数学 2023.4
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试时间 120分钟，满分 150分，考试结束后，只将答题卡交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.如图所示，D 是 ABC的边 AB 上的中点，记BC a ，BA c ，则向量CD ( )
1 1 1 1
A. a c B. a c C. a c D. a c
2 2 2 2
1 tan15
2.计算 ( )
1 tan15
3 3
A. 3 B. 3 C. D.
3 3
3.已知 ABC是边长为 2 的等边三角形，则CA AB ( )
A. 2 B. 2 3 C. 2 D. 2 3
4.已知 a 4, b 3,(2a 3b) (2a b) 13，求a与b 的夹角 .( )
2
A. B. C. D.
6 4 3 3
1
5.已知sin x ，则sin 2x ( )
6 3 6
4 2 2 7 2
A. B. C. D.
9 9 9 9
6.若平面向量 a,b,c两两的夹角相等，且 a 2, b 2, c 3，则 a b 2c ( )
A. 2 B.10 C.5或2 D.10或4
7.已知 ABC的外接圆圆心为 O,且2AO AB AC, OA AB ,则向量CA在向量BC上
的投影向量为( )
1 3 1 3
A. BC B. BC C. BC D. BC
4 4 4 4
1
8．如图，已知扇形 AOB的半径为2 ，其圆心角为 ，四边形PQRS
4
是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为( )
2 3 3
A. 2 1 B. 2 2 2 C. D.
3 6
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9.下列关于向量的命题正确的是( )
a
A.对任一非零向量 a ， 是一个单位向量
| a |
B.对任意向量 a，b ，
恒成立
a b a b
C.若 a b 且 c b ，则 a c
3 2
D.在 OAB 中，C 为边 AB 上一点，且 AC :CB 3: 2 ，则OC OA OB
5 5
10.已知 A 2,3 ，B 4, 3 ，点 P 在直线 AB 上，且 AP 2 PB ，则点 P 的坐标为( )
10
A. 6, 9 B. , 1 C. 8, 15 D. 5, 6
3
11. 如图，在海岸上有两个观测点 C，D，C 在 D 的正西方向，距离为 2 km，在某天 10:00
观察到某航船在 A 处，此时测得∠ADC=30°，5 分钟后该船行驶至 B 处，此时测得∠ACB=60°，
∠BCD=45°，∠ADB=60°，则( )
A. 当天 10:00 时，该船位于观测点 C 的北偏西 15°方向
B. 当天 10:00 时，该船距离观测点 C 2 km
C. 当船行驶至 B 处时，该船距观测点 C 2 km
D. 该船在由 A 行驶至 B 的这 5 min 内行驶了 6 km
12.已知函数 f (x) 2sin2 x 3 sin 2x 1，则( )
A. f (x) 在[0, ]内有 2 个零点
B. f (x) 在 (0, ) 上单调递增
8
2
C. f (x) 的图象可由 y 2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到
6
D. f (x) 在[ ,0]上的最大值为1
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上．
13.若a (2,3)与b (2x, 6)共线，则 x ______.
14.已知单位向量a，b ，若 a b 1，则a与b 的夹角为________.
15.已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0,| | ) 的部分图象
2
3 7
如图所示，点 (0, ) ， ( ,0)， ( ,0) 在图象上,则 f ( ) ______.
2 3 3
16.求sin160 3 3 tan 50 ______.
四、解答题：本题共 6 小题．共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17（10 分）．已知 | a | 1,| b | 1，且向量 a 与b 不共线.
(1)若 a 与b 的夹角为120 ，求 (3a b) (a b)；
(2)若 a 与b 的夹角为 60 且向量 a kb 与 ka 2b 的夹角为锐角，求实数 k 取值范围.
1 1 2
18（12 分）．已知函数 f (x) sin x sin x+ 的最小正周期为 ；
6 2 2 3 2
(1) 求函数 f (x) 的解析式；
(2) 求函数 f (x) 的单调递增区间、对称轴及对称中心.
