 220.已知函数 4sin x 2 0 ,其图象与 x轴相邻两交
6
点的距离为 .
2
(1)求函数 f x 的解析式;
（2）若将 f x 的图象向左平移m m 0 个长度单位得到函数 g x 的图象恰好经
,0 m 7 过点 ,求当 取得最小值时, g x 在 , 上的单调区间.
3 6 12
42022-2023 学年四月检测
高一数学试题
一、单项选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.sin 1920 ( )
1 1 3 3
A． B. C. D.
2 2 2 2
【答案】D
2．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，若b2 c2 a2 3bc，则角A的大
小为（ ）
5 2
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】D
2
3.已知扇形的圆心角为 3 弧度,弧长为 6cm,则扇形的面积为( ) cm
A.2 B.3 C.6 D.12
【答案】C
3π
4．已知角 终边经过点 P( 3,2)，则 cos （ ）
2
A 2 13 2 13 5 5． B． C． D．
13 13 5 5
【答案】A
【解析】由题意角 终边经过点 P( 3,2)，可得 sin
2 2 13
2 2 13 ，( 3) 2
cos 3π sin 2 13由诱导公式得 ，故选：A.
2 13
1
5．已知向量 a 2
， b 1，且 a 3b 7 ，则向量 a,b 的夹角是 （ ）
5π π 2π π
A． B． C． D．
6 6 3 3
【答案】D
6.函数 y lg(2sin x 1)的定义域为 ( )
{x | k x k 5 ,k Z} {x | k x k 7 A. B. ,k Z}
6 6 6 6
{x | 2k 5 C. x 2k ,k Z} D.{x | 2k 7 x 2k ,k Z}
6 6 6 6
【答案】D
7．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构 建筑物 国旗 绘画 优选法等美的
共性与黄金分割相关，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约 0.618，该值
m 4 m2
也可用三角函数m 2sin18 来表示，则 （ ）
sin216
A 2 B 1
1
． ． C． 2 D． 2 2
【答案】C
m 4 m2 2sin18 4 4sin218 2sin18 2cos18
【解析】
sin216 sin216 sin216
2sin36 2sin36 2sin36
2
sin216 sin 180 36 sin36 .故选：C.
8.若将函数 f x 2sin 2x 的图象向左平移 个单位后得到的图象关
2 6
于 轴对称,则函数 f x 在 0, 上的最大值为 ( ) 2
A. 2 B. 3
3
C. 1 D.
2
2
【答案】A
二、多项选择题
9．已知向量 a 3, 9 ,b 1, 2 ，则 （ ）
A． a b 15 B． a 3 2 b
C． a a b 75 D．b与 a b不共线
【答案】ABD
3
10.下列各式中,值为 的是 ( )
2
2 2
A. 2sin15 cos15 B.cos 15 sin 15
2 2 2
C.1 2sin 15 D. sin 15 cos 15
【答案】BC
11．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）
A． a 1，b 2 ， B 45 ； B． a 5，b 15， A 30 ；
C．a 6，b 20， A 30 ； D． a 5， B 60 ，C 45 .
【答案】AD
12.已知函数 f（x）的定义域是[0，+∞），若 f（x）满足 2f（x+π）+f（x）＝0，且当
x∈[0，π]时，f（x）＝sinx，则（ ）
A． B．
C．f（x）有一单调增区间是（ ， ） D．f（x）≤1
【答案】BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对
的得 2 分.
3
13．若向量 a与b 满足 a 2b b 2 ，且 b 2，则 a在b 上的投影向量的模为
______．
2
【答案】．5 设 a，b 的夹角为 ，由 a 2b b a b 2b 2，得
a
b cos 2 2b 2 10 ，得 a cos 5．
4
14.已知 sin cos , (0, ) ,则 sin cos = .
3 4
2
【答案】
3
π 1 5π π
15.已知 sin x ,则 sin x sin
2 x 的值为 .
6 3 6 3
【答案】 5
9
16．一艘船在A处看到一个灯塔M 在北偏东60 方向，向东行驶10km后，船到达 B处，
看到灯塔M 在北偏东15 方向，这时船与灯塔的距离为________ km．
【答案】5 2
四、解答题：本大题共 4 小题，共 40 分．解答应写出文字说明 证明过程
或演算步骤.
