2022-2023 学年度下学期月考
高一数学试题答案
2023 年 4 月
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6. D 7．A 8．D
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分.
9. BD 10. BCD 11.AC 12. ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分
3
13. 5 14. 3 15. 16.①. 1 ②.
2
四．解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【答案】（1） (4,1) ；（2） 2 2 ；（3） .
10 2
【解析】（1）因为a
1，2 ,b 3，1 ，
所以a b 1，2 3，1 (4,1)；
（2）由题意得a b 1，2 3，1 3 2 1，
| a
| 12 22 5,| b | ( 3) 2 12 10 ，
故 cos
a b
1 2
10 ；| a | | b | 5 10
（3）因为向量a kb 与a kb 互相垂直，故 (a
kb) (a kb) 0，
即 a 2 (kb )2 0, 5 2 10k 2 0,k .
2
18．【答案】（1）a 2；（2）m 18
【解析】（1） z2 2 a i ， z1 z2 a 2 3 a i，
因为 z1 z2 在复平面内对应的点落在第一象限，
a 2 0
所以 a 2
3 a 0
，解得 ；
（2）因为虚数 z1 是实系数一元二次方程 x2 6x m 0的根，
所以虚数 z1 a 3i 也是一元二次方程 x2 6x m 0 的根，
则 z1 z1 2a 6, z
2
1 z1 a 9 m，所以 a 3,m 18 .
2 1
19．【答案】（1） 16；（2）① AB AD；② 21, 9 3 2
uuur uuur uuur
【解析】（1）在菱形 ABCD中， AC AB AD，且 AB DC CD， AB AD 4
1
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur
又Q CF 2FD CF CD AB3 3
uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur2 2 uuur uuur
AC CF (AB AD) ( AB) AB AB AD
3 3 3
2 uuur 2 2 uuur uuur
AB AB AD cos60o 2 2 1 16 4 4 16
3 3 3 3 2
（2）（i） 菱形 ABCD， AB DC, AD BC
uuur uuur uur 2 uuur 1 uur 2 uuur 1 uuur
EF CF CE DC CB= AB AD
3 2 3 2
AE AB BE AB 1
（ii） AD2
1 2 1 2 2
AE EF (AB AD) ( AB AD) 2 AB 1 AB 1 AD AD
2 3 2 3 6 4
2 1
36 AB AD cos 1 AB, AD 36
3 6 4
15 6cos AB, AD
AB, AD (0, )， cos AB, AD ( 1,1)
AE EF 的取值范围是： ( 21, 9)
20.【答案】（1）50海里；（2） 2小时
【分析】（1）根据已知条件求出 ADB，在△ABD中利用正弦定理即可求解；
（2）求出 CBD，在△BCD中由余弦定理求出CD，再根据速度即可得所需要的的时间.
【详解】（1）由题意知： AB 25 6 ， DBA 90 75 15 ， DAB 90 45 45 ，
所以 ADB 180 45 15 120 ，
BD AB
△ABD BD 25 6在 中，由正弦定理可得： 即 ，
sin DAB sin ADB sin 45 sin120
2
BD 25 6 sin 45
25 6
所以
2 50海里，
sin120 3
2
（2）在△BCD中， CBD 180 75 45 60 ， BC 80，BD 50，
由余弦定理可得：
CD2 BC 2 BD2 2BC BD cos CBD
6400 2500 2 80 1 50 4900，
2
所以CD 70海里，
70
所以需要的时间为 2小时，
35
所以 B点到D点的距离 BD 50海里，救援船到达D点需要的时间为 2小时.
2
21 3 3．【答案】(1)
4
(2)∠ACB= 45
（1）
2 2 2
在△ABC cosB AB BC AC AB BC 1中， ，
2AB BC 2AB BC 2
因为0 B 180 ，所以 B 120 ．
S 1 AB BC sin120 1 3 1 3 3 3△ABC ．2 2 2 4
（2）
设 ACB ，则 ACD 120 ， ADC 30 ， BAC 60 ．
AC CD sin 30
在△ACD 中，由 sin 30 sin 30 ，得 AC CD．sin 30
AC BC sin120
在△ABC中，由 sin120 sin 60 AC BC ，得 sin 60 ．
sin 30 sin120
联立上式，并由CD 3BC得 3 ，sin 30 sin 60
整理得 sin 30 sin 60 1 sin 60 2 1 ，所以 ，
4 2
因为0 60 ，所以60 60 2 180 ，
所以60 2 150 ，解得 45 ，即∠ACB的值为 45 ．
22．【答案】（1）B ；（2）6
3
a b a c
【解析】（1）若选①，由正弦定理可得 ，即 a2 c2 b2 ac，
c a b
由余弦定理可得 cos B a
2 c2 b2 1
，
2ac 2
因为 B 0, ，所以B ；
3
若选②，由正弦定理可得 2sin B cos B sin AcosC cos AsinC sin A C sin B，
1
因为 sin B 0，所以cosB ，因为 B 0, 2 ，所以B ；3
若选择③，因为 2S ABC 3BA BC ，所以 ac sin B 3ac cosB ，即 tan B 3 ，
因为 B 0, ，所以B ；
3
（2）∵ ABC
外接圆半径为 R 3 ，∴b 2Rsin B 2 3 sin 33 ．
由余弦定理，得b2 a2 c2 2ac cos B 9，
3
a2 ∴ c2 2accos 9，化简得 a23 c
2 ac 9．
a c 2配方可得 9 3ac，
ac 1
2
2 3
∵ a c ，∴ a c 9 a c
2 2
，解之得 a c 36，
2 4
因此 a c 6 ，当且仅当a c时等号成立．
所以a c的最大值为 6．
42022-2023 学年度下学期月考 6. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物
高一数学试题 AB，高为15 3 1 m，在它们之间的地面上的点 M（B，
2023 年 4 月 M，D三点共线）处测得楼顶 A，教堂顶 C的仰角分别是
本试卷分客观题和主观题两部分共 22 题，共 150 分，共 3 页。考试时间为 120 分钟。考试结 15°和 60°，在楼顶 A处测得塔顶 C的仰角为 30°，则小明
束后，只交答题卡。
估算索菲亚教堂的高度为（ ）
第Ⅰ卷 客观题
A. 20 m B. 30 m C. 20 3 m D. 30 3 m
7．已知 i是虚数单位，复数 z a bi a R,b R ，且 z 1，则 z 3 i 的最大值为（ ）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项 A．3 B．2 C．1 D．4
中，只有一项是符合题目要求. 8．记 内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，点G是 的重心，若 BG CG ,5b 6c 则 cos A的
1．以下说法正确的是（ ） 取值是（ ）
59 57 11 61
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的 A． B75 ．
C D
75 ．15 ． 75
棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体． 二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥ 多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分.