19（12 分）．已知a 2cos x,cos x ,b ( 3sin x,2cos x)函数 f (x) a b m 1在区
间 0, 上的最大值为 5，
2
（1）求常数m的值；
（2）当 x R 时，求使 f x 4成立的 x的取值集合.
3
20（12 分）.如图，一个半径为 4m 的筒车按逆时针方向每分转 2 圈，筒车的轴心 O 距离水
面的高度为 2m.设筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距离为 d（单位：m）（在水面下则 d 为负
数），若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间.
（1）求 d 与时间 t（单位：s）之间函数关系d Asin( t ) K A 0, 0,
2 2
（2）在（1）的条件下令 f (x) Asin x ， f (x)的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标缩小
30
1
为原来的 ，得到函数 g(x)，画出 g(x)在 0, 上的图象.
4
21（12 分）. 已知m 1 3 sin x, 1 ,n cos x,cos2 x ，设函数 f (x) m n ．
2
π 5π
（1）当 x , 时，求函数 f (x)的最值及取得最值时的 x ；
12 12
A
（2）设 ABC的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c, 且a 2 3 ，b 6, f 1，求c
2
的值．
22（12 分）．在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且b a(sinC cosC) .
（1）求 A；
（2）在①a 2，②B ，③c 2b这三个条件中，选出两个使 ABC唯一确定的条件
3
补充在下面的问题中，并解答问题，若______，______，求 ABC的面积.
4数学试题参考答案 2023.4
一、 单选题
1—4. CDAC 5—8. CDDB
二、多选题
9.ABC 10.AB 11.ABD 12.ABD
11. 提示：A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为 C在 D的正西方向，所以 A在 C的北偏西 15°
方向，故 A 正确；
B 选项中， △ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.
CDsin ADC
由正弦定理，得 AC= 2 ，故 B 正确；
sin CAD
C 选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，
即∠CBD=45°，则 BD=CD=2，于是 BC=2 2 ，故 C 不正确；
D 选项中，在△ABC中，由余弦定理，得
1
AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－2 2 2 2 =6，
2
即 AB= 6 km，故 D 正确；故选：ABD．
三、填空题
2 3 3
13. 2 14.在(也可写成120 ) 15. 16. 3 3 2四、解答题
-1 -1
17．解： (1) a 与b 的夹角为120 ， a b | a || b | cos120
1 1 .
2 2
1
(3a b) (a b) 3a2 2a b b2 3 2 1 1┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
2
(2) 向量 a kb 与 ka 2b 的夹角为锐角，
(a kb) (ka 2b) 0 ，且不能同向共线，
k2 2
(a kb) (ka 2b) 3k 0 ， k 2
2
解得3 7 k 2或 2 k 3 7.