1
17.已知 , 为锐角, cos , cos( ) 11 .
7 14
(1)求 sin( ) 的值;(2)求 cos 的值.
.解：(1) , 为锐角, cos( ) 11 . ,
14 2
sin( 11 5 3 ) 1 cos2 ( ) 1 ( )2 . -----------------4 分
14 14
(2) 为锐角, cos 1 , sin 1 cos2 1 (1 )2 4 3 .
7 7 7
4
cos cos[ ( )] cos cos( ) sin sin( )
1 ( 11) 4 3 5 3 1 . -----------------8 分
7 14 7 14 2
1
18.如图，在菱形 ABCD中，BE BC，
2 CF 2FD
.
（1）若 EF xAB yAD，求3x 2y的值；
（2）若 AB 6， BAD 60 ，求 AC EF .
【答案】（1） 1；（2） 9 .
1
【解】（1）因为 BE BC，CF 2FD，2
1 2 1 2
所以 EF EC CF BC DC AD AB，
2 3 2 3
2 1
所以 x 2 y 1 ， ，故3x 2y 3 2 1. -----------------5 分3 2 3 2
（2）∵ AC AB AD，
1 2 1 2 2 2 1
∴ AC EF (AB AD) AD AB
AD AB AB AD，
2 3 2 3 6
∵ ABCD为菱形，∴ AD AB 6，
1 2 1 2AC EF AB AB cos BAD 1 1 1∴ 36 36 9，即
6 6 6 6 2
AC EF 9 . -----------------10 分
19．设两个向量 a,b满足 a 1， b 2.
(1)若 (2a b) (a b) 3，求 a,b的夹角 ；
(2)若 a,b的夹角为60 ，向量2ta b与 2a tb的夹角为钝角，求实数 t的取值范围.
（1 2 2）解：由 2a b a b 3，得 2a a b b 3 ,
5
2 2 a b 1
又 a 1,b 4 , 所以 a b 1，所以 cos 2，a b
又因为 0 180 ,所以 a,b的夹角为 120 ； -----------------5 分
（2）解：由已知得 a b 1 2 cos60 1，
则 2ta b 2 2 2a tb 4ta 2t 2a b 2a b tb 2t 2 2，
因为向量 2ta b与2a tb的夹角为钝角, 所以 2t2 2 0 , 解得 1 t 1，
2t 2
设 2ta b 2a tb , 0 , 则 1 t , 无解, 故两个向量的夹角不可能为 180 ,
0
所以向量 2ta b与2a tb的夹角为钝角时, t的取值范围为 1 t 1 .-----------10 分
20.已知函数 f x sin 2 x
4sin
2 x 2 0 ,其图象与 x轴相邻两交
6
点的距离为 .
2
(1)求函数 f x 的解析式;（2）若将 f x 的图象向左平移m m 0 个长度单位得
到函数 g x 的图象恰好经过点 ,0 ,求当m取得最小值时, g x 在
3
,
7
上的单调区间. 6 12
解：(1) f x sin 2 x
4sin
2 x 2
6
3
sin 2 x 1 cos2 x 4 1 cos2 x 2
2 2 2
3
sin 2 x 3 cos2 x 3sin 2 x
2 2 3
6
由已知函数 f x 2 的周期T , , 1
2
∴ f x 3sin 2x
. -----------------5 分
3
(2)将 f x 的图象向左平移m m 0 个长度单位得到 g x 的图象
∴ g x 3 sin 2x 2m ,∵函数 g x 的图象经过点 ,0 3 3
∴ 3sin
2
2m
0 ,即 sin 2m
3 3 3
0
∴ 2m
k
k , k Z∴m
, k Z
3 2 6
∵m 0
,∴当 k 0 ,m取最小值,此时最小值为
6
此时, g x 2 3sin 2x x 7 .令 ,则 2x
2 11
3 6 12 3 3 6
2x 2 3 2x 2 11 当 或 ,即当 x 或
3 3 2 2 3 6 6 12
5 x 7 时,函数 g x 单调递增
12 12
2x 2 3 5 当 ,即 x 时,函数 g x 单调递减.
2 3 2 12 12
∴ g x 7 5 7 在 , 上的单调增区间为 ,
, , ;
6 12 6 12 12 12
, 5 单调减区间为 . ----------------12 分 12 12
7
