黑龙江省哈尔滨市名校2022-2023学年高一下学期4月考试数学试题（含答案）

哈尔滨市名校2022-2023学年高一下学期4月考试
数学试题
满分150分时间120分钟
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.已知向量，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.在中，若，则的形状为（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
3.在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C.： D.
4.下列命题：
①若，则；
②的充要条件是且
③若，则；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.
其中，真命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知在所在的平面内，且，，则分别是的（ ）
A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心
C.外心，重心，内心 D.外心，重心，垂心
6.若向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，角的对边分别为，若且，则的形状为（ ）
A.直角三角形 B.等腰非等边三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
8.在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（ ）
A.16 B.13 C.10 D.8
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列叙述正确的为（ ）
A.有向线段就是向量，向量就是有向线段
B.若，则
C.所有的单位向量都相等
D.与是非零向量，若与同向，则与反向
10.在平面直角坐标系中，已知点，下列判断正确的是（ ）
A.
B.是直角三角形
C.与的夹角的大小为
D.点为的重心
11.在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ）
A.若，则只有一解
B.若，则是锐角三角形
C.若，则.
D.若，则的形状是等腰或直角三角形
12.在中，分别是边中点，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.若，则
D.若，则为等边三角形
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，且，则__________.
14.已知向量与的方向相反，，则__________.
15.已知向量，若，则的值为__________.
16.如图，在边长为1的正方形中，为的中点，点在正方形内（含边界），且.①若，则的值是_______；②若向量，则最大值时点坐标为________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知点，，.
（1）若点，，三点共线，求实数的值；
（2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值.
18.（12分）
已知向量与的夹角，且，.
（1）求和；
（2）与的夹角的余弦值.
19.（12分）
已知，设，若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为；
（1）求：
（2）若任意，均使恒成立，求实数的取值范围.
20.（12分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
21.（12分）
如图，在平行四边形中，，垂足为P.
（1）若，求的长；
（2）设，，，，求x和y的值.
22.（12分）
已知函数的图象如图所示，点为与轴的交点，点分别为的最高点和最低点，而函数的相邻两条对称轴之间的距离为，且其在处取得最小值.
（1）求参数和的值；
（2）若，求向量与向量夹角的余弦值；
（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时，恒成立，求A的取值范围.
数学答案
一 单选题
1-4CDDB 5-8DBCA
二 多选题
9.BD 10.ABC 11.ACD 12.ACD
三 填空题
13. 14. 15. 16.；
四、解答题
17.（1）因为点，，三点共线，所以，又，，所以，即.
（2）由题意，，因为，，则，
所以.
18.（1）已知向量与的夹角，且，，则，
（2）与的夹角的余弦值为.
19.（1）解：，
又因为函数相邻的对称轴距离为，所以，即，解得，所以.
（2）由题意可知故，即
20.（1）由题意及正弦定理知，，
，，.
（2），又，
由①，②可得，所以的周长为.
21.解：（1）在平行四边形中，，垂足为
，解得.故长为2.
（2），且三点共线，①，
又，则，
由可知，
展开，化简得到②
联立①②解得，故.
22.（1）因为的相邻两条对称轴之间的距离为所以
又时，取最小值则，，
又，则
（2）是上动点，，
又恒成立设
，
易知在或处有最小值，在或处有最大值 所以当或时，有最小值
即当在或时，有最小值，此时或
为时，，
，得
又，则 为时，，
，解得 综上，