实数 k 的取值范围是 (3 7, 2) ( 2,3 7). ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分
（没有写出 k 2 ，扣 2分）
1
1 1 1 1
18．解：（1） f (x) sin + x sin x sin x cos x
6 2 2 6 2 2 6 2 6
1 1 5
2 sin x 2 sin x ，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
2 6 4 2 12
2
8
因为最小正周期为 ，所以 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
2
2
5
∴函数 f (x) 的解析式为 f x 2 sin 4x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
12
5 k 11 k
（2）令 2k 4x 2k ,k Z ，得 x ,k Z ，
2 12 2 2 48 2 48
k 11 k
∴函数 f (x) 的单调递增区间为 , ,k Z .┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
2 48 2 48
5 k
令 4x k ,k Z ，得 x ,k Z ，
12 2 4 48
k
∴函数 f (x) 的对称轴为 x x ,k Z .┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉10分
4 48
5 k 5
令 4x k ,k Z ，得 x ,k Z ，
12 4 48
k 5
∴函数 f (x) 的对称中心为 ( ,0),k Z .┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
4 48
19．解：∵ f (x) a b m 1
∴ f (x) 2 3 sin xcos x 2cos2 x m 1 3 sin 2x 2cos2 x 1 m 3sin 2x cos2x m
2sin 2x m，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分
6
7 1
∵ x 0, 2
，∴2x , ，∴ sin 2x 1，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 6 6 6 2 6
所以函数 f (x) 的最大值为2 m，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
∴ 2 m 5，∴m 3 .┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（2）由（1）得 f (x) 2sin 2x 3 ，
6
1
由 f x 4得 2sin 2x 3 4 ,∴ sin(2x ) ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
6 6 2
5
∴ 2k 2x 2k ,k Z ,∴ k x k ,k Z , ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉11分
6 6 6 3
∴使 f x 4成立的 x的取值集合是 x | k x k ,k Z ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
3
A K 6 A 4
20.解：（1）由已知条件可得 ，解得 ；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分
A K 2 K 2
2
2 2
因为逆时针方向每分转 2 圈，∴T=30s,∴ ；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分
T 30 15
∴ d 4sin( t ) 2
15 2 2
1
又 t 0时,d 0 4sin 2 0 sin ，又 = ┉┉5分
2 2 2 6
∴ d 4sin( t ) 2 .┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
15 6
（2）由（1）可得 f (x) 4sin x ∴ g(x) sin 2x 列表如下
15 6 6
3 13
2x 2
6 6 2 2 6
5 2 11
x 0
6 12 3 12
1 1
f (x) 1 0 1 0
2 2
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分
描点连线，图象如图.
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
21. 解：
1 3 1 π
由已知条件可得 f (x) 3 sin xcos x cos2 x sin 2x cos 2x 1 sin 2x 1，┉2分
2 2 2 6
π 5π π π 2π 3 π
x , ，则 2x ，∴ sin 2x 1，
12 12 3 6 3 2 6
π π π π
∴当sin 2x 1，即2x ，得 x 时 f (x)取得最大值 0，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
6 6 2 3
π 3 π π π 3
当 sin 2x ，即2x ，得 x 时 f (x) 取得最小值 1．┉┉┉┉┉6分
6 2 6 3 12 2
A π π
（2）由 f sin A 1 1，得 sin(A ) 0，
2 6 6
3
π
又 A (0,π)，∴ A ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分
6
法一：由余弦定理a2 c2 b2 2 c bcosA得c2 6 3c 24 0，
解得： c 4 3 或2 3 ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
a b 3 π 2π
法二：由正弦定理 得 sin B ，∴ B 或 B ，
sin A sin B 2 3 3
π π
当 B 时，C ，由勾股定理有 c 4 3 ；
3 2
2π π
当 B 时，C A ，则c a 2 3 ；
3 6
∴ c 4 3 或2 3 ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
a b c
22．解：（1）∵b a sinC cosC ，由正弦定理 得
sin A sin B sinC
sin B sin A sinC cosC ，又sin B sin A C ，
∴sin A C sin A sinC cosC ，
∴sin AcosC cos AsinC sin A sinC cosC
π
整理得cos A sin A，∴ tan A 1，又∵0 A π，∴ A ；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
4
（2）方案一：选条件①和②，
π
2sin
a b a sin B
由正弦定理 ，得b 3 6
sin A sin B sin A πsin
3
2 2 π
由余弦定理b2 a2 c2 2accos B ，得6 2 c 2 2ccos
3
1 1 3 3 3
解得c 3 1，所以 ABC的面积 S acsin B 2( 3 1) .┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
2 2 2 2
方案二：选条件①和③，
由余弦定理a2
2
b2 c2 2bccos A，得4 b2 2b2 2b 2b ，
2
即 b2 4，解得b 2．∴c 2 2，∴a
2 b2 c2 ，∴ ABC为直角三角形，
1
所以 ABC的面积 S 2 2 2 ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分
2
4
5
