广西南宁市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

南宁市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1. 已知集合，则（ ）
A． （-1，3） B． （0，5） C． {1，2} D． {0，1，2}
2. 若复数z满足，则（ ）
A． 1 B． 5 C． 7 D． 25
3. 设，则“”是“直线与直线：平行”的（　　）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
4. 记等差数列{}的前n项和为，若，则（　　）
A． 12 B． 13 C． 14 D． 15
5. 函数在区间[-1，2]上的最小值为（　　）
A． B． C． D． -3
6. 已知圆的方程为，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． 10 B． 20 C． 30 D． 40
7. 已知F为双曲线的左焦点，直线l经过点F，若点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C. D.
8. 已知，则（　　）
A． B． C． D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）
A． 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B． 课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C． 课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D． 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
10. 已知等比数列{}的公比为q，前n项积为，若，且，则下列命题正确的是（　　）
A． B． 当且仅当时，取得最大值
C． D．
11. 已知抛物线C的焦点为F，点A（2，1）在C上，P为C上的一个动点，则（　　）
A． C的准线方程为
B． 若M（0，3），则|PM|的最小值为2
C． 若M（3，5），则△PMF的周长的最小值为11
D． 在x轴上存在点E，使得∠PEF为钝角
12. 已知函数分别与直线交于点A，B，则下列说法正确的（　　）
A． |AB|的最小值为
B．，使得曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线平行
C． 函数的最小值小于2
D． 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 在代数式的展开式中，常数项为___________。
14. 曲线在点（-1，-3）处的切线方程为___________。
15. 某班宣传小组有3名男生和2名女生。现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取到有男生的条件下，2名都是男生的概率为___________。
16. 已知函数（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是___________。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛。现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示。
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第50百分位数；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在[60，70）内的概率。
18.（本小题满分12分）如图所示，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求b和sinC；
（2）如图，设D为AC边上一点，，求△ABD的面积。
19.（本小题满分12分）在数列{}中，已知
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，数列{}的前n项和为，求使得成立的整数n的最大值。
20.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，，且
（1）求证：OE⊥平面ABCD；
（2） 若，点Q为AE的中点，求二面角的余弦值。
21.（本小题满分12分）已知椭圆C：，四点（0，），（1，1），（，1），恰有三点在C上。
（1）求C的方程；
（2）若圆的切线l与C交于点A，B，证明：。
22.（本小题满分12分）已知函数
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2） 若恒成立，求实数a的取值范围。
南宁市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题参考答案
1. D
【详解】集合，集合，则，故选：D。
2. B
【详解】由题意有，故。故选：B。
3. C
【详解】解：当时，，可得两直线平行；若与平行，则，解得或，故为充要条件，故选：C。
4. A
【详解】根据数列{}为等差数列，则，所以，所以，故选：A。
5. C
【详解】由可得，令，解得，当，f（x）单调递减；当，f（x）单调递增，所以f（x）的极小值，也为最小值为，故选：C
6. B
【详解】解：圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1.
所以点（3，5）在圆内，最长弦为圆的直径。由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，最长弦即直径，即
所以四边形ABCD的面积为。故选：B。
7.C
【详解】解法一：由点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，
可得直线l为线段AB的垂直平分线，线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率为，可得直线l的方程为，令，可得，由题意可得，即有，即，由，可得，解得舍去），故选：C。
解法二：由点A（a，0），B（0，b）关于直线l对称，可知，即，两边平方，并结合，整理可得，下同解法一。
8. C
【详解】设函数，则，则f（x）在（+∞）上是减函数，
又，则
又因为
所以，即。故选：C。
9. ACD
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；
对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；
对于C，“御”“书“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确。
故选：ACD。
10. ACD
【详解】因为，所以，故A正确；
又，即，解得，故C正确；
由知等比数列{}为递减数列，且，故取得最大值为，故B错误；
因为
，
所以成立，故D正确。故选：ACD。
11. BC
【详解】A选项：因为点A（2，1）在抛物线上，所以，解得，所以抛物线C的方程为，所以C的准线方程为，故A错误；
B选项：设点P（，），，则
因为M（0，3），所以
当且仅当时等号成立，所以，故B正确；
C选项：过点P作PN垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，则易知F（0，1），M（3，5），所以，
所以△PMF的周长为当且仅当M，P，N三点共线时等号成立，所以△PMF的周长的最小值为11，故C正确；
D选项：设E（t，0），则所以因为点P（，）在C上，所以，即所以所以，故∠PEF不可能为钝角，故D错误。
故选：BC。
12. AB
【详解】对于A项，设A（，a），B（，a），则又因为，所以设，所以
又因为在（0，+∞）单调递增，且，当当所以φ（a）在（0，）上单调递减，在单调递增，
所以，所以|AB|的最小值为，故A正确。
对于B项，函数在点A（，a）处切线的斜率为，
又因为，所以函数在点A（，a）处切线的斜率为
，
函数在点B（，a）处切线的斜率为
又因为，所以函数在点B（，a）处切线的斜率为，要使曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线平行，即
，所以有解，即方程有根。即函数有零点，
又因为当，故B正确。
对于C项，，因为在（0，+∞）上单调递增，当时，
当时，
则存在，使得，即,
当时，时，
所以，（由于，故等号取不到），
又因为，函数的最小值大于2，故C错误；
对于D项，不等式化简后变为：，
当时，
当时，，In
所以，则，故D错误。
13. -5
【详解】的展开式的通项为：，令，解得，所以的展开式中的常数项为-5。
14.