2．在 中，若 a cosB c，则 的形状是（ ） 9. 已知向量 a (1, 2) ,b (t,1)，则下列说法错误的是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 1A. 若a∥b，则 t的值为 2
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
2 5 5
3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P1 1,3 ，P2 4,0 ，且 P是线段 P1P2 的一个三等分点（靠近 P1点）， B. 与a垂直的单位向量一定为 ,
5 5
则向量OP （ ）
A．（2，2） B．（3，-1） C．（6，6） D．（3，1） C. a b 的最小值为 3
4．如图，水平放置的 的斜二测直观图为 ，已知
A O B O C O 1，则 的周长为（ ） D. 若b在 a上的投影向量为 5e（ e为与向量 a同向的单位向量），则 t 5
A．6 B． 2 2 5 10. 在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 sin A : sin B : sinC 3 : 4 : 5，则下列
C．8 D．2 4 5 结论错误的是（ ）
5．在平行四边形 ABCD中，G为 的重心， AG xAB yAD，则 A. sin A cosB
3x y B. 若b 4，则 ABC内切圆的半径为 2（ ）
10 5 C. 若b 4，则 AB BC 9
A. B. 2 C. D. 1
3 3
高一数学试题 第 1页 共 3 页
D. P ABC PA 2PB PC 0 △APC △BPC 16. 在 2022年 2月 4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉若 为 内一点满足 ，则 与 的面积相等
11.下列说法中正确的有（ ） 盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意
1 25
A．已知 a在b 上的投影向量为 b且 b 5，则 a b ； 境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形 ABCDEF（如图②）．已
2 2
5 , 知正六边形的边长为 1，点 M 满足 AM AB AF ，则 | AM | _______；若点 P 是正六边形B．已知 a 1,2 ,b 1,1 ，且 a与 a b夹角为锐角，则 的取值范围是 ；
3
a,b | a | | b | | a
b | a ABCDEF 边上的动点（包括端点），则 AM BP的最大值为_______．C．若非零向量 满足 ，则 与 a b的夹角是30 .
D．在 中，若 AB BC 0，则 B为锐角；
12. 在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 ccosB bcosC a 2，则下列说法正确
的是（ ）
3
A. 若 B+C=2A，则 面积的最大值为
4
π
B. 若 A ，且 只有一解，则 b的取值范围为 0,1
4
C. 若 C=2A，且 为锐角三角形，则 c的取值范围为 2, 3 第Ⅱ卷 主观题
1
D. O为 的外心，则 BC BO
2 四．解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 骤.
13. 已知 i为虚数单位，复数满足 z 2 i 3 4i，记 z为 z的共轭复数， z _______ 17．已知 a 1，2 ,b 3，1
（1）求 a b ;
14. 3 3 在 中，角 A ,B ,C 所对的边分别为 a， b， c， A 60 ，且 面积为 ，若 （2）设 a，b的夹角为 ，求 cos 的值;2
（3）若向量a kb a 与 kb 互相垂直，求 k的值.
b c 3 3，则a ______．
15. 如图，在△ABC 中，已知 AB=2,AC=5, BAC 60 ,BC,AC 边上的两条中线 AM,BN 相交于点 P，
18．已知复数 z1 a 3i, z2 2 ai（ a R ， i是虚数单位）.
则 MPN 的余弦值为_______．
（1）若 z1 z2 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 a的取值范围；
（2）若虚数 z1是实系数一元二次方程 x2 6x m 0的根，求实数m的值.
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1
19．如图，在菱形 ABCD中， BE BC,CF 2FD， 21．如图，四边形 ABCD 中， AB2 BC2 AB BC AC2．
2
（1）若 AB 4， BAD 60 ，求AC CF； (1)若 AB 3BC 3，求△ABC 的面积；
（2）若菱形 ABCD的边长为6，
(2)若CD 3BC， CAD 30 ， BCD 120 ，求∠ACB 的值．
（i）用 AB，AD表示 EF；
（ii）求 AE EF的取值范围.
20.某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距 25 6海里.现有一艘轮船在 sin A sin B sin A sinC
22．在① ，②acosC ccos A 2bcosB，③ 2S 3BA BC，这三
D D A 45 B c a b
ABC
点发出求救信号，经探测得知 点位于 点北偏东 ， 点北偏西75 ，这时位于 B点南偏西 45
个条件中任选一个，补充在下列的问题中，并解决问题．
且与 B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为 35海里/小时. 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知____________．
（1）求 B；
（2）若 的外接圆半径为 3，求 a c的最大值．
（1）求 B点到D点的距离 BD；
（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间.
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