【详解】由题，当时，，故点在曲线上。求导得：，所以
故切线方程为。故答案为：。
15.
【详解】设事件A表示“有男生”，事件B表示“两名都是男生”，
则，故。故答案为：。
16.
【详解】，因为函数（e为自然对数的底数）有两个极值点，所以上有两个不等实根，在（0，+∞）上有两个不等实根，令
，当时，，当时，
所以当时，f（x）的最大值为；
当时，，当时，
如图所示：所以实数a的取值范围是
故答案为：
17. （1），第50百分位数为75.6 （2）
解：（1）由频率分布直方图可得，，。1分
则。。。。。。。2分
前3组的频率和为，第4组频率为0.25，所以第50百分位数位第4[70，80）内，记第50百分位数为x，。。。。。。。。。。。。
则，解得，即第50百分位数为75.6；。。。。。。。。。。5分
（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率分别为0.06，0.12，0.18，采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在[40，50）内的有1人，记为A，成绩在[50，60）内的有2人，记为B1、，成绩在[60，70）内的有3人，记为，。。。。。。。6.。
则从成绩在[40，70）内的6人随机抽取2人，共有：
、，共有15种，2人中至少有1人成绩在[60，70）内，共有：
、、AC3、、、、、、，有12种，
记事件人中至少有1人成绩在[60，70）内”，则。。。。。。10分
18. 解（1）因为，所以在△ABC中，由正弦定理，得2sin BsinA，因为，所以，所以，又，所以，。。。。。。。。。3分
由余弦定理得，，所以，在△ABC中，由正弦定理，
所以；。。。。。。。。。6分
（2）在△ABD中，由正弦定理得，，
因为，所以，因为，所以，
而，所以，。。。。。。。。。。。8分
由，设，所以，所以，所以，
因为，。。。。。。。。。。10分
所以。。。。。。。。。。12分
19.解（1）由，得，又，故数列是以3为首项，3为公比的等比数列；。。。。。。。。。。5分
（2），故，故，。。。。。8分
，。。。。10分
，即，即，故，
故使得成立的最大整数为5.。。。。。。。。。12分
20.（1）证明：如图，取BC中点G，连接FG，OG，
因为，所以，
又因为平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面，FG 平面FBC，
所以FG⊥平面ABCD，O，G分别为AC，BC中点，所以.
因为。∴
所以四边形EFGO为平行四边形，所以，所以OE⊥平面ABCD．。。。。。。6分
（2）如图，以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间坐标系，设
∴A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），Q（，0，）
F（-，1，c），，∴
设平面QBC的法向量
则即，则
设平面ABC的法向量，设二面角的平面角为θ，θ为锐角，。。。。10分
所以。二面角的余弦值 12分
21. （1）；（2）证明见解析
【详解】（1）由，两点关于y轴对称，可得C经过，两点。
与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在C上，所以不在C上，则解得，故C的方程为。。。。。。。。。4分
（2）证明：当切线l的斜率不存在时，得
当l：时，可得A
，则。。。。。。。。。。。。6分
当l：时，同理可证。
当切线l的斜率存在时，设。
因为l与圆相切，所以圆心（0，0）到l的距离为，即。
联立得。
设A（，），B（，），则。。。。。。。。8分
由，得，则
综上，若圆的切线l与C交于点A，B，则。。。。。。。。。。。。12分
22. （1）见解析；（2）
解：（1）因为，所以。
当时，由，得，由，得，且，
故f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为
当时，由，得，且，由，得，
故f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（0，），单调递减区间为
综上，当时，f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（-∞，0），（0，）；
当时，f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（0，），
单调递减区间为 5分
（2）易知。
由，可得
所以恒成立，即恒成立。
设，则，所以u（x）在（0，+∞）上单调递增。
当时，，所以恒成立等价于恒成立，
即对恒成立。
设。
当时，；当时，
所以v（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即a的取值范围是12分